Nom :
Groupe : 1MATHS2 Te st n°1
Fonctions du 2nd degré
le 24/09/2020
Note :
… / 10
Evaluation des capacités
Je sais : Non Oui
Appliquer la méthode de complétion du carré
Déterminer les variations d'une fonction polynôme du 2nd degré. Dresser le tableau des variations.
Compléter un script en Python. Prévoir et interpréter le résultat obtenu suite à son exécution.
Démontrer qu'une fonction peut s'exprimer de différentes façons.
Calculer une image.
Calcule les antécédents éventuels d'un nombre
Exercice 1 : … / 2,5
Appliquer la méthode de complétion du carré pour déterminer la forme canonique.
=
………
………
………
………
………
………
………
………
Exercice 2 : … / 2
a) Déterminer les variations de la fonction définie par : =
………
………
………
………
………
………
………
b) Dresser le tableau des variations de (au verso)
Exercice 3 : … / 2,5
On considère la fonction polynôme définie par la forme développée .
La fonction ci-dessous, écrite en Python, permet de déterminer les réels et tels que = .
1. Compléter la fonction Python.
2. a) Que faut-il taper, dans la console Python, pour exécuter le programme quand est définie par : =
>>> ………
b) Quel est le résultat obtenu ?
………
c) En déduire la forme canonique de .
………
Exercice 4 : La fonction est définie sur R par : = . … / 3 1. Démontrer que pour tout réel , on a : = .
………
………
………
………
2. On admet par ailleurs que, pour tout réel , on a : = . Utiliser la forme la plus adaptée de pour déterminer l'image de - .
………
3. Déterminer, en utilisant la forme la plus adaptée de , les antécédents éventuels de - . (Au verso)
f ax2+bx+c
® ¯ f(x) a(x¡®)2+¯
f f(x) 4x2+ 8x¡9
f(x)
x f(x) 2(x+ 1)(x¡3)
f f(x) 2x2¡4x¡6
f(x) 6
f(x) 1
x f(x) 2(x¡1)2¡8
f(x) - 3x2+ 6x+ 2 f(x) 3x2+ 6x+ 9
f
Correction du Test n°1 Exercice 1 :
Appliquer la méthode de complétion du carré pour déterminer la forme canonique.
= =
Or = =
Donc = = =
Exercice 2 :
a) Déterminer les variations de la fonction définie par : =
= = = et = >
Donc est décroissante sur ]-∞ ; ] puis croissante sur [ ; +∞[.
b) Dresser le tableau des variations de .
= = =
=
On en déduit le tableau des variations suivant : -∞ +∞
Exercice 3 :
On considère la fonction polynôme définie par la forme développée .
La fonction ci-dessous, écrite en Python, permet de déterminer les réels et tels que = .
1. Compléter la fonction Python.
2. a) Que faut-il taper, dans la console Python, pour exécuter le programme quand est définie par : =
b) Quel est le résultat obtenu ? [- ; - ]
c) En déduire la forme canonique de . On en déduit : =
f(x) - 3x2+ 6x+ 2
f ax2+bx+c
® ¯ f(x) a(x¡®)2+¯
f f(x) 4x2+ 8x¡9
f(x)
3x2+ 6x+ 9 f(x)
f(x) - 3(x¡1)2+ 5 f f(x) - 3(x2¡2x) + 2
x2¡2x x2¡2£1x (x¡1)2¡12 f(x) - 3[(x¡1)2¡1] + 2
f(x) - 3(x¡1)2 + 3 + 2
f -1
-1
® -b 2a
-6
6 -1 a 3 0
¯ f(®) 3£(-1)2+ 6£(-1) + 9 3¡6 + 9 6
x -1
6
¯
f(x)
f(x) 4(x+ 1)2¡13 1.0 13.0
Exercice 4 : La fonction est définie sur R par : = . 1. Démontrer que pour tout réel , on a : = .
∀ ∈ R, A = A = A =
A = =
2. On admet par ailleurs que, pour tout réel , on a : = . Utiliser la forme la plus adaptée de pour déterminer l'image de - .
= = =
3. Déterminer, en utilisant la forme la plus adaptée de , les antécédents éventuels de - . = -
= - =
=
Or, un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
Donc = ou = = ou =
Les antécédents de - par sont et .
f(x) 6
f f(x) 2x2¡4x¡6
x f(x) 2(x+ 1)(x¡3)
x f(x) 2(x¡1)2¡8
f(x) 1
f(x) x 2(x+ 1)(x¡3)
2(x2¡3x+x¡3) 2(x2¡2x¡3) 2x2¡4x¡6
f(-1) 2(-1 + 1)(-1¡3) 2£0£(-4) 0
f f(x) 6
6 2x2¡4x¡6 2x2¡4x 0 2x(x¡2) 0
2x 0 x¡2 0
0
x x 2
6 0 2
