Soit (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) une base d'un R espace vectoriel E . Les fonctions coordonnées dans cette base sont notées (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) .

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Exercice 1.

Soit (a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ ) une base d'un R espace vectoriel E . Les fonctions coordonnées dans cette base sont notées (α ₁ , α ₂ , α ₃ , α ₄ ) .

On dénit une famille (u ₁ , u ₂ , u ₃ ) de vecteurs de E par :

u 1 = a 1 + a 2 + a 3 + 2a 4

u 2 = 3a 1 + 5a 3 + a 4

u 3 = −a 1 + 2a 2 − 3a 3 + 3a 4

1. Soit x = x ₁ a ₁ + x ₂ a ₂ + x ₃ a ₃ + x ₄ a ₄ ∈ E . Déterminer des conditions sur (x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) assurant que x ∈ Vect(u ₁ , u ₂ , u ₃ ) .

2. Déterminer une famille libre (α, β) de formes linéaires (exprimées en fonction des α i ) telles que

Vect(u 1 , u 2 , u 3 ) = ker α ∩ ker β.

Exercice 2

Soit E un R-espace vectoriel de dimension 4 muni d'une base B = (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) . Soit f un endomorphisme de E dont la matrice dans B est

A =









1 −1 2 −2

0 0 1 −1

1 −1 1 0 1 −1 1 0









1. Calculer A ² , (A − I 4 ) ² , A ² (A − I 4 ) ² . 2. On pose N 1 = ker f ² et N 2 = ker(f − id E ) ² .

a. Calculer les dimensions de N 1 et N 2 et montrer qu'ils sont supplémentaires.

b. Montrer que N 1 et N 2 sont stables par f , c'est à dire f (N 1 ) ⊂ N 1 et f (N 2 ) ⊂ N 2 . 3. a. Montrer que N ₂ = Im f ² et N ₁ = Im (f − id _E ) ² .

b. Trouver une base U = (u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ) de E telle que

Mat

U f =









0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1









Problème 1. Matrice semblable à son inverse.

Dans tout ce problème, E est un R-espace vectoriel de dimension 3 .

Soit p un entier naturel non nul. Dans tout le problème sauf dans la qestion 1. l'entier p est égal à 3 .

Deux matrices quelconques A et B de M p ( R ) sont dites semblables si et seulement si il existe une matrice inversible P ∈ GL p ( R ) telle que B = P ⁻¹ AP . On notera alors A ∼ B . L'objet de ce problème est de donner des exemples de matrices semblables à leurs inverses.

1. (question de cours) On rappelle que la trace d'une matrice est la somme des termes de sa diagonale. Montrer que deux matrices semblables ont la même trace.

2. Soit

A =





1 1 1 1 2 1 1 2 3





Montrer que A est inversible, préciser son inverse. La matrice A est-elle semblable à son inverse ?

3. Soit f ∈ L(E) telle que f ³ = f ◦ f ◦ f = 0 _L(E) . On pose g = −f + f ² = −f + f ◦ f . a. On suppose f 6= 0 _L(E) et f ² = 0 _L(E) .

Montrer que rg(f ) = 1 et qu'il existe une base A = (a 1 , a 2 , a 3 ) de E telle que Mat A f =





0 0 1 0 0 0 0 0 0





b. On suppose f ² 6= 0 _L(E) .

Montrer qu'il existe une base A = (a 1 , a 2 , a 3 ) de E telle que Mat A f =





0 1 0 0 0 1 0 0 0





c. Calculer (id E +f ) ◦ (id E +g) . Que peut-on en déduire pour id E +f ? d. Montrer que g ³ = 0 _L(E) et que g ² = 0 _L(E) si et seulement si f ² = 0 _L(E) . 4. On va montrer ici que toute matrice de la forme I 3 + N avec

N =





0 α γ 0 0 β 0 0 0



 et (α, β, γ) ∈ R ³ est semblable à son inverse.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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a. Montrer que I 3 + N est inversible. Calculer N ² et N ³ .

b. Soit A une base de E . On dénit un endomorphisme f ∈ L(E) par : Mat

A f = N

En utilisant f , montrer que I ₃ + N est semblable à son inverse.

5. Donner un exemple de matrice dans M 3 ( R ) qui est inversible et semblable à son inverse mais qui n'est pas semblable à une matrice de la forme de la question 4.

