Fonctions polynômes du second degré

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Fonctions polynômes du second degré

Pour reprendre contact n^o1 – 2 – 3 p 105

I. La fonction carré :x→x² (A) Sens de variation

Définition 1

Lafonction carréest définie surRparf :x→x²soitf(x)=x². Propriété 1

La fonction carré estdécroissantesur ]− ∞; 0]. La fonction carré estcroissantesur [0;+∞[.

(B) Courbe représentative Tableau de valeurs:

Représentation graphique: La courbe représentative de la fonction carré estune parabole.

Elle est constituée de tous les pointsM(x;x²) et a pour équationy=x². Le pointO(0; 0) est appeléson sommet.

Propriété 2

La parabole admet l’axe des ordonnées commeaxe de symétrie. On dit que la fonction carré estpaire.

Démonstration

Pour n’importe quel réelx, on a (−x²)=x².

Les pointsM(x;x²) etM⁰(−x;x²) appartiennent tous les deux à la courbe et sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées. L’axe des ordon- nées est donc un axe de symétrie de cette parabole.

Définition 2

Une fonction f estpairesi pour tout réelxde son ensemble de définition, le nombre−xfait aussi partie de l’ensemble de définition et f(−x)=f(x).

Exercices n^o26 - 27 p 119

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(C) Résolution de l’équationx²=a Il y a trois cas selon le signe de a :

Équation avec carré

La méthode est de se ramener à une équation du typex²=a par des opérations sur l’égalité ou par un changement de variable et d’utiliser le résultat précédent.

Exemple: Résoudre 3x²−4=71 x²−4=71

⇐⇒ 3x²=71+4

⇐⇒ 3x²=75

⇐⇒ x²=75 3

⇐⇒ x²=25

⇐⇒ x=p

25=5 oux= −p

25= −5

Exercices n^o21 – 22 – 23 – 24 p 118 Exercices n^o39 – 40 p 120

Résolution de l’inéquationx²<a Résolution de l’inéquationx²>a Il y a deux cas selon le signe de a : Il y a deux cas selon le signe de a :

Exercices n^o27 – 28 – 29 – 30 p 119

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II. Fonctions polynômes du second degré (A) Définition

Définition 3

On dit qu’une fonctionf est un polynôme du second degré s’il existe trois réelsa,betcaveca6=0 tels quef(x)=ax²+bx+c.

Exemples

1. La fonction carré est une fonction polynôme du second degré aveca=1 etb=c=0.

2. La fonctionf définie par f(x)= −x²+2x−3 est une fonction polynôme du second degré avec a= −1,b=2 etc= −3.

3. La fonctiong définie parg(x)=x²

2 −4 est une fonction polynôme du second degré aveca=1 2, b=0 etc= −4.

(B) Représentation graphique

La représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré estune parabole.

On peut distinguer deux cas selon le signe du coefficient dex².

Exercices n^o52 – 53 – 54 – 55 p 121

(C) Forme canonique Propriété 3

Si f est la fonction polynôme du second degré définie parf(x)=ax²+bx+c(aveca6=0), alors il existe deux réelsαetβtels quef(x)=a(x−α)²+β.

Définition 4

La forme f(x)=a(x−α)²+βest appeléela forme canonique def . Elle permet de construire le tableau de variations de f et de trouver sonextremum(maximum ou minimum).

Propriété 4

Soit f la fonction polynôme du second degré dont la forme canonique est f(x)=a(x−α)²+β (aveca6=0)

Sia>0,f a unminimumégal àβet atteint pourx=α.

Sia<0,f a unmaximumégal àβet atteint pourx=α.

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Secondes : Fonctions polynômes du second degré page 4

Sia>0,f a le tableau de variations suivant :

f a unminimumégal àβet atteint pourx=α.

Sia<0,f a le tableau de variations suivant :

f a unmaximumégal àβet atteint pourx=α.

Exemples

1. Soit f définie par f(x)=x²−4x+5.

Montrer que f(x)=(x−2)²+1, en déduire l’extremum def. (x−2)²+1=x²−4x+4+1=x²−4x+5=f(x).

La forme canonique def est donc f(x)=(x−2)²+1, on en déduit quef possède un minimum égal à 1 et atteint pourx=2.

2. Soitg définie parg(x)= −2x²+4x+6.

Montrer queg(x)= −2(x−1)²+8, en déduire l’extremum deg.

−2(x−1)²+8= −2(x²−2x+1)+8= −2x²+4x−2+8= −2x²+4x+6=g(x).

La forme canonique deg est doncg(x)= −2(x−1)²+8, on en déduit queg possède un maxi- mum égal à 8 et atteint pourx=1.

Exercices n^o56 – 57 – 58 – 59 – 60 p 121 – 122

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