fonction rationnelle , limites , variation, tangentes

DS MATHEMATIQUES TERMGMF 2008-2009 PROBLEME :

Soit f la fonction définie sur ^{R \}

 

^1 par :

2 2 1

( ) 1

x x

f x x

  

  .

On appelle ^Cf sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.

1/ Déterminer lim₁ ( )

x _ f x

  puis _x^lim_{ 1}^{ f x( )}, qu’en déduit-on pour la courbe ^Cf ? 2/ Déterminer lim ( )_x f x

 puis lim ( )_x f x

 . 3 /

a. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x 1,

 

1 f x a x b c

  x

 . b. Montrer que la courbe ^Cf admet une asymptote D d’équation y = − x + 3.

4 / Étudier les positions relatives de la courbe ^Cf et de la droite D.

5/

a. Calculer la dérivée de la fonction f .

b. Étudier les variations de f.

6 /

a. Déterminer les coordonnées du point A d’intersection avec l’axe des ordonnées . b. Déterminer les coordonnées des points d’intersection avec la droite d’équation : ^y1

c. Donner une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d’abscisse 1 7 / Tracer la courbe ^Cf , la tangente T et la droite D sur le même graphique.

Exercice 20 : Soit f la fonction définie sur ^{R \}

 

^1 par :

2 2 1

( ) 1

x x

f x x

  

  .

1. ²

lim (1 2 1) 1 2 1 2

x _ x x

          ;

lim (1 1) 0

x _ x ^

  

1

lim 1 1

x ^ x  

 , donc lim₁ ( )

x _ f x

  . La droite d’équation x =  est donc asymptote à C.

De manière analogue on obtient lim₁ ( )

x _ f x

  

2.

2

2 2 2

2 1

2 1 1

lim ( ) lim lim lim lim

1 1 1

x x x x x

x x x x x x

f x x

x x x

x

    

 

    

      

           

On déduit que lim ( )

x f x

  et de manière analogue on obtient lim ( )

x f x

  

3 a) pour x > , ( )( 1) ^{2 2} ( )

( ) 1 1 1 1

c ax b x c ax ax bx b c ax a b x b c

f x ax b

x x x x

          

     

   

Donc on a :  x² 2x 1 ax²(a b x b c )   , d’où a 1 ;

b a          ² b ² a 2 ( 1) 2 1 3 et b c        1 c 1 b 1 3 2 b.



^{f x( )  }



^{x 3}

 

^ _x^_²₁ ^et _x^lim _(x^_²₁₎^{0 .donc lim}



^{( )}

^

³

^ 

⁰

x f x x

     La droite d’équation ^{y  x 3}est donc asymptote à C en + .

Pour étudier les positions de C par rapport à (D) , il faut étudier le signe de



^{f x( )  }



^{x 3}

 

, donc de 2

1 x



 .sur ^{]  ; 1[} : x 1, donc x 1 0et 2 1 0 x

 

 , donc la courbe C est dessus de la droite (D) et en dessous de la droite ( D) sur l’intervalle ^]1;[

3. a) f est dérivable sur ^{R \}

 

^1 car c’est une fonction rationnelle. ( ) 3 ¹ f x x 1

   x

 ;

 

 

 

   

 

   

 

2

2 2 2 2

2 ( 1 2 1 2 1 2 1

1 2

'( ) 1 2

1 1 1 1

x x x x

f x x

x x x x

       

  

     

   

.Donc

   

 

²

2 1 2 1

'( ) 1

x x

f x x

   

  .

     

2 2

2 2 2

( 2 2)( 1) ( 2 1) 2 ² 2 2 2 2 1 ² 2 1

'( ) 1 1 1

x x x x x x x x x x x

f x x x x

                

  

  

^{f x'( ) 0} équivaut à  x² 2x 1 0 : D b²ac ( 2)² 4( 1) 1 4 4 8 0       8 2 2

Donc ₁ 8 2 2 2 2(1 2)

1 2

2 2 2

x b

a

   

     

  ; ₂ 2 2 2 2(1 2)

1 2

2 2 2

x b

a

  D  

     

 

c) Tableau de variation de f :

x  _{ 1 2} 1 _{ 1 2} 

'( )

f x ^ 0 + + 0 ^ ( )

f x

 

_{ 2}

₂

 

_{1 2}



^{1 2}

 

^{2 1 2}



2

2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2

( ) 2

2 2

f    

             .



^{1 2}

 

^{2 2 1 2}



1 1 2 2 2 2 2 2 1 2

( ) 2

2 2

1 2

f     2          

   



f admet donc un minimum en  1 2 qui est f( 1 2)  2. f admet un maximum en _{ 1 2} qui est f( 1 2) 2. 4. a. ^{f(0) 1}

b.

2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 1

1 1 0 0 0

1 1 1 1

x x x x x x x x x

x x x x

                   

   

Donc      x² x 0 x( 1 x) 0  x 0ou x1

c) A( 1 ; 1 ) .Une équation de TA est : ^{y f '(1)(x 1) f(1)} ; 1 2 1 2

(1) 1

1 1 2

f      



  

    

2

2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 4 2 1

'(1) 1 1 4 4 4 2

f              

 ¹



^{1 1}



y 2 x  soit ^{1 1}

2 2

y x

B( 0 ; 1 ) .Une équation de TB est : ^{y f '(0)(x 0) f(0)} ; soit y x 1

C_f

D

C_f TB

TA

2 3 4 5 6 7

-1 -2 -3 -4 -5 -6

2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 -2 -3

0 1

1

x y