Exercice 0. Produit ext´ erieur. Soit E un espace vectoriel. Pour tous entiers positifs k, l et toutes formes α ∈ A k (E) et β ∈ A l (E), on d´ efinit

(1)

MM022 G´ eom´ etrie diff´ erentielle 2016–2017

Feuille 5

Exercice 0. Produit ext´ erieur. Soit E un espace vectoriel. Pour tous entiers positifs k, l et toutes formes α ∈ A _k (E) et β ∈ A _l (E), on d´ efinit

α ∧ β : (v ₁ , . . . , v _k+l ) ∈ E ^k+l 7→ 1 k!l!

X

σ∈S

_k+l

(σ)α(v _σ(1) , . . . , v _σ(k) )β(v _σ(k+1) , . . . , v _σ(k+l) ).

1. Que donne cette formule dans le cas o` u α et β ∈ E ^∗ ? 2. Montrer que α ∧ β ∈ A _k+l (E).

3. V´ erifier que l’application (α, β) 7→ α ∧ β est bilin´ eaire et que

∀(α, β) ∈ A k (E) × A l (E), β ∧ α = (−1) ^kl α ∧ β.

4. On note S _k,l l’ensemble des ´ el´ ements σ ∈ S _k+l satisfaisant σ(1) < · · · < σ(k) et σ(k + 1) < · · · < σ(k + l). V´ erifier que

α ∧ β(v 1 , . . . , v k+l ) = X

σ∈S

_k,l

(σ)α(v σ(1) , . . . , v σ(k) )β(v σ(k+1) , . . . , v σ(k+l) ).

On v´ erifie ´ egalement que pour toutes formes multilin´ eaires altern´ ees α, β et γ, (α ∧ β) ∧ γ = α ∧ (β ∧ γ). On notera donc simplement α ∧ β ∧ γ cette forme. Plus g´ en´ eralement,

´

etant donn´ ees n formes multilin´ eaires altern´ ees α ₁ , . . . , α _n , on peut d´ efinir sans ambigu¨ıt´ e α ₁ ∧ · · · ∧ α _n .

Exercice 1. Premiers calculs. Soit E un espace vectoriel de dimension finie et l ₁ , . . . , l _k ∈ E ^∗ .

1. Montrer que pour tout (v ₁ , . . . , v _k ) ∈ E ^k ,

l ₁ ∧ . . . ∧ l _k (v ₁ , . . . , v _k ) = det(l _j (v _i )) 1≤i,j≤k .

2. On note (dx ¹ , ..., dx ⁿ ) (resp. (dx, dy, dz)) la base duale de la base canonique de R ⁿ (resp. R ³ ). Soit I = {i ₁ , . . . , i _k } avec 1 ≤ i ₁ < · · · < i _k ≤ n des entiers. V´ erifier que la forme k-lin´ eaire altern´ ee dx ^I d´ efinie en cours n’est autre que dx ⁱ

¹

∧ · · · ∧ dx ⁱ

^k

. 3. Calculer dans R ³ :

dx ∧ dx, (dx + dy) ∧ dx, (dx + dy) ∧ dz, (dx ∧ dy + dy ∧ dz + dz ∧ dx) ∧ dz.

4. Soient α = 3dx + 5dy, β = dx ∧ dy + dy ∧ dz + dz ∧ dx, v ₁ = (1, 0, 0), v ₂ = (1, 2, 0) et v ₃ = (1, 2, 3). Calculer (α ∧ β)(v ₁ , v ₂ , v ₃ ).

5. Comment interpr´ etez-vous en termes de d´ eterminants de matrices les ´ egalit´ es suiv- antes dans R ⁿ :

dx ^1,...,n = dx ¹ ∧ dx ^2,...,n , dx ^1,...,n = dx ^1,...,n−1 ∧ dx ⁿ ,

dx ^1,...,n = dx ^1,...,k ∧ dx ^k+1,...,n , 1 ≤ k ≤ n.

(2)

6. Montrer qu’une famille de formes lin´ eaires (l ₁ , . . . , l _k ) d’un espace vectoriel E est libre si et seulement si l ₁ ∧ . . . ∧ l _k 6= 0. Montrer que des vecteurs x ₁ , . . . , x _k de E sont lin´ eairement d´ ependants si et seulement si α(x ₁ , . . . , x _k ) = 0 pour toute forme altern´ ee α de degr´ e k.

Exercice 2 (produit vectoriel). Rappelons que le produit vectoriel v ×w de deux vecteurs v = (v ₁ , v ₂ , v ₃ ) et w = (w ₁ , w ₂ , w ₃ ) dans R ³ est d´ efini formellement en d´ eveloppant selon la premi` ere ligne le d´ eterminant

e ₁ e ₂ e ₃ v ₁ v ₂ v ₃ w 1 w 2 w 3

,

avec (e ₁ , e ₂ , e ₃ ) la base canonique de R ³ . Ainsi v × w =

v ₂ v ₃ w ₂ w ₃

e ₁ −

v ₁ v ₃ w ₁ w ₃

e ₂ +

v ₁ v ₂ w ₁ w ₂

e ₃ .

(i) Montrer que le produit vectoriel d´ efinit une application bilin´ eaire antisym´ etrique R ³ × R ³ → R ³ .

Exprimer les coordonn´ ees du produit vectoriel en tant que formes bilin´ eaires altern´ ees en v et w ` a l’aide de la base canonique de A ₂ ( R ³ ).

[L’on pourra v´ erifier, quoique ceci est hors-sujet dans le contexte que nous ´ etudions, que le produit vectoriel d´ efinit une structure d’alg` ebre de Lie sur R ³ .]

(ii) Montrer que

v × w ⊥ v, v × w ⊥ w.

(iii) Montrer que v × w = 0 si et seulement si les vecteurs v et w sont lin´ eairement d´ ependants.

(iv) Montrer l’identit´ e

kv × wk ² = det(v |w|v × w).

En d´ eduire que, si v et w sont lin´ eairement ind´ ependants, alors (v, w, v × w) est une base de R ³ .

(v) Soient v ₁ , v ₂ , v ₃ ∈ R ³ . V´ erifier que l’aire du parall´ elogramme construit sur v ₁ , v ₂ est ´ egale ` a

kv 1 × v 2 k.

V´ erifier que le volume du parall´ el´ epip` ede P (v ₁ , v ₂ , v ₃ ) construit sur v ₁ , v ₂ , v ₃ est ´ egal ` a det(hv _i , v _j i) ^1/2 .

(vi) Soit u ∈ R ³ . Montrer que

det(v |w|u) = hv × w, ui.

(vii) ´ Etant donn´ es n − 1 vecteurs v ₁ , . . . , v n−1 ∈ R ⁿ , l’on d´ efinit leur produit vectoriel v ₁ × · · · × v n−1 en d´ eveloppant formellement selon la premi` ere ligne le d´ eterminant

e ₁ . . . e _n v ₁

.. . v n−1

.

Que deviennent les propri´ et´ es du produit vectoriel dans R ³ dans ce cadre ?

Exercice 0. Produit ext´ erieur. Soit E un espace vectoriel. Pour tous entiers positifs k, l et toutes formes α ∈ A k (E) et β ∈ A l (E), on d´ efinit

MM022 G´ eom´ etrie diff´ erentielle 2016–2017

Feuille 5

Exercice 0. Produit ext´ erieur. Soit E un espace vectoriel. Pour tous entiers positifs k, l et toutes formes α ∈ A k (E) et β ∈ A l (E), on d´ efinit

α ∧ β : (v 1 , . . . , v k+l ) ∈ E k+l 7→ 1 k!l!

X

σ∈S

(σ)α(v σ(1) , . . . , v σ(k) )β(v σ(k+1) , . . . , v σ(k+l) ).

1. Que donne cette formule dans le cas o` u α et β ∈ E ∗ ? 2. Montrer que α ∧ β ∈ A k+l (E).

3. V´ erifier que l’application (α, β) 7→ α ∧ β est bilin´ eaire et que

∀(α, β) ∈ A k (E) × A l (E), β ∧ α = (−1) kl α ∧ β.

4. On note S k,l l’ensemble des ´ el´ ements σ ∈ S k+l satisfaisant σ(1) < · · · < σ(k) et σ(k + 1) < · · · < σ(k + l). V´ erifier que

α ∧ β(v 1 , . . . , v k+l ) = X

σ∈S

(σ)α(v σ(1) , . . . , v σ(k) )β(v σ(k+1) , . . . , v σ(k+l) ).

On v´ erifie ´ egalement que pour toutes formes multilin´ eaires altern´ ees α, β et γ, (α ∧ β) ∧ γ = α ∧ (β ∧ γ). On notera donc simplement α ∧ β ∧ γ cette forme. Plus g´ en´ eralement,

´

etant donn´ ees n formes multilin´ eaires altern´ ees α 1 , . . . , α n , on peut d´ efinir sans ambigu¨ıt´ e α 1 ∧ · · · ∧ α n .

