Nom :
Classe : 1ère Spé maths G1 DS n°3
2nd degré et trigonométrie
le 19/12/2019
Note :
… / 20
Evaluation des capacités
Je sais : Non Oui
Les définitions, les propriétés et les différents autres éléments du cours Refaire des exercices corrigés en classe (Exercices contrôlés).
Placer des points sur le cercle trigonométrique.
Calculer une longueur d'arc.
Calculer le sinus d'un réel connaissant son cosinus et sa position sur le cercle trigonométrique.
Identifier des réels qui repèrent des points placés sur le cercle trigonométrique.
Justifier des valeurs de cosinus et sinus.
Démontrer une égalité.
Résoudre des inéquations.
Répondre à des questions liée à une situation modélisée à l'aide d'une fonction du 2nd degré.
Cours : Compléter les définitions, les propriétés et autres éléments du cours sur les suites. … / 3 1. Soient A et B deux points quelconques du cercle trigonométrique c de centre O.
Compléter le tableau de correspondance entre les mesures de et les longueurs d'arc associées.
Mesures de 0° 30° 45° 60° 90° 180° 360°
Longueurs l de l'arc
2. Soit M le point de c tel que = . Soit un autre réel qui permet de repérer le point M sur c.
Quelle relation permet d'exprimer en fonction de ?
………
3. Comment appelle-t-on le sens inverse des aiguilles d'une montre ?
………
4. Qu'appelle-t-on la mesure principale d'un angle en radians ?
………
Exercices contrôlés : … / 5
1. