Universit´e Lille 1 L3 Maths
2012-2013 M-52
DS2 – Vendredi 7 d´ecembre 2012 Dur´ee 2h
Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es.
La correction tiendra compte de la r´edaction. En particulier, tous les th´eor`emes utilis´es doivent ˆetre
´
enonc´es pr´ecis´ement. Le bar`eme donn´e est indicatif.
Vrai/Faux
Pour chaque question : +1 point par r´eponse juste, -1 point par r´eponse fausse (on ne demande pas de justifier).
(a) Toute application multilin´eaire continue (sur un espace vectoriel produit norm´e par k · k∞) est diff´erentiable.
(b) Tout hom´eomorphisme diff´erentiable est un diff´eomorphisme.
(c) SiE,F sont des espaces vectoriels norm´es,U ⊆E un ouvert connexe, etf :U →F une application diff´erentiable telle queDf(x)≡0 pour toutx∈U, alorsf est constante.
Exercice 1 (2 points)
SoitE un espace vectoriel norm´e, etN sa norme. Soita∈E\ {0}, et supposons queN est diff´erentiable ena. En ´ecrivant la d´efinition de la diff´erentielle, montrer que pour tout r´eel λ >0,N est diff´erentiable au pointλaavecDN(λa) =DN(a).
Exercice 2 (5 points)
SoitF =C([0,1]) l’espace des fonctions continues sur [0,1] `a valeurs dansR. On munit F de la norme k · k∞, i.e., pour toutg∈F on posekgk∞:= supt∈[0,1]|g(t)|. SoitE=C1([0,1]). On munitEde la norme k · k1donn´ee par
kfk1:=kfk∞+kf0k∞ (∀f ∈E).
On consid`ere l’application Φ :E→F d´efinie surE par Φ(f) = 2f0−f2.
Montrer que Φ est diff´erentiable en tout pointf ∈E, avec sa diff´erentielle au pointf ∈E ´etant donn´ee par
DΦ(f)·h= 2h0−2f h (∀h∈E);
ici,f hest le produit ponctuel des deux fonctions, i.e., (f h)(t) = f(t)h(t) (∀t∈[0,1]). On rappelle que, en particulier, il faut v´erfier que pour toutf ∈E fix´e, l’applicationu: (E,k · k1)→(F,k · k∞) donn´ee par
u·h:= 2h0−2f h (∀h∈E) est lin´eaire et continue.
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Exercice 3 (5 points)
Soientf etg deux fonctions de classeC1 surRet `a valeurs dans R. On suppose que pour tousx, y∈R on af0(x)6=g0(y). On consid`ere l’applicationF :R2→R2 d´efinie parF(x, y) = (x+y, f(x) +g(y)).
(a) Expliquer pourquoi F est une application de classe C1, et v´erifier que DF(x, y) est inversible pour tout (x, y)∈R2.
(b) Utiliser l’´egalit´e des accroissements finis pour montrer queF est injective.
(c) Conclure queF est unC1-diff´eomorphisme deR2 surF(R2).
Exercice 4 (7 points)
SoitRn muni de la norme produit. SoitMn(R) l’espace des matricesn×nr´eelles ; on munitMn(R) = Lc(Rn) de la norme d’op´erateurs (lin´eaires continus) de Rn dansRn, not´eek · k. On rappelle que l’on a
kABk ≤ kAk kBk (∀A, B∈ Mn(R)).
SoitI∈ Mn(R) la matrice identit´e. On note par idMn(R) l’application identit´e deMn(R) dansMn(R) (i.e., Mn(R)3 A7→ A). Soit Lc(Mn(R)) l’espace des applications lin´eaires continues de Mn(R) dans Mn(R), muni de la norme d’op´erateurs, not´eek · kLc(Mn(R)). On rappelle que pour toutT ∈ Lc(Mn(R)) on a
kTkLc(Mn(R)) = sup
A∈Mn(R),kAk≤1
kT(A)k.
On consid`ere l’application Φ :Mn(R)→ Mn(R) d´efinie par Φ(A) =A3.
(a) Expliquer pourquoi Φ est de classeC1 surMn(R), avecDΦ(A)∈ Lc(Mn(R)) donn´ee par DΦ(A)·H =A2H+AHA+HA2 (∀A, H ∈ Mn(R)).
(b) SoientA, H∈ Mn(R). PosonsB:=A−I. V´erifier l’´egalit´e
DΦ(A)·H−3H =B2H+HB2+BHB+ 3BH+ 3 HB.
En d´eduire la majoration
kDΦ(A)·H−3Hk ≤ 3kBk2+ 6kBk kHk et alors
1
3DΦ(A)−idMn(R)
L
c(Mn(R))
≤ kA−Ik2+ 2kA−Ik.
(c) Soit B◦ := B◦(I,13) la boule ouverte dans Mn(R), de centre I et de rayon 13. D´eduire de (b) que pour toutA∈B◦, on aDΦ(A)∈GL(Mn(R)) :=GL(Mn(R),Mn(R)).
(d) On consid`ere l’application Ψ : B◦ → Mn(R) d´efinie par Ψ(A) = Φ(A)−3A (∀A ∈ B◦). Calculer DΨ(A) pour toutA∈B◦. Utiliser alors (b) pour d´eduire que pour tous A, C∈B◦ on a
kΨ(A)−Ψ(C)k ≤ 7
3kA−Ck.
En d´eduire que Φ est injective sur B◦.
(e) Conclure que Φ est unC1-diff´eomorphisme deB◦sur Φ(B◦).
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