kf k 0 = max x∈[0,1] |f(x)|

Soient

E

^et

F

^{deux espaes vetoriels normés. Une appliation linéaire}

T : E → F

^n'est

pas néessairement ontinue. Par exemple, munissons

E = C ^∞ ([0, 1])

^{de la norme dénie}

par

kf k 0 = max x∈[0,1] |f(x)|

^. L'appliation

T : E → R

dénie par

T f = f ^′ (0)

est linéaire, mais pas ontinue. En eet, la suite de fontion

x 7→ f n (x) = x ⁿ /n

^onverge

vers 0, mais

T f n = 1

^{pour haque}

n

^.

Il est don intéressant de aratériserles appliations linéairesontinues.

Proposition 2.1. Considérons une appliation linéaire

T : E → F

^{. Les énonés suivants}

sont équivalents :

(1) L'appliation

T

^{est ontinue.}

(2) Elle est ontinue en

0 ∈ E

^.

(3) Il existe une onstante

C ≥ 0

^{telleque pour haque}

x ∈ E

^,

kT (x)k F ≤ Ckxk E .

(4)

sup {kT xk F : x ∈ E

^et

kxk E = 1} < ∞.

En vue de la propriété (4), une appliation linéaire ontinue est aussi appelée une appli-

ation linéairebornée.

Proposition 2.2. Si

E

^{est un espae vetoriel de dimension nie, alors la linéarité de}

T

implique sa ontinuité.

Pour montrer ette proposition nous utiliserons le

Lemme 2.3. Soit

E

^{un espae normé de dimension nie. Soit}

(e 1 , · · · , e n )

^{une base de}

E

^.

Alors il existe une onstante

C ≥ 1

^{telleque pour haque}

c ∈ R ⁿ

,

1

C kck 2 ≤ kc 1 e 1 + · · · + c n e n k E ≤ Ckck 2 .

Démonstration du lemme. L'appliation

Φ : R ⁿ → E

^{dénie par}

Φ(c) = kc ₁ e ₁ + · · · + c _n e _n k _E

est ontinue. Comme la sphère

S = {c ∈ R ⁿ : c ² ₁ + · · · + c ² _n = 1}

^{est ompate,}

Φ

^{y atteint}

son minimum

m

^{et son maximum}

M

^{. Le fait que}

(e 1 , · · · , e n )

^{soitune base empêhe}

m

^de

s'annuler. Pour

0 6= c ∈ R ⁿ

quelonque,

Φ(c) = kck ₂ k 1 kck 2

(c ₁ e ₁ + · · · + c _n e _n )k _E ∈ [mkck ₂ , M kck ₂ ].

Il sut don de prendre

C = max{M, 1/m}.

Démonstration de laProposition 2.2. Soit

(e ₁ , · · · , e _n )

^{une basede}

E

^{. Pour}

x = c ₁ e ₁ + · · · + c n e n

^telque

kxk = 1

^{,ondéduitdu Lemme préédent que}

kck 2 ≤ C

^{. En}partiulier,

|c i | ≤ C

pour haque

i = 1, · · · , n

^{. On a don,}

kT xk _F ≤ |c ₁ |kT (e ₁ )k + · · · + |c _n |kT (e _n )k ≤ C (kT (e ₁ )k + · · · + kT e _n k) .

Corollaire 2.4. Si

E

^{estun espaevetorielde dimensionnie,alorslesnormes sur}

E

^sont

toutes équivalentes.

Exerie 1. Prouvez e orollaire.

L'ensemble des appliations linéaires ontinues de

E

^vers

F

^{est noté}

L(E, F )

^{. C'est un}

espae vetoriel. Laformule

kT k = sup {kT xk F : x ∈ E

^et

kxk E = 1}

dénit une normesur

L(E, F )

^{. On l'appellela normeopérateur.}

Proposition2.5. Si

F

^{estomplet,alors}

L(E, F )

^{munidelanormeopérateurest unEspae}

de Banah.

Démonstration. Soit

(T n ) n∈ N

^{une suite de Cauhy dans}

L(E, F )

^{. Pour haque}

x ∈ E

^{, la}

suite

T n (x)

^{est aussi de Cauhy, dans}

F

^{. Elleonverge don. On dénit}

T (x) := lim

n→∞ T n (x).

L'appliation

T : E → F

^{est linéaire. Montrons qu'elle est ontinue. Comme la suite}

(T n )

est de Cauhy, elleest bornée. Soit

C = sup _n∈ N kT n k

^{. Étant donné}

x ∈ E

^{, il déoule de la}

ontinuité de la normmeque

kT (x)k = k lim

n→∞ T n (x)k = lim

n→∞ kT n (x)k ≤ sup

n∈ N

kT n kkxk ≤ Ckxk.

D'après le point (4)de la proposition préédente,

T

^{est borné.}

Il resteàvoirque

T n → T

^{. On utiliselaméthode maintenant}habituelle. Comme

(T n )

^est

une suite de Cauhy,

∀ǫ > 0, ∃N ǫ ∈ N

m, n ≥ N ǫ = ⇒ ∀kxk = 1 kT n (x) − T m (x)k ≤ ǫ.

En laissant

m → ∞

^{on obtient don pour haque}

x

^{de norme un,}

kT _n (x) − T (x)k ≤ ǫ

^{, dès}

que

n ≥ N _ǫ

^.

Exerie 2. Soit

E = F = C([0, 1])

^{. On munit}

E

^{de lanorme}

kf k 0 = sup

x∈[0,1]

|f (x)|

et

F

^{de lanorme}

kf k = Z 1

0

f ² (x) dx ^1/2

.

Est-e queles appliations

Φ : E → F

^et

Ψ : F → E

^{dénies par}

Φ(f ) = f, Ψ(f ) = f

sont ontinues ? Quellessont leurs normes ?

Dans leas partiulieroù

F

^{est leorp de base}

K

,on note

E ^⋆ = L(E, K )

^.

Exerie3.Soit

K

^{unespaemétriqueompat.} Considéronsl'espaedeBanah

E = C(K)

muni de lanorme du supremum. Étant donné un point

x ∈ K

^{, la fontion évaluationen}

x

^,

e x : C(K) → R

est dénie par

e x (f ) = f (x).

a) Montrez que

e x

^{est une appliation linéaire ontinue.}

b) Calulez sa norme.

) Si on munit

C([0, 1])

^{de lanorme}

kf k =

Z 1

0

f ² (x) dx ^1/2

,

est-e que la fontion évaluation en

x

^{est ontinue ?}

Exerie 4. Soit

c( N )

^{, l'ensembledes suites}

(x n )

^réellesonvergentes,muni delanorme du supremum.

a) Montrez que

c( N )

^{muni de ette norme est un espae de Banah.}

b) Montrez que l'appliation

l : c( N ) → R

dénie par

l(x) = lim

n→∞ x _n

est un élément du dual de

c( N )

^.

) Quelle est sa norme ?

Opérateur intégral. Soit

E = C([0, 1])

^{muni de la norme du supremum. Étant donnée}

une fontion ontinue

k : [0, 1] × [0, 1] → R

, on dénit l'opérateur intégral de Fredholm

K : C([0, 1]) → C([0, 1])

^par

Kf (x) = Z 1

0

k(x, y)f(y) dy.

Proposition 2.6. L'opérateur

K

^{est borné et sa norme est}

kKk = max

0≤x≤1

Z 1

0

|k(x, y )| dy.

Exerie 5. Prouvez ette proposition dans le as où

k(x, y) ≥ 0

^{pour haque}

x, y.