Problème 2. Matrices pseudo-magiques.

Dans toute la suite, n désigne un entier naturel xé supérieur ou égal à 2.

On note J la matrice carrée à n lignes et n colonnes dont tous les éléments sont égaux à 1.

Une matrice A = (a _ij ) (i,j)∈{1,···,n}

∈ M _n ( R ) est dite pseudo-magique si et seulement si

∀(i, j) ∈ {1, · · · , n} ² :

n

X

q=1

a qj =

n

X

q=1

a iq

On note alors d(A) la valeur commune de ces 2n nombres et E l'ensemble des matrices pseudo-magiques.

1. Montrer que E est un sous espace vectoriel de M et que d est une forme linéaire sur E . 2. Montrer qu'une matrice A de M appartient à E si et seulement si il existe un réel λ

tel que

AJ = J A = λJ

3. a. Montrer que E est une sous-algèbre de M et que d est un morphisme d'algèbre.

b. Montrer que si A est une matrice inversible appartenant à E alors d(A) 6= 0 et A ⁻¹ ∈ E . Comparer d(A ⁻¹ ) et d(A) ⁻¹ .

c. Soit A ∈ E telle que d(A) 6= 0 . La matrice A est-elle inversible ?

4. Soit A ∈ E , on note B = ^d(A) _n J et C = A − B . Calculer BC et CB . Pour tout entier naturel p , en déduire une expression de A ^p en fonction de B et C .

5. Soit F = {A ∈ E tq d(A) = 0} et G = Vect (J) . Montrer que F et G sont des sous espaces vectoriels supplémentaires de E .

6. Soit r et s des éléments de {2, · · · , n} , on désigne par T r,s la matrice dont tous les éléments sont nuls sauf quatre

t ₁₁ = t _rs = 1 et t _1s = t _r1 = −1

a. Montrer que la famille ( T r,s ) (r,s)∈{2,···,n}

constitue une base de F . b. En déduire les dimensions de F et E .

Problème 3. Lemme de Hochschild.

On rappelle que le symbole de Kronecker δ ij vaut 1 si i = j et 0 sinon.

L'objet de ce problème est de démontrer le Lemme de Hochschild (question 1) et d'en déduire une application.

Soit X un ensemble quelconque et V un sous espace vectoriel de dimension p de l'espace de toutes les fonctions de X dans R.

1. a. Montrer qu'il existe x ₁ ∈ X et une base (a ₁ , a ₂ , · · · , a _p ) de V telle que

∀i ∈ {1, · · · , p} : a i (x 1 ) = δ i1 .

b. Soit k < p , on suppose qu'il existe une famille (x 1 , x 2 , · · · , x k ) d'éléments de X et une base (u 1 , · · · , u p ) de V telle que

∀i ∈ {1, · · · , p}, ∀j ∈ {1, · · · , k} : u i (x j ) = δ ij .

Montrer qu'il existe un élément x k+1 de X et une base (v 1 , · · · , v p ) de V telle que

∀i ∈ {1, · · · , p}, ∀j ∈ {1, · · · , k + 1} : v i (x j ) = δ ij .

c. Montrer qu'il existe une base (w 1 , · · · , w p ) de V et une famille (x 1 , · · · , x p ) d'élé- ments de X vériant

∀(i, j) ∈ {1, . . . , p} ² : w _i (x _j ) = δ _ij .

2. Application. Soit f une fonction dérivable de R dans R telle que l'espace engendré par ses translatées soit de dimension nie. On va montrer qu'elle vérie une équation diérentielle linéaire à coecients constants.

Pour tout réel a , on note f a l'application dénie par f a (t) = f (a + t) pour tout t réel.

On pose

V = Vect(f _a , a ∈ R )

et on suppose que V (sous-espace de l'espace de toutes les applications dérivables de R dans R) est de dimension nie p .

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a. Montrer qu'il existe une base (v 1 , · · · , v p ) de V et des réels (x 1 , · · · , x p ) tels que

∀(a, b) ∈ R ² , f(a + b) = X

i∈{1,...,p}

f (a + x i )v i (b).

b. Montrer que f est indéniment dérivable, que f ⁰ est dans V et qu'il existe des réels a 0 , a 1 , · · · a p tels que

a p f ^(p) + a p−1 f ^(p−1) + · · · + a 1 f ⁰ + a 0 f = 0.

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