Le but est de montrer queAest connexe mais pas connexe par arcs

Universit´e Lille I L3 Maths

2013-2014 M-52

Examen - Mercredi 8 janvier 2014 Dur´ee 4h

Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es.

La correction tiendra compte de la r´edaction. En particulier, tous les th´eor`emes utilis´es doivent ˆetre

´

enonc´es pr´ecis´ement. Le bar`eme donn´e est indicatif.

Exercice 1 (7 points)

DansR², on noteO= (0,0) l’origine,P = (1,0) et ∆n={(x, y)| y=_n^x, x >0}pour toutn∈N^∗. Soit A={O} ∪ {P} ∪



 [

n≥1

∆n



. Le but est de montrer queAest connexe mais pas connexe par arcs.

a) Repr´esenter graphiquementAdansR². b) Soitf :A→ {0; 1} une fonction continue.

i) Montrer que{O}∪

S

n≥1∆n

est connexe. En d´eduire quef est constante sur{O}∪

S

n≥1∆n

. ii) Trouver une suite (Pk)kde points de

S

n≥1∆n

qui converge versP. Montrer quefest constante surAet conclure.

c) Pour montrer queA n’est pas connexe par arcs, on raisonne par l’absurde : on suppose qu’il existe γ continue sur [0; 1] `a valeurs dans A telle que γ(0) = O et γ(1) = P. Pour tout t ∈[0; 1], on ´ecrit γ(t) = (x(t), y(t)).

i) Montrer queT0 ={t ∈[0; 1]| γ(t) =O} est compact non vide. On poset0= SupT0 : montrer quex(t₀) = 0 et que t₀<1.

ii) Montrer que T1 ={t∈[t0; 1]| γ(t) =P} est compact non vide. On poset1 = InfT1 : montrer quex(t1) = 1, y(t1) = 0 et quet0< t1.

iii) V´erifier que pour tout t∈]t0;t1[,γ(t)∈ S

n≥1∆n

, et montrer queϕ:t7→ ^x(t)_y(t) est bien d´efinie sur ]t₀, t₁[.

iv) En d´eduire qu’il existen0∈N^∗ tel que∀t∈]t0;t1[, x(t) =n0y(t), et que cette ´egalit´e est encore vraie sur [t0;t1].

v) Obtenir une contradiction et conclure.

Exercice 2 (8 points)

On munitRⁿ du produit scalaire canoniqueh·|·iet on notek · kla norme associ´ee : hx|yi=

n

X

i=1

xiyi , kxk=p hx|xi

Soitf : [0; +∞[→Rune fonction croissante de classeC¹ telle quef(0) = 1 etf⁰(0) = 0.

1

a) Montrer queπ:x7→ hx|xiest de classeC¹surRⁿ. D´eterminer sa diff´erentielle.

b) Montrer queN :x7→ kxkest de classeC¹surRⁿ\ {0}. D´eterminer sa diff´erentielle.

c) Pour toutx∈Rⁿ, on poseF(x) =f(kxk)x.

i) Montrer queF est de classeC¹surRⁿ\ {0}. D´eterminer dFx pour toutx∈Rⁿ\ {0}.

ii) Justifier quef(khk) = 1 +khkε(khk), o`uε(khk)−−−→

h→0 0. En d´eduire queF est diff´erentiable en 0 et quedF0= id_Rⁿ.

iii) Pour x∈Rⁿ\ {0}montrer que∀h∈Rⁿ, kdFx(h)−dF0(h)k ≤ |f⁰(kxk)hx|hi|+|f(kxk)−1| khk puis que

kdFx−dF0kop≤f⁰(kxk)kxk+f(kxk)−1 iv) En d´eduire queF est de classeC¹ surRⁿ.

d) Soitx∈Rⁿ. Montrer (en distinguant les casx6= 0 etx= 0) que

∀h∈Rⁿ, hdFx(h)|hi ≥f(kxk)khk²≥ khk² et d´eterminer ker(dF_x) ={h∈Rⁿ |dF_x(h) = 0}.

e) Montrer queF est unC¹-diff´eomorphisme local au voisinage de tout point deRⁿ.

Exercice 3 (5 points)

On munitR² de la norme euclidiennek · ket de la distance euclidienned:d(a, a⁰) =ka−a⁰k. SoitC le cercle d’´equationx²+y²= 1 etLla droite d’´equationx+y= 4.

a) Montrer queCet Lsont ferm´es.

b) On pose c₀ = (1,0) et`<sub>0</sub>= (0,4). V´erifier que c<sub>0</sub> ∈C et `₀∈L, calculer r=kc0−`<sub>0</sub>ket en d´eduire une majoration de la distanced(C, L) = Inf{kc−`k |c∈C, `∈L}. On note

K={(c, `)∈C×L| kc−`k ≤r}

c) Montrer queKest ferm´e, non vide, dans l’espace produit R²×R².

d) Montrer que, si (c, `)∈ K, alorsk`k ≤1 +r. En d´eduire queK est compact.

e) Prouver l’existence de (γ, λ)∈ K tel que∀(c, `)∈ K, kγ−λk ≤ kc−`k. En d´eduire que la distance d(C, L) est atteinte en (γ, λ).

f) On cherche `a calculer cette distance.

i) Justifier qued(C, L)²= Min{(cost−x)²+ (sint+x−4)²| t∈R, x∈R}. Soit f : (t, x)∈R²7→(cost−x)²+ (sint+x−4)²

ii) Montrer que les points critiques (t, x) def sont exactement les solutions du syst`eme (cost−sint)(cost+ sint−4) = 0

2x= cost−sint+ 4 et les d´eterminer. Calculer les valeurs def en ces points.

iii) En d´eduire, sans calcul, la valeur ded(C, L) et les pointsc∈Cet`∈Lpour lesquelskc−`kest minimale.

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