lim ln

(1)

PanaMaths Mars 2002

Déterminer :

( )

²

⁽ ^{( )} ⁾

²

lim ln

0

ln

x

x x

→

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝

+

⎠

Analyse

La présence du terme ^ln

( )

^x fait que nous travaillons sur l’intervalle

]

^{0 ;}^{+ ∞}

[

. Nous allons donc en fait déterminer 0

( ( )

²

( ^{( )} )

²

)

0

lim ln ln

x x

→>

+ . Comme on a ^{lim ln}_x_→₀

( ( )

^x²

)

^{= −∞}^et

( ( ) )

(

²

)

0

lim ln

x x

→ = +∞, nous sommes confrontés à une forme indéterminées de type « ∞ − ∞ ».

Pour autant, récrire la fonction en tenant compte d’une propriété élémentaire du logarithme népérien permet de la lever ...

Résolution

On a, pour x>0 : ^ln

( )

^x² ⁼^{2 ln}^x^.

Donc, pour x≠1 : ^ln

( )

²

(

^ln

^{( )} )

² ^{2 ln}

^{( )} (

^ln

^{( )} )

²

(

^ln

^{( )} )

² ² ¹

x x x x x ln

x

⎛ ⎞

+ = + = ⎜⎝ + ⎟⎠

Or :

0 0

lim ln

x x

→ x

>

= −∞. Donc :

0 0

lim 2 1 0 1 1

ln

x

x^→_> x

⎛ + = + =⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

Il vient donc : 0

( ( )

²

( ^{( )} )

²

)

0

⁽ ^{( )}

²

⁾

0 0

lim ln ln lim ln

x x

x x x

→ →

> >

+ = = +∞.

Résultat final

( ) ( ^{( )} )

(

² ²

)

0 0

lim ln ln

x x

→>

+ = +∞

lim ln

PanaMaths Mars 2002

Déterminer :

( )

( ( ) )

lim ln

ln

x x

+

Analyse

( )

]

[

( ( )

( ( ) )

)

( ( )

)

( ( ) )

(

)

Résolution

( )

( )

(

( ) )

( ) (

( ) )

(

( ) )

( ( )

( ( ) )

)

( ( )

)

Résultat final

( ) ( ( ) )

(

)

⁽ ^{( )} ⁾

( ^{( )} )

^{( )} )

^{( )} (

^{( )} )

^{( )} )

( ^{( )} )

⁽ ^{( )}

⁾

( ) ( ^{( )} )