Exercice 1. Premiers calculs. Soit E un espace vectoriel de dimension finie et l 1 , . . . , l k ∈ E ∗ .

1. Montrer que pour tout (v 1 , . . . , v k ) ∈ E k ,

l 1 ∧ . . . ∧ l k (v 1 , . . . , v k ) = det(l j (v i )) 1≤i,j≤k .

2. On note (dx 1 , ..., dx n ) (resp. (dx, dy, dz)) la base duale de la base canonique de R n (resp. R 3 ). Soit I = {i 1 , . . . , i k } avec 1 ≤ i 1 < · · · < i k ≤ n des entiers. V´ erifier que la forme k-lin´ eaire altern´ ee dx I d´ efinie en cours n’est autre que dx i

∧ · · · ∧ dx i

. 3. Calculer dans R 3 :

dx ∧ dx, (dx + dy) ∧ dx, (dx + dy) ∧ dz, (dx ∧ dy + dy ∧ dz + dz ∧ dx) ∧ dz.

4. Soient α = 3dx + 5dy, β = dx ∧ dy + dy ∧ dz + dz ∧ dx, v 1 = (1, 0, 0), v 2 = (1, 2, 0) et v 3 = (1, 2, 3). Calculer (α ∧ β)(v 1 , v 2 , v 3 ).

5. Comment interpr´ etez-vous en termes de d´ eterminants de matrices les ´ egalit´ es suiv- antes dans R n :

dx 1,...,n = dx 1 ∧ dx 2,...,n , dx 1,...,n = dx 1,...,n−1 ∧ dx n ,

dx 1,...,n = dx 1,...,k ∧ dx k+1,...,n , 1 ≤ k ≤ n.

Exercice 2 (produit vectoriel). Rappelons que le produit vectoriel v ×w de deux vecteurs v = (v 1 , v 2 , v 3 ) et w = (w 1 , w 2 , w 3 ) dans R 3 est d´ efini formellement en d´ eveloppant selon la premi` ere ligne le d´ eterminant

e 1 e 2 e 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3

,

avec (e 1 , e 2 , e 3 ) la base canonique de R 3 . Ainsi v × w =

v 2 v 3 w 2 w 3

e 1 −

v 1 v 3 w 1 w 3

e 2 +

v 1 v 2 w 1 w 2

e 3 .

(i) Montrer que le produit vectoriel d´ efinit une application bilin´ eaire antisym´ etrique R 3 × R 3 → R 3 .

Exprimer les coordonn´ ees du produit vectoriel en tant que formes bilin´ eaires altern´ ees en v et w ` a l’aide de la base canonique de A 2 ( R 3 ).

[L’on pourra v´ erifier, quoique ceci est hors-sujet dans le contexte que nous ´ etudions, que le produit vectoriel d´ efinit une structure d’alg` ebre de Lie sur R 3 .]

(ii) Montrer que

v × w ⊥ v, v × w ⊥ w.

(iii) Montrer que v × w = 0 si et seulement si les vecteurs v et w sont lin´ eairement d´ ependants.

(iv) Montrer l’identit´ e

kv × wk 2 = det(v |w|v × w).

En d´ eduire que, si v et w sont lin´ eairement ind´ ependants, alors (v, w, v × w) est une base de R 3 .

(v) Soient v 1 , v 2 , v 3 ∈ R 3 . V´ erifier que l’aire du parall´ elogramme construit sur v 1 , v 2 est ´ egale ` a

kv 1 × v 2 k.

V´ erifier que le volume du parall´ el´ epip` ede P (v 1 , v 2 , v 3 ) construit sur v 1 , v 2 , v 3 est ´ egal ` a det(hv i , v j i) 1/2 .

(vi) Soit u ∈ R 3 . Montrer que

det(v |w|u) = hv × w, ui.

(vii) ´ Etant donn´ es n − 1 vecteurs v 1 , . . . , v n−1 ∈ R n , l’on d´ efinit leur produit vectoriel v 1 × · · · × v n−1 en d´ eveloppant formellement selon la premi` ere ligne le d´ eterminant

e 1 . . . e n v 1

.. . v n−1

.

Que deviennent les propri´ et´ es du produit vectoriel dans R 3 dans ce cadre ?

Exercice 0. Produit ext´ erieur. Soit E un espace vectoriel. Pour tous entiers positifs k, l et toutes formes α ∈ A _k (E) et β ∈ A _l (E), on d´ efinit

α ∧ β : (v ₁ , . . . , v _k+l ) ∈ E ^k+l 7→ 1 k!l!

