lim ln 1

(1)

PanaMaths Janvier 2002

Déterminer :

0

1 1

lim ln 1

x

x x

→

⎛ ⎛ ⎞⎞

⎜ ⎜ ⎟⎟

⎜ ⎝ ⎠⎟

⎝ ⎠

+ −

Analyse

Cet exercice consiste en fait à étudier une éventuelle prolongation par continuité en 0 de la fonction f définie sur

]

⁻^{1 ; 0}

[ ] [

^∪ ^{0 ; 1} ^par ^{( )} ¹^ln ¹

1 f x x

x x

= +

− .

Comme on a :

( )

0

lim ln 1 ln 1 0

1

x

→ x

⎛ ⎛ + ⎞⎞= =

⎜ ⎜⎜ ⎟⎟⎟

⎜ ⎝ − ⎠⎟

⎝ ⎠ , nous sommes confrontés à une forme

indéterminée du type « 0

0 ». Pour la lever, il « suffit » de récrire f pour faire apparaître des expressions admettant des limites connues en 0.

Résolution

On a : ^{∀ ∈ −}^x

]

^{1 ; 0}

[ ] [

^∪ ^{0 ; 1} ^:

( ) ( )

( )

^{ln 1}

⁽ ⁾

^{ln 1}

⁽ ⁾

^{ln 1}

⁽ ⁾

^{ln 1}

⁽ ⁾

1 1 1

( ) ln 1 ln 1

2 2 2

x x x x

f x x x

x x x x x

⎛ + − ⎞ ⎛ + − ⎞

= + − − = ⎜⎝ − ⎟⎠= ⎜⎝ + − ⎟⎠

Or, on a :

( ) ( )

0 0

ln 1 ln 1

lim lim 1

x x

→ →

⎛ + ⎞ ⎛ − ⎞

= =

⎜ ⎟ ⎜ − ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

D’où :

( )

0

lim ( ) 1 1 1 1 2

x f x

→ = + = .

La fonction f admet une limite finie en 0 et peut être prolongée par continuité en posant : (0) 1

f = .

(2)

PanaMaths Janvier 2002

Résultat final

0

1 1

lim ln 1

1

x

x x

→

⎛ ⎛ + ⎞⎞=

⎜ ⎜⎜ ⎟⎟⎟

⎜ ⎝ − ⎠⎟

⎝ ⎠