A.BERGER Cours de prérentrée TS Trigonométrie 1 /3 Soit C un cercle trigonométrique,
et O ; ı ; ȷ un repère orthonormé direct.
Quel que soit le réel , il existe un unique point M du cercle trigonométrique tel que ; α..
L’abscisse de M dans ; ; est appelée : L’ordonnée de M dans ; ; est appelée : On a
Propriété : Quel que soit le réel α, on a :
• 1 cosα 1 et 1 sinα 1
• cos α k " 2π cosα et sin α k " 2π sinα (k )
• cosα % sinα % 1 car & OM 1 ⟹ OM% 1 OM² cosα % sinα ² Le cercle trigonométrique :
Angles associés à *
cos cos
sin sin
cos + cos
sin + sin
cos + cos
sin + sin
cos ,+
2 - sin sin ,+
2 - cos cos ,+
2 - sin
sin ,+
2 - cos
∈ TRIGONOMETRIE
A.BERGER Cours de prérentrée TS Trigonométrie 2 /3 Formules d’addition
Quels que soient les réels . et /, on a :
cos . − / = .. / + .. /
cos . + / = .. / − . . /
sin . − / = .. / − /. .
sin . + / = .. / + /. .
Formules de duplication Quel que soit le réel ., on a :
2. = . %− . %
= 2 . %− 1 = 1 − 2 . ²
2. = 2 .. .
Résolution d’équations trigonométriques (à l’aide de formules) : 1. 1 = ⟺ 1 = + 3 × 2+ 4 1 = − + 3 × 2+ 3 ∈ ℤ 2. 1 = ⟺ 1 = + 3 × 2+ 4 1 = + − + 3 × 2+ 3 ∈ ℤ
3. Pour . > 1 ou . < −1, les équations 1 = . 9: 1 = . n’ont pas de solution.
EXERCICES Lecture du cercle trigonométrique (1 à 7)
Exercice 1 :
Déterminer la valeur exacte de :
;<=>?@ ;<=A?@ =BCD?@ =BCE?@ ;<=>? ;<=DF?A =BC @? ;<=E? =BCE?>
Exercice 2 : Déterminer un réel . dans chaque cas : 1° G
H
%= .
√J
% = . 2° G
√%
% = .
D√%
% = . 3° K1 = .
0 = . 4° K 0 = .
−1 = . 5° G
D√J
% = .
DH
% = .
Exercice 3 : étant un paramètre fixé, écrire sous la forme" cos . + ." : . √%% + √%% / −√J% +H% 0 + N DH% − √J% 9 − 1 + 0 Exercice 4 : Résoudre les équations suivantes a) dans O– + ; ++O, b) dans Q0 ; 2+Q:
R = √3
2 ; R = 1 ; R =−√3
2 ; R = −1 ; cos R =−√2 2 Exercice 5 : Signe de R et R sur Q−+; ++] , puis sur Q0 ; 2+]
R −+ + cos R
sin R
R 0 2+
cos R sin R Exercice 6 :
1° Résoudre les inéquations suivantes a) dans O– + ; ++O, b) dans Q 0 ; 2+Q : cos R ≥H% ; sin R <H% ; R > −1 ; R ≤√%H ; R ≥ −√%% .
2° Etudier le signe de V R = 2 R − 1 , puis de W R = 1 − √2 R sur Q−+ ; +]
A.BERGER Cours de prérentrée TS Trigonométrie 3 /3 Exercice 7 :
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct ; ; .
Déterminer l’ensemble E1 des points M du plan tel que ; X% Q2+T Déterminer l’ensemble E2 des points M du plan tel que ; X% Q2+T Déterminer l’ensemble E3 des points M du plan tel que ; 0 Q2+T Déterminer l’ensemble E4 des points M du plan tel que ; + Q2+T Exercice 8 :
Sachant que cos R HJ et – + 8 R 8 X% calculer : sin R ; tan R ; cos R + ; sin R + .
Exercice 9 :
Exprimer en fonction de cos R et / ou sin R
V cos R 3+ sin 4+ R ,+
2 R-
W \R 3+
2 ] \R 5+
2 ] \R 7+
` cos 2+ R 3+ R sin 3+ R2 ] a cos ,R +
3- cos ,R + 3- Exercice 10 :
Réduire les sommes ci-dessous à la forme cos ( … ) ou sin( …. )
V cosXJ. cos R sinXJ. sin R W √%% . sin R √%% . cos R ` √J% cos R H%sin R Exercice 11 :
A et B sont deux points distincts. On considère les ensembles : o bH: la droite VW privée du segment QVWT.
o b%: la droite VW privée des deux points A et B.
o bJ: le segment QVWT privé des deux points A et B.
Reconnaître :
• L’ensemble des points M du plan tels que V ; W 0 Q2+T
• L’ensemble des points M du plan tels que V ; W 3 " + 3 ∈
• L’ensemble des points M du plan tels que V ; W 0 Q2+T
Exercice 12 :
ABD est un triangle direct et A, B, C sont alignés dans cet ordre. Vrai ou faux ?
• WV ; W` + Q2+T
• VW ; V` `W ; `V Q2+T
• VW ; Va WV ; aV Q2+T
• WV ; Wa + W` ; Wa Q2+T
• VW ; Va Wa ; WV aV ; aW + Q2+T