(σ)α(v _σ(1) , . . . , v _σ(k) )β(v _σ(k+1) , . . . , v _σ(k+l) ).

1. Que donne cette formule dans le cas o` u α et β ∈ E ^∗ ? 2. Montrer que α ∧ β ∈ A _k+l (E).

∀(α, β) ∈ A k (E) × A l (E), β ∧ α = (−1) ^kl α ∧ β.

4. On note S _k,l l’ensemble des ´ el´ ements σ ∈ S _k+l satisfaisant σ(1) < · · · < σ(k) et σ(k + 1) < · · · < σ(k + l). V´ erifier que

etant donn´ ees n formes multilin´ eaires altern´ ees α ₁ , . . . , α _n , on peut d´ efinir sans ambigu¨ıt´ e α ₁ ∧ · · · ∧ α _n .

Exercice 1. Premiers calculs. Soit E un espace vectoriel de dimension finie et l ₁ , . . . , l _k ∈ E ^∗ .

1. Montrer que pour tout (v ₁ , . . . , v _k ) ∈ E ^k ,

l ₁ ∧ . . . ∧ l _k (v ₁ , . . . , v _k ) = det(l _j (v _i )) 1≤i,j≤k .

∧ · · · ∧ dx ⁱ

. 3. Calculer dans R ³ :

4. Soient α = 3dx + 5dy, β = dx ∧ dy + dy ∧ dz + dz ∧ dx, v ₁ = (1, 0, 0), v ₂ = (1, 2, 0) et v ₃ = (1, 2, 3). Calculer (α ∧ β)(v ₁ , v ₂ , v ₃ ).

5. Comment interpr´ etez-vous en termes de d´ eterminants de matrices les ´ egalit´ es suiv- antes dans R ⁿ :

dx ^1,...,n = dx ¹ ∧ dx ^2,...,n , dx ^1,...,n = dx ^1,...,n−1 ∧ dx ⁿ ,

dx ^1,...,n = dx ^1,...,k ∧ dx ^k+1,...,n , 1 ≤ k ≤ n.

Exercice 2 (produit vectoriel). Rappelons que le produit vectoriel v ×w de deux vecteurs v = (v ₁ , v ₂ , v ₃ ) et w = (w ₁ , w ₂ , w ₃ ) dans R ³ est d´ efini formellement en d´ eveloppant selon la premi` ere ligne le d´ eterminant

e ₁ e ₂ e ₃ v ₁ v ₂ v ₃ w 1 w 2 w 3

avec (e ₁ , e ₂ , e ₃ ) la base canonique de R ³ . Ainsi v × w =

v ₂ v ₃ w ₂ w ₃

e ₁ −

v ₁ v ₃ w ₁ w ₃

e ₂ +

v ₁ v ₂ w ₁ w ₂

e ₃ .

(i) Montrer que le produit vectoriel d´ efinit une application bilin´ eaire antisym´ etrique R ³ × R ³ → R ³ .

Exprimer les coordonn´ ees du produit vectoriel en tant que formes bilin´ eaires altern´ ees en v et w ` a l’aide de la base canonique de A ₂ ( R ³ ).

[L’on pourra v´ erifier, quoique ceci est hors-sujet dans le contexte que nous ´ etudions, que le produit vectoriel d´ efinit une structure d’alg` ebre de Lie sur R ³ .]

kv × wk ² = det(v |w|v × w).

En d´ eduire que, si v et w sont lin´ eairement ind´ ependants, alors (v, w, v × w) est une base de R ³ .

(v) Soient v ₁ , v ₂ , v ₃ ∈ R ³ . V´ erifier que l’aire du parall´ elogramme construit sur v ₁ , v ₂ est ´ egale ` a

V´ erifier que le volume du parall´ el´ epip` ede P (v ₁ , v ₂ , v ₃ ) construit sur v ₁ , v ₂ , v ₃ est ´ egal ` a det(hv _i , v _j i) ^1/2 .

(vi) Soit u ∈ R ³ . Montrer que

(vii) ´ Etant donn´ es n − 1 vecteurs v ₁ , . . . , v n−1 ∈ R ⁿ , l’on d´ efinit leur produit vectoriel v ₁ × · · · × v n−1 en d´ eveloppant formellement selon la premi` ere ligne le d´ eterminant

e ₁ . . . e _n v ₁

Que deviennent les propri´ et´ es du produit vectoriel dans R ³ dans ce cadre ?