Nom :
Groupe : 1MATHS1 DS n°1
Fonctions du 2nd degré Date : 15/10/2020 Note : … / 20
Evaluation des capacités
Je sais : Non Oui
Ré-appliquer les méthodes du cours sur des exercices contrôlés (EC) Dresser le tableau de variations d'une fonction polynôme du 2nd degré.
Résoudre des équations du 2nd degré.
Résoudre des inéquations du 2nd degré.
Déterminer la forme canonique d'un polynôme du 2nd degré.
Calculer et résoudre un problème modélisé à l'aide d'outils mathématiques.
Modéliser une situation à l'aide d'une fonction polynôme du 2nd degré (Bonus)
Exercice 1 : (EC) … / 10
1. Factoriser, si possible, les expressions suivantes :
a) b)
2. Dresser le tableau des signes de la fonction définie par = 3. Résoudre les inéquations suivantes.
a) > b) ≤
Exercice 2 : … / 6
1. Dresser le tableau de variations de la fonction définie par = 2. Résoudre les équations et inéquations suivantes :
a) = b) ≤
Exercice 3 : … / 4
On modélise la trajectoire d'un ballon qui entre dans le panier lors d'un lancer franc au basket.
Cette trajectoire est un arc de parabole d'équation : =
On note la fonction définie sur R par = où et sont exprimés en mètre.
1. De quelle hauteur le ballon est il lancé ?
2. Sachant que la ligne de lancer franc est à m du pied du panier, quelle est la hauteur du panier ?
3. a) Déterminer la forme canonique de . (valeurs exactes attendues)
b) Quelle hauteur maximale le ballon atteint-il ? Arrondir au centimètre près.
Exercice 4 : (Bonus) … / 3
Dans un bassin, un dauphin nage tranquillement et aperçoit, à l'instant = secondes, un poisson lancé par son soigneur.
Il saute à cet instant et l'attrape seconde plus tard à une hauteur de mètre et replonge dans l'eau au bout de secondes.
La trajectoire de son saut est modélisée par la courbe d'une fonction définie par =
où , et désignent des réels.
Le niveau du plan d'eau du bassin correspond à l'altitude mètre et est la hauteur, en mètre, atteinte par le dauphin au bout d'une durée de secondes. Déterminer l'expression de .
f
-0,3x2+ 1,6x+ 2 y
f(x) -0,3x2+ 1,6x+ 2 f +
x f(x)
4,6
f(t) a(t¡t1)(t¡t2) t 0
1
1,5 6
f a t1 t2
0 f(t)
t f(t)
f 3x2¡2x+ 2 -2x2+ 5x+ 3
f(x) -3x2¡5x+ 2
(2x+ 1)(3¡x) 0 -2x2+ 5x 4
f(x) -x2+x+ 4
-3x2+ 5x -7x 0
f(x) 2x2¡8x+ 8
Correction du DS n°1 Exercice 1 : (EC)
1. Voir la correction de l'exercice 11 du cours.
2. Voir la correction de l'exercice 15 du cours.
3. Voir la correction de l'exercice 16 du cours.
Exercice 2 :
1. Dresser le tableau de variations de la fonction définie par = =
= = =
= = = = =
= < On en déduit le tableau de variations suivant :
-∞ +∞
2. Résoudre les équations et inéquations suivantes :
a) =
∆ = = = =
On en déduit que l'équation admet une seule solution : = = = S = { }
b) ≤
≤ ≤ ≤
On détermine le signe de chaque facteur : ≤
≥
≤ ≤ On en déduit le tableau de signes suivant : -∞ +∞
+ – –
– – +
– + –
Finalement :
≤ ⇔ ∈ ] -∞ ; ] ∪ [ ; +∞ [ Exercice 3 : On modélise la trajectoire d'un ballon qui entre dans le panier lors d'un lancer franc au basket.
Cette trajectoire est un arc de parabole d'équation : =
On note la fonction définie sur R par = où et sont exprimés en mètre.
1. De quelle hauteur le ballon est il lancé ?
= =
Ainsi, le ballon est lancé depuis une hauteur de m.
2. Sachant que la ligne de lancer franc est à m du pied du panier, quelle est la hauteur du panier ?
= =
Le panier est à une hauteur de m.
f f(x) -x2+x+ 4
y -0,3x2+ 1,6x+ 2
f + f(x) -0,3x2+ 1,6x+ 2
x f(x) f(x)
a 0
x 1
2 f(x)
-x2+x+ 4
® -b 2a
-1 -2
1 2
¯ f(1
2) -(1 2)2+ 1
2 + 4 -1 4 + 1
2 + 4 -1 4 + 2
4 + 16 4
17 4 -1
17 4
0 -3x2 + 5x -7x
b2¡4ac 0
2x2¡8x+ 8
(-8)2¡4£2£8 64¡64 x0
-b 2a
8
4 2 2
-3x2+ 5x+ 7x 0 0 -3x2+ 12x
0 -3x(x¡4)
0 0
-3x x¡4
0
x x 4
x -3x x¡4 -3x(x¡4)
0 4
-3x2+ 5x -7x x 0 4
O
O O O
f(0) -0,3£02+ 1,6£0 + 2 2
2 4,6
f(4,6) -0,3£4,62+ 1,6£4,6 + 2 3,012 3,012
3. a) Déterminer la forme canonique de . (Valeurs exactes attendues) =
= = =
= = =
= =
b) Quelle hauteur maximale le ballon atteint-il ? Arrondir au centimètre près.
= ≈
Ainsi, la hauteur maximale atteinte par le ballon est d'environ m.
Exercice 4 :
Dans un bassin, un dauphin nage tranquillement et aperçoit, à l'instant = secondes, un poisson lancé par son soigneur.
Il saute à cet instant et l'attrape seconde plus tard à une hauteur de mètre et replonge dans l'eau au bout de secondes.
La trajectoire de son saut est modélisée par la courbe d'une fonction définie par =
où , et désignent des réels.
Le niveau du plan d'eau du bassin correspond à l'altitude mètre et est la hauteur, en mètre, atteinte par le dauphin au bout d'une durée de secondes. Déterminer l'expression de .
Le dauphin saute à l'instant = et replonge dans l'eau au bout de secondes.
On en déduit les abscisses des points d'intersection de l'arc de parabole avec l'axe des abscisses : = et =
Ainsi, la fonction est définie par = = =
De plus, on sait que le dauphin attrape le poisson au bout de seconde et à une hauteur de m.
Donc =
On en déduit l'équation = ⇔ = ⇔ = =
Finalement : = =
t 0
1
1,5 6
f f(t) a(t¡t1)(t¡t2) a t1 t2
0 f(t)
t f(t)
f(x) f(x) -0,3x2+ 1,6x+ 2
¯
® -b 2a
-1,6 -0,6
8 3 f(8
3) -0,3£(8
3)2+ 1,6£ 8
3 + 2 62 15 f(x) a(x¡®)2+¯ -0,3(x¡ 8
3)2+ 62 15
¯ 62
15 4,13
4,13
t 0 6
t1 0 t2 6
f(t) a(t¡t1)(t¡t2)
f a(t¡0)(t¡6) at(t¡6)
1,5 1
1,5 f(1)
1,5
a£1 (1¡6) -5a 1,5 a 1,5
-5 -0,3 f(t) -0,3t(t¡6) -0,3t2+ 1,8
