Test n°2 : Fonctions polynômes du 2nd degré

Nom :

Classe : 1^ère Spé maths G1 Te st n°2 Fonctions du 2^nd degré

le 17/10/2019

Note :

… / 20

Evaluation des capacités

Je sais : Non Oui

Les définitions, le vocabulaire et les propriétés du cours.

Appliquer les méthodes du cours / Refaire et réussir les exercices travaillés en classe.

Cours : Compléter les éléments du cours suivants. … / 5,5

1. Soient , et trois réels (avec …………).

Toute fonction définie sur R par = est appelée ………

2. L'écriture s'appelle la forme ……… de .

3. Toute fonction de ce type peut aussi s'écrire sous forme canonique : = ………

où et sont les réels tels que : = …… et = ……

4. La représentation graphique d'une telle fonction s'appelle une ………

Son ……… S a pour coordonnées ………… et pour axe de symétrie ………

5. Le sens de variation d'une telle fonction dépend du ……… de :

◦ Si >

… … …

◦ Si <

… … …

6. Le discriminant de est le réel définie par : = ………

Exercice 1 : La fonction suivante est elle une fonction polynôme du 2^nd degré ? Justifier. … / 2 =

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Exercice 2 : Déterminer la forme canonique de la fonction définie ci-dessous. … / 1,5 =

Indication : Appliquer directement les formules du cours pour les calculs de et .

………

………

………

………

………

………

………

………

………

f ¢ ¢

a b c

f f(x) ax²+bx+c

ax²+bx+c f(x)

f(x)

® ¯ ® ¯

a a 0

x f(x)

a 0 x f(x)

h(x) 6(-2x+ 7)²¡(3x+ 4)(8x¡5)

¯

® f(x) 3x²+ 6x+ 9

Exercice 3 : Appliquer la méthode de complétion du carré pour déterminer la forme canonique. … / 2,5 =

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Exercice 4 : La fonction est définie sur R par : = . … / 5

1. a) Démontrer que pour tout réel , on a : = .

………

………

………

………

………

………

………

b) On admet que pour tout réel , on a aussi : = .

2. Utiliser la forme la plus adaptée de pour déterminer les images de - , de , de et de .

………

………

………

………

3. Déterminer, en utilisant la forme la plus adaptée de , les antécédents éventuels de et de - .

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Exercice 5 : Déterminer les variations des fonctions suivantes. … / 3,5 a) = -

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

b) =

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

g(x) 3x²¡4x+ 5

f f(x) 2x²¡4x¡6

f(x) 0 4

x f(x) 2(x¡1)²¡8

x f(x) 2(x+ 1)(x¡3)

f(x) 1 0 1 p

3

g(x) 4x²+ 4x¡7 h(x) 2(x¡5)²+ 8

Correction du Test n°2 Cours : Compléter les éléments du cours suivants.

1. Soient , et trois réels (avec ≠ ).

Toute fonction définie sur R par = est appelée fonction polynôme du 2^nd degré.

2. L'écriture s'appelle la forme développée de .

3. Toute fonction de ce type peut aussi s'écrire sous forme canonique : = où et sont les réels tels que : = et =

4. La représentation graphique d'une telle fonction s'appelle une parabole.

Son sommet S a pour coordonnées ( ; ) et pour axe de symétrie = 5. Le sens de variation d'une telle fonction dépend du signe de :

◦ Si >

-∞ +∞ +∞ +∞

◦ Si <

-∞ +∞

-∞ -∞ 6. Le discriminant de est le réel définie par : =

Exercice 1 : La fonction suivante est elle une fonction polynôme du 2^nd degré ? Justifier.

= =

= = =

n'est pas une fonction polynôme du 2^nd degré mais une fonction affine.

Exercice 2 : Déterminer la forme canonique de la fonction définie ci-dessous.

=

Indication : Appliquer directement les formules du cours pour les calculs de et . =

= , = et = = = =

= = = =

= = =

Exercice 3 : Appliquer la méthode de complétion du carré pour déterminer la forme canonique.

