Limites de fonctionsOn considère que les opérations sur les limites sont connues.

Limites de fonctions

On considère que les opérations sur les limites sont connues.

I. Limites à l'infini

Limite finie en +∞ ou en -∞ : Définition :

l désigne un réel.

Dire qu'une fonction f a pour limite l en +∞ signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs f x pour x assez grand.

La droite d'équation y=l est asymptote horizontale en +∞ à la courbe représentative C de f. Exemple 1: la fonction inverse : f (x) = 1

x admet pour limite 0 à l'infini:

démonstration :

Soit I un intervalle ouvert contenant 0 : il existe deux réels a et b tels que I = ] a ; b [ avec b > 0.

Si x > ¹

b alors 0 < ¹ x < b.

Donc tout intervalle ouvert ] a ; b [ contenant 0 contient toutes les valeurs f x pour x assez grand ( x1

b )

On a bien démontré que ^lim

x∞

1 x = 0.

Exemple 2: la fonction définie sur ℝ par f(x) = exp ( -x) Montrons que ^lim

x ∞e^{– x} = 0.

On a déjà démontrer que si x >0 ; e^x > x donc 0 < 1 e^x < 1

x .

Soit I un intervalle ouvert contenant 0 : il existe deux réels a et b tels que I = ] a ; b [ avec b > 0.

Si x > ¹

b alors 0 < ¹

x < b. et donc 0 < 1 e^x < ¹

x < b

Donc tout intervalle ouvert ] a ; b [ contenant 0 contient toutes les valeurs f x pour x assez grand ( ^x1

b )

On a bien démontré que lim

x∞

1

e^x = 0 et comme 1

e^x = e^{– x} : ^lim

x ∞e^{– x} = 0.

Limite infinie en +∞ ou en -∞ : Définition :

Dire qu'une fonction f a pour limite +∞ en signifie que tout intervalle ]A ; +∞[ (avec A réel) contient toutes les valeurs de f x pour x assez grand.

Dire qu'une fonction f a pour limite -∞ en +∞ signifie que tout intervalle ]-∞ ; B[ (avec B réel) contient toutes les valeurs de f x pour x assez grand.

Exemple 3:

Montrons que lim

x∞



Soit A un réel supérieur à 0.

On sait que la fonction racine est croissante, donc si x > A² alors



Donc tout intervalle ]A ; +∞[ (avec A réel supérieur à 1) contient toutes les valeurs de f x pour x assez

grand ( x strictement supérieur à A² ) Définition :

a et b sont des réels avec a≠0 . C est la courbe représentative de f dans un repère.

Dire que la droite d'équation y=axb est asymptote oblique à C en +∞ (respectivement en -∞) signifie que :

lim

x∞

fxaxb=0

(respectivement : _{x ∞}^{lim fxaxb=0} )

II. Limite finie en un réel :

Limite finie :

Exemple 4 : avec le taux de variation : f x=sinx

x définie sur ℝ^{*. lim}_x0 ^{f x=1} f ( x ) = e^x– 1

x définie sur ℝ^*. lim

x0

f x=1

Limite infinie en un réel a :

Exemple 5 :

Soit f la fonction définie sur ℝ \ {1} par f ( x ) = 1

x – 1²

x – 1²  0 et lim_x0x – 1² = 0 donc lim

x0

1

x – 1^{2 = + ∞} Définition : dans ce cas

La droite d'équation x=a est asymptote verticale en a à la courbe représentative C de f. Exemple 6 :

Soit f la fonction définie sur ℝ \ {1} par f ( x ) = 2

x – 1

Graphiquement, on voit à la calculatrice que les limites à droite et à gauche en 1 ne sont pas les mêmes.

Limite à droite. Si x > 1 : ^lim_x0^{x – 1} = 0⁺ donc ^lim

x0

2

x – 1 = - ∞ Limite à droite. Si x < 1 : lim

x0

x – 1 _{= 0} ^- donc lim

x0

2

x – 1 = + ∞

III. Opération sur les limites

Pour lever les formes indéterminées:

Propriétés :

La limite d'une fonction polynôme en +∞ ou en -∞ est la limite de son terme de plus haut degré.

La limite d'une fonction rationnelle (quotient de deux fonctions polynômes) en +∞ ou en -∞ est la limite du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

Dans les autres cas, on met en facteur ce qui tend « le plus vite » vers la limite ( infinie ou pas ).

IV. Limites par comparaison

Théorème des « gendarmes » :

f, g et h sont trois fonctions et l est un réel.

Si lim_x∞gx=l et lim_x∞hx=l et pour x suffisamment grand gx≤fx≤hx Alors _{x ∞}^{lim fx=l}.

Démonstration ( à connaître):

Comparaison de deux fonctions :

Si lim_x∞gx=∞ et si pour x assez grand f x≥gx alors lim_x∞ fx=∞. Si _{x ∞}^{lim gx=∞} et si pour x assez grand f x≤gx alors _{x ∞}^{lim fx=∞}.

V. Limites et fonctions composées

Limite de la composée de deux fonctions : a, b et c désignent des réels ou +∞ ou -∞.

f et g sont des fonctions.

Si lim_xa f x=b et lim_xb gx=c alors lim

xa

g°f x=c

VI. Formes indéterminées particulières

Limites en 0: à connaître:

lim

x0

sinx

x = 1 lim

x0

cosx1

x = 0 lim

x0

e^x1 x = 1 ( nombre dérivé )

Limites à l'infini:

lim

x ∞

e^x

x = +∞ lim

x–∞x e^x = 0 Démonstration ( à connaître )

a) Montrons que lim

x ∞

e^x x = +∞

idée : montrer que e^x

x  x pour x  1.

b) Montrons que lim

x–∞x e^x = 0

idée : se ramener au cas précédent en posant X = - x.