2ndeISI Fonctions chapitre 4 2009-2010
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ DEUX
Table des matières
I Définitions 1
II Variations et représentation graphique 3
III Méthodes pratiques pour déterminer les variations de P 4
F F F F F F
I Définitions
Définition 1
On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P définie surR de la forme P(x) =ax2+bx+c
où a,b etcsont des réels appelés coefficients avec a6= 0.
Exemple 1
Exemples de fonctions polynômes du second degré, ou pas !
fonctions polynôme de degré2 coefficients autres fonctions
P(x) = 2x2−5x+ 3 a= 2,b=−5,c= 3 P(x) =x3+ 2x2−5x+ 3 P(x) =−x2+ 3 a=−1,b= 0,c= 3 P(x) =x−5
P(x) =−7x2+ 3x a=−7,b= 3,c= 0 f(x) =x2−5x+1 x
Définition 2
Une expression de la formea(x−α)2+b avec a6= 0 s’appelle la forme canonique d’un polynôme de degré 2.
Toute fonction polynôme admet une forme canonique.
Exemple 2
L’expressionP(x) = 2(x−1)2+ 3est la forme canonique du polynôme P(x) = 2x2−4x+ 5.
➔ En effet :2(x−1)2+ 3 = 2(x2−2x+ 1) + 3
= 2x2−4x+ 5 =P(x).
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II Variations et représentation graphique
Les parties en bleu ne sont pas exigibles en seconde.
Propriété 1
La fonction polynôme de degré 2 définir sur ]− ∞; +∞[ est :
♦ strictement décroissante puis strictement croissantesi a >0,
♦ strictement croissante puis strictement décroissantesi a <0,
Tableau de variations et représentation graphique :
a >0
x −∞ − b
2a +∞
+∞ +∞
f & %
min
x=− b
2a
b
minimum
a <0
x −∞ −b
2a +∞
Max
f % &
−∞ −∞
x=− b
2a
b
Maximum
Dans un repère (O;−→ i;−→
j), la courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2 est une parabole, cette parabole admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées.
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III Méthodes pratiques pour déterminer les variations de P
• Utilisation de la forme canonique a(x−α)2+β.
Sia >0, alorsa(x−α)2 ≥0 donc, a(x−α)2+β ≥β
le minimumβ est atteint lorsquea(x−α)2= 0, c’est-à-dire pour x=α.
Exemple 3
SoitP(x) = 2(x−2)2−1, on obtient : P est décroissante sur]− ∞; 2 ], croissante sur[ 2 +∞[.
Son minimum atteint en2 vaut−1.
x −∞ 2 +∞
+∞ +∞
f & %
−1
1 2 3 4
−1 1 2 3 4 5 6
−1
−2
b
Sia <0, alors a(x−α)2 ≤0 donc,a(x−α)2+β≤β
le Maximumβ est atteint lorsquea(x−α)2 = 0, c’est-à-dire pourx=α.
Exemple 4 SoitP(x) =−1
2(x−2)2−1, on obtient : P est croissante sur]− ∞; 2 ],
décroissante sur[ 2 +∞[.
Son Maximum atteint en2vaut −1.
x −∞ 2 +∞
-1 f % &
−∞ −∞
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
b
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• Utilisation de la propriété de symétrie de la courbe.
Puisque la courbe est symétrique, si l’on trouve deux points A et B de cette courbe de même ordonnée, on en déduit que leur milieuI est situé sur l’axe de symétrie.
L’abscisse de I est donc l’abscisse de l’extremum.
Exemple 5
SoitP(x) =x2−4x+ 3:
On recherche par exemple les 2 points A et B qui ont pour abscissey= 3.
Pour cela, on résoutP(x) = 3: x2−4x+ 3 = 3⇐⇒x2−4x= 0
⇐⇒x(x−4) = 0
⇐⇒x= 0 oux= 4 L’abscisse du minimum est doncx= 0 + 4
2 = 2.
L’ordonnée vautP(2) = 22−4×2 + 3 =−1.
P est décroissante sur]− ∞; 2 ], croissante sur[ 2 +∞[.
1 2 3 4
−1 1 2 3 4 5
−1
−2
b
b bb
× ×
IA B• Utilisation de x=− b 2a. Exemple 6
SoitP(x) =−x2−2x+ 3.
a=−1est négatif etb=−2 donc,−b
2a=− −2
2×(−1) =−1.
La fonctionP est donc croissante sur]− ∞; −1 ]et décroissante sur[−1 +∞[.
Son maximum est atteint pourx−1et vautP(−1) = 4.
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