= =

= = =

= = = =

a b c

f f(x) ax²+bx+c

ax²+bx+c f(x)

f(x)

® ¯ ® ¯

a a 0

x f(x)

a 0 x f(x)

f ¢ ¢

h(x) 6(-2x+ 7)²¡(3x+ 4)(8x¡5)

f(x) 3x²+ 6x+ 9

® ¯

g(x) 3x²¡4x+ 5 a 0

a(x¡®)²+¯ -b

2a f(®)

® ¯ x ®

®

¯

¯

®

b²¡4ac

h(x) 6(-2x+ 7)²¡(3x+ 4)(8x¡5)

h(x) 6(4x² ¡28x+ 49)¡(24x²¡15x+ 32x¡20) h(x) 24x²¡168x+ 294¡24x²+ 15x¡32x+ 20 h(x)

h

-185x+ 314

f(x) 3x²+ 6x+ 9

® -b 2a

¯ f(®) -6

6 -1 a 3 b 6 c 9

3£(-1)²+ 6£(-1) + 9 3¡6 + 9 6 f(x) a(x¡®)²+¯ 3(x¡(-1))²+ 6 3(x+ 1)²+ 6

g(x) 3x²¡4x+ 5 g(x) 3(x²¡ 4

3x+ 5 3) g(x) 3(x²¡2£ 2

3x+ 5 3) g(x) 3((x¡ 2

3)²¡ µ2

3

¶2

+ 5 3) g(x) 3((x¡ 2

3)²¡ 4 9 + 15

9 ) 3((x¡ 2

3)²+ 11

9 ) 3(x¡ 2

3)²+ 33

9 3(x¡ 2

3)²+ 11 3

Exercice 4 : La fonction est définie sur R par : = . 1. a) Démontrer que pour tout réel , on a : = .

∀ ∈ R, A = A = A =

A = =

b) On admet que pour tout réel , on a aussi : = .

2. Utiliser la forme la plus adaptée de pour déterminer les images de - , de , de et de .

= = =

= =

= = =

= = = =

3. Déterminer, en utilisant la forme la plus adaptée de , les antécédents éventuels de et de - . =

=

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

2 ≠ donc = ou = = - ou =

Les antécédents de par sont - et .

= -

= - = -

=

=

= ou = - = ou =

Les antécédents de - par sont et . Exercice 5 : Déterminer les variations des fonctions suivantes.

a) = -

= , = et =

< donc la parabole représentative p de est ouverte vers le bas.

= = = = = -

= = - = = On en déduit le tableau de variations suivant :

-∞ +∞

-∞ -∞

b) =

= > donc la parabole représentative p de est ouverte vers le haut.

= et =

On en déduit le tableau de variations suivant : -∞ +∞ +∞ +∞

f f(x) 2x²¡4x¡6

x f(x) 2(x¡1)²¡8

x f(x) 2(x+ 1)(x¡3)

f(x) 1 0 1 p

3

f(x) 0 4

g(x) 4x²+ 4x¡7 2(x¡5)²+ 8

x 2(x¡1)²¡8 2(x²¡2x+ 1)¡8 2x²¡4x+ 2¡8 2x²¡4x¡6 f(x)

f(-1) 2(-1 + 1)(-1¡3) 2£0£(-4) 0 f(0) 2£0²¡4£0¡6 -6

f(1) 2(1¡1)²¡8 2£0²¡8 -8 f(p

3) 2£p

3²¡4£p

3¡6 2£3¡4p

3 + 6 6¡4p

3 + 6 -4p 3

f(x) 0

2(x+ 1)(x¡3) 0

0 x+ 1 0 x¡3 0

1

x x 3

0 f 1 3

f f(x)

x

4

2(x¡1)²¡8 4 4 + 8 2(x¡1)²

2(x¡1)² 4 (x¡1)² 2 x¡1 p

2 x¡1 p

2 1 +p

2 1¡p

2

4 1 +p

2 1¡p 2 x

¯ f(®)

a b c

® -b 2a

-4 4 -7

a 0 g

-4 -8

1 2 4£

µ1 2

¶2

+ 4£ 1 2 ¡7

¯ f(®) 4£ 1

4 + 2¡7 -1¡5 -6

x 1

2 -6 g(x)

a 0

¯ 2

®

h

5 8

x h(x)

h(x)

8 5