FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ DEUX-FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES
Table des matières
I Fonction polynôme du second degré . . . 1
I.1 Définitions . . . 1
I.2 Variations et représentation graphique . . . 2
II Fonctions homographiques . . . 4
II.1 Définition . . . 4
I Fonction polynôme du second degré
I.1 Définitions
Définition
On appelle fonctionpolynôme du second degrétoute fonctionf définie surRde la forme f(x)=ax2+bx+c
o˘a,betcsont des réels appelés coefficients aveca6=0.
Exemples: Exemples de fonctions polynômes du second degré
fonctions polynôme de degré 2 coefficients
f(x)=2x2−5x+3 a=2,b= −5,c=3
f(x)= −x2+3 a= −1,b=0,c=3
f(x)= −7x2+3x a= −7,b=3,c=0
Définition
L’expressionf(x)=ax2+bx+cpeut s’écrire sous la formef(x)=a(x−α)2+βavecα= − b
2a etβ=f(α).
Cette forme est appeléeforme canonique Démonstration :
ax2+bx+c=a µ
x2+b ax
¶
+c=a
·µ x+ b
2a
¶2
− µ b
2a
¶2¸
+c=a µ
x− µ
− b 2a
¶¶2
−b2
4a+c= a(x−α)+β en posant α= − b
2a; on a alorsβ== −b2
4a+c=f(α), car en remplaçantxparαdans f(x)=a(x−α)2+β, on trouveβ.
1
Exemples:
1. Soit f(x)=2x2−4x+5=ax2+bx+caveca=2,b= −4 etc=5.
On aα= − b
2a = − −4 2×2=1 β=f (α)=f(1)=3
far conséquent f(x)=a(x−α)2+β=2(x−1)2+3.
2. f(x)= −5x2+2x−7=ax2+bx+c aveca= −5,b=2 etc= −7.
α= − b
2a = − 2
2×(−5)=1 5 β=f(α)=f
µ1 5
¶
= −5× µ1
5
¶2
+2×1
5−7= −34 5 . On en déduitf(x)= −5
µ x−1
5
¶2
−34 5
Remarque:β=f(α) peut facilement se calculer à la calculatrice ! I.2 Variations et représentation graphique
Propriété
La fonction polynôme de degré 2 définir surRest :
♦ strictement décroissante sur ]− ∞;α] puis strictement croissante sur [α;+∞[sia>0,
♦ strictement croissante sur ]− ∞; α]puis strictement décroissante [α;+∞[sia<0, Démonstration dans le casa>0:Sur [α; +∞[ :
On prend deux nombresx1etx2avecαÉx1Éx2.
αÉx1Éx2⇒0Éx1−αÉx2−α⇒0É(x1−α)2É(x2−α)2(car la fonction carré est croisante sur [0 ;+∞[) On en déduit 0É0Éa(x1−α)2Éa(x2−α)2puisβÉa(x1−α)2+βÉa(x2−α)2β.
Les images sont classées sdan sel même ordre que les antécédents, donc la fonction f est croissante sur [α+ ∞[.
Démonstration analoguesur ]− ∞; α] et dans le cas oùa<0
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Tableau de variations et représentation graphique :
a>0
x −∞ − b
2a +∞
f(x) +∞
❅❅
❅
❘ β
✒ +∞
x= − b 2a
b
O
minimum β
α
a<0
x −∞ − b
2a +∞
f(x)
−∞
✒ β
❅❅
❅
❘
−∞
x= − b 2a
b
O Maximum β
α
Dans un repère³ O; −→
i ; −→ j ´
, la courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2 est uneparabole Cette parabole admet unaxe de symétrieparallèle à l’axe des ordonnées.
Remarque: pour calculerf(x)=a(x−α)2+β, on effectue plusieurs transformations successives : x7→(x−α)27→a(x−α)27→a(x−α)2+β.
La première transformation correspond à une translation parallèlement à l’axe des abscisses deαunités ; la deuxième, multiplication para, correspond à une dilatation (et un renversement sia<0) et la troisième à une translation parallèlement à l’axe des ordonnées deβunités.
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II Fonctions homographiques
II.1 Définition
Définition
On appelle fonction homographique toute fonction de la formex7→ ax+b
cx+d oùa,b,cetdsont des réels avecc6=0 etad−bc6=0.
Propriété
L’ensemble de définition de la fonctionf :x7→ ax+b
cx+d estR\
½
−d c
¾ .
Exemple: soit f :x7→2x+3 7x+3.
f est bien homographique et l’ensemble de définition estR\
½
−3 7
¾ .
Définition
La courbe représentative d’une fonction homographique est une hyperbole, constituée de deux branches.
Pour la fonction f :x7→2x+3
7x+3, la courbe représentative est :
1 2
−1
−2
1 2
−1
−2
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