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FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ DEUX-FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES

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Academic year: 2022

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FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ DEUX-FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES

Table des matières

I Fonction polynôme du second degré . . . 1

I.1 Définitions . . . 1

I.2 Variations et représentation graphique . . . 2

II Fonctions homographiques . . . 4

II.1 Définition . . . 4

I Fonction polynôme du second degré

I.1 Définitions

Définition

On appelle fonctionpolynôme du second degrétoute fonctionf définie surRde la forme f(x)=ax2+bx+c

a,betcsont des réels appelés coefficients aveca6=0.

Exemples: Exemples de fonctions polynômes du second degré

fonctions polynôme de degré 2 coefficients

f(x)=2x2−5x+3 a=2,b= −5,c=3

f(x)= −x2+3 a= −1,b=0,c=3

f(x)= −7x2+3x a= −7,b=3,c=0

Définition

L’expressionf(x)=ax2+bx+cpeut s’écrire sous la formef(x)=a(xα)2+βavecα= − b

2a etβ=f(α).

Cette forme est appeléeforme canonique Démonstration :

ax2+bx+c=a µ

x2+b ax

+c=a

·µ x+ b

2a

2

− µ b

2a

2¸

+c=a µ

x− µ

b 2a

¶¶2

b2

4a+c= a(xα)+β en posant α= − b

2a; on a alorsβ== −b2

4a+c=f(α), car en remplaçantxparαdans f(x)=a(xα)2+β, on trouveβ.

1

(2)

Exemples:

1. Soit f(x)=2x2−4x+5=ax2+bx+caveca=2,b= −4 etc=5.

On aα= − b

2a = − −4 2×2=1 β=f (α)=f(1)=3

far conséquent f(x)=a(xα)2+β=2(x−1)2+3.

2. f(x)= −5x2+2x−7=ax2+bx+c aveca= −5,b=2 etc= −7.

α= − b

2a = − 2

2×(−5)=1 5 β=f(α)=f

µ1 5

= −5× µ1

5

2

+2×1

5−7= −34 5 . On en déduitf(x)= −5

µ x−1

5

2

−34 5

Remarque:β=f(α) peut facilement se calculer à la calculatrice ! I.2 Variations et représentation graphique

Propriété

La fonction polynôme de degré 2 définir surRest :

♦ strictement décroissante sur ]− ∞;α] puis strictement croissante sur [α;+∞[sia>0,

♦ strictement croissante sur ]− ∞; α]puis strictement décroissante [α;+∞[sia<0, Démonstration dans le casa>0:Sur [α; +∞[ :

On prend deux nombresx1etx2avecαÉx1Éx2.

αÉx1Éx2⇒0Éx1αÉx2α⇒0É(x1α)2É(x2α)2(car la fonction carré est croisante sur [0 ;+∞[) On en déduit 0É0Éa(x1α)2Éa(x2α)2puisβÉa(x1α)2+βÉa(x2α)2β.

Les images sont classées sdan sel même ordre que les antécédents, donc la fonction f est croissante sur [α+ ∞[.

Démonstration analoguesur ]− ∞; α] et dans le cas oùa<0

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(3)

Tableau de variations et représentation graphique :

a>0

x −∞ − b

2a +∞

f(x) +∞

β

+∞

x= − b 2a

b

O

minimum β

α

a<0

x −∞ − b

2a +∞

f(x)

−∞

β

−∞

x= − b 2a

b

O Maximum β

α

Dans un repère³ O; −→

i ; −→ j ´

, la courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2 est uneparabole Cette parabole admet unaxe de symétrieparallèle à l’axe des ordonnées.

Remarque: pour calculerf(x)=a(xα)2+β, on effectue plusieurs transformations successives : x7→(x−α)27→a(xα)27→a(xα)2+β.

La première transformation correspond à une translation parallèlement à l’axe des abscisses deαunités ; la deuxième, multiplication para, correspond à une dilatation (et un renversement sia<0) et la troisième à une translation parallèlement à l’axe des ordonnées deβunités.

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(4)

II Fonctions homographiques

II.1 Définition

Définition

On appelle fonction homographique toute fonction de la formex7→ ax+b

cx+da,b,cetdsont des réels avecc6=0 etadbc6=0.

Propriété

L’ensemble de définition de la fonctionf :x7→ ax+b

cx+d estR\

½

d c

¾ .

Exemple: soit f :x7→2x+3 7x+3.

f est bien homographique et l’ensemble de définition estR\

½

−3 7

¾ .

Définition

La courbe représentative d’une fonction homographique est une hyperbole, constituée de deux branches.

Pour la fonction f :x7→2x+3

7x+3, la courbe représentative est :

1 2

−1

−2

1 2

1

2

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