Exercice 0. Produit ext´ erieur. Soit E un espace vectoriel. Pour tous entiers positifs k, l et toutes formes α ∈ A

(1)

MM022 G´ eom´ etrie diff´ erentielle 2014–2015

Feuille 7 : Alg` ebre ext´ erieure et formes diff´ erentielles

Exercice 0. Produit ext´ erieur. Soit E un espace vectoriel. Pour tous entiers positifs k, l et toutes formes α ∈ A

_k

(E) et β ∈ A

_l

(E), on d´ efinit

α ∧ β : (v

₁

, . . . , v

_k+l

) ∈ E

^k+l

7→ 1 k!l!

X

σ∈S_k+l

(σ)α(v

_σ(1)

, . . . , v

_σ(k)

)β(v

_σ(k+1)

, . . . , v

_σ(k+l)

).

1. Que donne cette formule dans le cas o` u α et β ∈ E

^∗

? 2. Montrer que α ∧ β ∈ A

_k+l

(E).

3. V´ erifier que l’application (α, β) 7→ α ∧ β est bilin´ eaire et que

∀(α, β) ∈ A

_k

(E) × A

_l

(E), β ∧ α = (−1)

^kl

α ∧ β.

On v´ erifie ´ egalement que pour toutes formes multilin´ eaires altern´ ees α, β et γ, (α ∧ β) ∧ γ = α ∧ (β ∧ γ ). On notera donc simplement α ∧ β ∧ γ cette forme. Plus g´ en´ eralement, ´ etant donn´ ees n formes multilin´ eaires altern´ ees α

1

, . . . , α

n

, on peut d´ efinir sans ambigu¨ıt´ e α

1

∧ · · · ∧ α

n

. Exercice 1. Premiers pas. Soit E un espace vectoriel de dimension finie et l

1

, . . . , l

k

∈ E

^∗

.

1. Montrer que pour tout (v

₁

, . . . , v

_k

) ∈ E

^k

,

l

₁

∧ . . . ∧ l

_k

(v

₁

, . . . , v

_k

) = det(l

_j

(v

_i

))

1≤i,j≤k

.

2. On note (dx

1

, ..., dx

n

) (resp. (dx, dy, dz)) la base duale de la base canonique de R

ⁿ

(resp.

R

³

). Soit I = {i

₁

, . . . , i

_k

} avec 1 ≤ i

₁

< · · · < i

_k

≤ n des entiers. V´ erifier que la forme k-lin´ eaire altern´ ee dx

^I

d´ efinie en cours n’est autre que dx

_i₁

∧ · · · ∧ dx

_i_k

.

3. Soient α = 3dx + 5dy, β = dx ∧ dy + dy ∧ dz + dz ∧ dx, v

₁

= (1, 0, 0), v

₂

= (1, 2, 0) et v

₃

= (1, 2, 3). Calculer (α ∧ β(v

₁

, v

₂

, v

₃

).

4. Montrer qu’une famille de formes lin´ eaires (l

₁

, . . . , l

_k

) d’un espace vectoriel E est libre si et seulement si l

1

∧ . . . ∧ l

k

6= 0. Montrer que des vecteurs x

1

, . . . , x

k

de E sont lin´ eairement d´ ependants si et seulement si α(x

1

, . . . , x

_k

) = 0 pour toute forme altern´ ee α de degr´ e k.

Exercice 2. Coordonn´ ees polaires. Soit I un intervalle ouvert de R de longueur inf´ erieure ` a 2π et ϕ le diff´ eomorphisme de R

^∗+

× I dans ϕ( R

^∗+

× I) d´ efini par ϕ(ρ, t) = (ρ cos t, ρ sin t). Soit (r, θ) le syst` eme de coordonn´ ees sur ϕ(R

^∗₊

× I ) d´ efini par ϕ

⁻¹_I

= (r, θ). Montrer que les formes dr et dθ s’´ etendent ` a R

²

\ {0

_R2

} en des formes ind´ ependantes de I .

