ln cosh ln cos lim

PanaMaths Janvier 2002

Déterminer :

( ) ^{( )}

( )

0 2

ln cosh ln cos lim

^x

cosh cos

x x

x x x

→

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝

−

⎠

Analyse

Comme on a

( ) ( )

0 0

lim cosh lim cos 1

x x x x

→ = → = , il vient : lim ln cosh₀

( ( )

ln cos

( ) )

0

x x x

→ + = et

( )

(

²

)

0

lim cosh cos 0

x x x x

→ − = . Nous sommes donc confrontés à une forme indéterminée du type

« 0

0 ». On la lève en menant en 0 des développements limités du numérateur et du dénominateur qui permettent de trouver des équivalents simples. Une petite remarque complémentaire : éviter trop de calcul au niveau du numérateur !

Résolution

Le numérateur s’écrit : ln cosh cos

(

x x

)

. Sous cette forme, la détermination de son développement limité est plus simple.

Les développements limités du cosinus et de cosinus hyperbolique ne comportent que des termes pairs :

( ) ( )

²

( )

2 4

1 2

cos 1 ...

2 24 2 !

n n

x n

x x

x x

n ο

= − + + + − + et

( ) ( )

2 4 2

cos 1 ... 2

2 24 2 !

n

x x x n

x x

n ο

= + + + + +

En effectuant le produit de tels développements limités, on constate que le résultat ne comporte pas de terme en x², on va donc chercher le développement limité de ce produit à l’ordre 4 puisque le premier terme suivant le 1 nous fournira, via le logarithme népérien, un équivalent simple du numérateur.

On considère donc les développements limités en 0 à l’ordre 4 du cosinus et du cosinus hyperboliques :

2 4

( )

cos 1 4

2 24

x x

x= − + +ο x

( )

2 4

cosh 1 4

2 24

x x

x= + + +ο x

PanaMaths Janvier 2002

On a alors :

( ) ( )

( ) ( )

2 4 2 4

4 4

4 4

4

4

cosh cos 1 1

2 24 2 24

1 1 1

1 24 24 4

1 6

x x x x

x x x x

x x

x x

ο ο

ο ο

⎛ ⎞⎛ ⎞

= +⎜ + + ⎟⎜ − + + ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞

= +⎜⎝ + − ⎟⎠ +

= − +

Comme, au voisinage de 0, on a ^{ln 1}

(

^+x

)

^{∼ x}, on en déduit :

( )

⁴

( )

^{4 4}

ln cosh cos ln 1

6 6

x x

x x = ^⎛⎜ − +ο x ^⎞⎟ −

⎝ ⎠∼

Toujours à partir des développements limités du cosinus et du cosinus hyperboliques, on a :

( ) ( )

( )

2 4 2 4

4 4

2 4

cosh cos 1 1

2 24 2 24

x x x x

x x x x

x x

ο ο

ο

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− = +⎜ + + ⎟ ⎜− − + + ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= +

D’où : ^x2

(

^coshx−cosx

)

^=x4+ο

( )

^{x6 .}

Soit :

( )

2 4

cosh cos

x x− x ∼x

Il vient finalement :

( )

( )

4

2 4

ln cosh cos 6 1

cosh cos 6

x

x x

x x x − x = −

− ∼

C’est à dire :

( )

( )

0 2

ln cosh cos 1

lim^x cosh cos 6

x x

x x x

→

⎛ ⎞

⎜ ⎟= −

⎜ − ⎟

⎝ ⎠ .

Résultat final

( )

( )

0 2

ln cosh cos 1

lim^x cosh cos 6

x x

x x x

→

⎛ ⎞

⎜ ⎟= −

⎜ − ⎟

⎝ ⎠