En déduire que ∀M∈B,∀N∈B, kf(M)−f(N)k ≤11 16kM−Nk

Université Lille I L3 Maths

2013-2014 M-52

Devoir surveillé du 5 décembre 2013 Durée : 2h. Sans document et sans calculatrice.

Notation.Dans tout le sujet, la différentielle d’une applicationf en un pointasera notée df_a. L’image dehpar df_asera notée df_a(h).

Exercice 1 L’espaceE=Mn(R) est muni d’une normek · kvérifiant

∀(A,B)∈E² kABk ≤ kAkkBk.

On considère les applicationsf :E→Eetg:E→Edéfinies respectivement par f(M)=M³+M² et g(M)=M³+M²−M−I_n,

oùI_nest la matrice identité. On noteBla bouleB(0, 1/4), c’est-à-dire la boule ouverte de centre 0 et de rayon 1/4 dansE.

a. Montrer quef est différentiable dansEet déterminer sa différentielle en tout point.

b. Montrer que pour toutM∈Eet toutH∈Eon akdf_M(H)k ≤(3kMk²+2kMk)kHk. En déduire que

∀M∈B,∀N∈B, kf(M)−f(N)k ≤11

16kM−Nk. c. Montrer que

∀M∈B,∀N∈B, 5

16kM−Nk ≤ kg(M)−g(N)k ≤27

16kM−Nk. d. En déduire quegest injective surB. Est-elle injective surE?

Exercice 2 Soit un entiern>1 et soienth:R→Retg:Rⁿ→Rdeux fonctions de classeC². On considère la fonction composéef =h◦g.

a. Exprimer df en fonction deh⁰et dget montrer quex∈Rⁿest un point critique de la fonctionf si et seule- ment si dg_x=0_L(Rⁿ_,R)ouh⁰(g(x))=0_R.

b. Soientvetwdeux vecteurs deRⁿ. On poseϕ(x)=h⁰(g(x)) etψ(x)=dgx(v). Calculer dψx(w) et dϕx(w).

c. En déduire que la différentielle seconde def au pointxest donnée par

d²f_x(v,w)=h⁰⁰(g(x)) dg_x(w) dg_x(v)+h⁰(g(x)) d²g_x(v,w).

En particulier, qu’obtient-on pour d²f_x(v⁽²⁾) ?

On considère maintenant le cas oùn=2 et les fonctionshetgsont définies par h(t)=2t³−3t²+2 et g(x₁,x₂)=x²₁−x²₂+1

2.

d. Déterminer l’ensemble des points critiques def et faire un dessin dansR²donnant l’allure de cet ensemble.

e. Le point (0, 0) réalise-t-il un extremum def ?

f. Pourλetµréels, on considère les ensembles de niveauE_f(λ)={x∈R²:f(x)=λ} etEg(µ)={x∈R²:g(x)= µ}. Montrer que pour toutλ∈R, l’ensembleE_f(λ) est réunion d’un nombre fini d’ensembles de la forme Eg(µ).