cos ln 1

PanaMaths Décembre2012

Calculer :

( )

²

2 0 2 0

cos ln 1

lim sin sinh

x

x x

x

t t

t t dt

→>

× +

∫ ×

Analyse

Les bornes de l’intervalle d’intégration sont variables mais … la fonction à intégrer se comporte « sympathiquement » au voisinage de 0 !

Résolution

Posons d’abord :

( ) (

²

)

2

cos ln 1 sin sinh

t t

t t t

ϕ = ^{× +}

× qui est définie pour t≠0. On a facilement les équivalences :

0

cost∼1, ^{ln 1}

(

^+t2

)

^∼₀^{t2, sin2t t∼}₀ ^{2 et sinht t∼}₀ ^.

D’où :

( )

₂ ²

0

1 t 1

t t t t

ϕ ^× =

∼ × .

La fonction inverse est intégrable au voisinage de 0 et il n’y a donc pas de problème d’existence de toute intégrale de la forme

∫

₀^aϕ

( )

^{t dt} où a est un réel non nul.

Il en va donc de même pour

∫

_x^2xϕ

( )

^{t dt=}

∫

₀^2xϕ

( )

^{t dt−}

∫

₀^xϕ

( )

^{t dt} pour tout x réel non nul (à fortiori strictement positif).

Pour pouvoir calculer la limite demandée, nous allons donner un développement limité généralisé de ϕ au voisinage de l’origine.

Au numérateur, nous avons ^{cos 1 1 2 o}

( )

³

t= −2t + t et ^{ln 1}

(

²

)

^{2 1 4 o}

( )

⁵

t t 2t t

+ = − + d’où :

(

²

)

^{1 2}

( )

^{3 2 1 4}

( )

^{5 2 4}

( )

⁵

cos ln 1 1 o o o

2 2

t× +t = −⎡⎢⎣ t + t ⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣× t − t + t ⎤⎥⎦= − +t t t

On a par ailleurs : ^{sint= −t 1}₆^t3+o

( )

^{t4 . D’où : sin2t= −⎡}_⎢⎣^{t 1}₆^t3+o

( )

^{t4 ⎤}_⎥⎦^{2 = −t2 1}₃^t4+o

( )

^{t5 .}

Or ^{sinh 1 3 o}

( )

⁴

t= +t 6t + t .

PanaMaths Décembre2012

On en déduit :

( ) ( ) ( )

2 2 1 4 5 1 3 4 3 1 5 6

sin sinh o o o

3 6 6

t× t=⎡⎢⎣t − t + t ⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣× +t t + t ⎤⎥⎦= −t t + t

Ainsi :

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

2 2 3

2 2 4 5 1

2 3 2 3

2 3 5 6 3 2 3

1 o

cos ln 1 o 1 1

1 o 1 o

1 1

sin sinh o 1 o 6

6 6

t t t

t t t t t

t t t t t

t t t t t t t t t

ϕ

⎡ − + ⎤ −

× + − + ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= × = − + = ⎡⎢⎣ − + ⎤⎥⎦ = × − +⎣ ⎦× −⎢⎣ + ⎥⎦

On a : ^⎡_⎣^{1− +t2 o}

( )

^{t3 ⎤}_⎦^{× −⎡}_⎢⎣^{1 1}₆^t2+o

( )

^{t3 ⎤}_⎥⎦^{−1= − +⎡}_⎣^{1 t2 o}

( )

^{t3 ⎤}_⎦^{× +⎡}_⎢⎣^{1 1}₆^t2+o

( )

^{t3 ⎤}_⎥⎦^{= −1 5}₆^t2+o

( )

^t2

Finalement :

( )

^{t 1}_t ^{1 t2 o}

( )

^{t3 1 1}₆^{t2 o}

( )

^{t3 1 1}_t ^{1 5}₆^{t2 o}

( )

^{t2 1}_t ⁵₆^{t o}

^{( )}

^t

ϕ = × − +^⎡⎣ ^⎤⎦ ⎣× −^⎡⎢ + ^⎤⎥⎦⁻ = × −^⎡⎢⎣ + ^⎤⎥⎦= − +

D’où, pour tout réel x non nul :

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 1 5 2 1 5 2 1 5 2 2

6 o 6 6

x x x x x x

x t dt x t t dt x t t t dt x dt x tdt x t t dt

t t t

ϕ = ^⎡⎢⎣ − + ^⎤⎥⎦ = ^⎡⎢⎣ − + ε ^⎤⎥⎦ = − + ε

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Avec :

( )

lim0 0

t ε t

→ = .

On a :

• ² 1 ²

ln ln 2 ln ln 2

x x

x dt t x x x

t = ⎡⎣ ⎤ =⎦ − =

∫

^.

• ^{2 1 2 2 1}

( )

^{2 2 1 2 3 2}

2 2 2 2

x x

x x

tdt=⎡⎢⎣ t ⎤⎥⎦ = x − x = x

∫

qui tend vers 0 lorsque x tend vers 0.

•

∫

_x^2xtε

( )

^{t dt ≤}

∫

_x^2xtε

( )

^{t dt=}

∫

_x^2xtε

( )

^{t dt. Comme} lim0

^{( )}

0

t ε t

→ = , on peut affirmer que pour un réel ε strictement positif donné, il existe un réel α strictement positif tel que : ^{t ≤ ⇒α ε}

( )

^{t ≤ε. Comme t ≤2x, on a :}

( )

x≤α2 ⇒ε t ≤ε.

Il vient alors : ²

( )

^{2 3 2}

2

x x

x tε t dt≤ε x tdt= εx

∫ ∫

qui tend vers 0 lorsque x tend vers 0.

Finalement :

( ) ( )

2 2

0 0

0 0

1 5

lim lim o ln 2

6

x x

x x

x x

x x

t dt t t dt

ϕ t

→ →

> >

⎡ ⎤

= ⎢⎣ − + ⎥⎦ =

∫ ∫

^.

PanaMaths Décembre2012

Résultat final

(

²

)

2 0 2 0

cos ln 1

lim ln 2

sin sinh

x x x

x

t t

t t dt

→>

× +

× =

∫