Th´ eorie des Nombres, Maˆıtrise Math´ ematiques Paris VI Michel Waldschmidt
Exercices - Feuille D 24 Mars 2004
Exercice D1.
a) Soient K un corps et L une extension finie de degr´ e n de K. Pour γ ∈ L on d´ esigne par [γ] l’endomorphisme du K-espace vectoriel L d´ efini par x 7→ γx. V´ erifier que γ 7→ [γ ] est un morphisme d’anneaux du corps L dans l’anneau des endomorphismes de L sur K.
b) Soit α ∈ L. On suppose L = K(α) et on consid` ere la base {1, α, . . . , α
n−1} de L sur K. Quelle est la matrice repr´ esentant l’endomorphisme [γ] dans cette base? En d´ eduire un isomorphisme du corps L sur un sous-anneau (que l’on pr´ ecisera) de l’anneau M
n×n(K) des matrices carr´ ees n × n ` a coefficients dans K.
Exercice D2. Soit p un nombre premier. On note F
ple corps ` a p ´ el´ ements. Les lettres m, n et d d´ esignent des entiers ≥ 1. On note E
nl’ensemble des polynˆ omes unitaires irr´ eductibles de F
p[X] de degr´ e n et ψ(n) le nombre d’´ el´ ements de E
n.
a) Soit f un polynˆ ome irr´ eductible dans F
p[X] de degr´ e m. Montrer que f divise X
pn− X dans F
p[X] si et seulement si m divise n.
b) En d´ eduire
X
pn− X = Y
d|n
Y
f∈Ed
f(X) ∈ F
p[X].
c) V´ erifier
p
n= X
d|n
dψ(d).
d) Montrer
ψ(n) = 1 n
X
d|n
µ(d)p
n/d,
o` u µ(n) d´ esigne la fonction de M¨ obius.
Rappel: µ : N \ {0} → Z est l’unique application v´ erifiant µ(1) = 1 et X
d|n
µ(d) = 0 pour tout n > 1.
Pour s et t applications de N dans un groupe additif, on a
s(n) = X
d|n
t(d) pour tout n ≥ 1 si et seulement si t(n) = X
d|n