Exercice 3. Formes diff´ erentielles et projection st´ er´ eographique. Rappelons que l’on d´ efinit sur la sph` ere par projection st´ er´ eogra-phique deux syst` emes de coordonn´ ees (U

N

= S

²

\ {N }, x

_N

, y

N

) et (U

S

= S

²

\ {S}, x

_S

, y

S

). L’on a

(x

_S

, y

_S

) = (x

_N

, y

_N

)

ρ

_N

avec ρ

_N

= x

²_N

+ y

_N²

.

1. Exprimer dx

_S

, dy

_S

, dx

_S

∧ dy

_S

en fonction de dx

_N

, dy

_N

et dx

_N

∧ dy

_N

.

(2)

2. V´ erifier que la 2-forme ω donn´ ee sur U

_S

et U

_N

par ω|

_U_N

= −4 dx

_N

∧ dy

_N

(1 + ρ

_N

)

²

, ω|

_U_S

= 4 dx

_S

∧ dy

_S

(1 + ρ

_S

)

²

est bien d´ efinie sur la sph` ere.

Produit int´ erieur. Etant donn´ ´ es un champ de vecteurs X et une forme diff´ erentielle ω de degr´ e k + 1 sur une vari´ et´ e M, on appelle produit int´ erieur de ω par X et on note ι

X

ω la k-forme diff´ erentielle sur M d´ efinie par :

∀x ∈ M, ∀(v

₁

, . . . , v

_k

) ∈ (T

_x

M)

^k

, (ι

_X

ω)

_x

(v

₁

, . . . , v

_k

) = ω

_x

(X(x), v

₁

, . . . , v

_k

).

Exercice 4. Volume d’une hypersurface orient´ ee de R

ⁿ⁺¹

. Soit M une hypersurface orient´ ee de R

ⁿ⁺¹

, i l’inclusion de M dans R

ⁿ⁺¹

et ν : M → S

ⁿ

le champ normal unitaire orient´ e de M (i.e. tel que pour tout x ∈ M et toute base directe (v

1

, . . . , v

n

) de T

x

M , (ν(x), v

1

, . . . , v

n

) forme une base directe de R

ⁿ⁺¹

). Soit ˜ ν un champ de vecteurs au voisinage de M prolongeant ν. On d´ efinit :

σ = i

^∗

(ι

ν˜

dx

1

∧ · · · ∧ dx

n+1

).

1. Montrer que σ ne d´ epend pas du choix de ˜ ν. ´ Evaluer σ sur une base orthonorm´ ee directe de T

_x

M. Montrer que σ d´ efinit une forme volume sur M. C’est la forme volume canonique de l’hypersurface orient´ ee M de R

ⁿ⁺¹

. On d´ efinit alors le volume de M comme :

Vol(M ) = Z

M

σ.

2. Soit f : U ⊂ R

ⁿ

→ R une fonction lisse d´ efinie sur un ouvert U de R

ⁿ

. Son graphe G est une hypersurface de R

ⁿ⁺¹

, que l’on peut munir d’une orientation naturelle. Soit σ la forme volume associ´ ee et ϕ l’application x ∈ R

ⁿ

7→ (x, f (x)) ∈ R

ⁿ⁺¹

. Montrer que

ϕ

^∗

σ = 1 + ∂f

∂x

1

2

+ · · · + ∂f

∂x

n

2

!

1/2

dx

₁

∧ · · · ∧ dx

_n

et r´ ecup´ erer les formules de calcul des aires et longueurs d´ ej` a connues (?).

Exercice 5. Volume de la sph` ere. On note X = x∂

_x

+ y∂

_y

+ z∂

_z

le champ d’Euler de R

³

, ω la forme volume dx ∧ dy ∧ dz de R

³

et i le plongement de S

²

dans R

³

.

1. Montrer que X, ω et β = ι

X

ω sont invariants par rotation.

2. V´ erifier que la restriction ` a S

²

de β est une forme volume.

3. Comparer i

^∗

β avec la forme ω de l’exercice 3. On rappelle que i ◦ ϕ

⁻¹_V

: (x

_S

, y

_S

) → (x, y, z) =

2x

S

1 + ρ

_S

, 2y

S

1 + ρ

_S

, 1 − ρ

S

1 + ρ

_S

ou (V, ϕ

_V

, R

²

) est la carte de S

²

obtenue par projection st´ er´ eographique par rapport au pˆ ole sud.

4. Calculer le volume de la sph` ere.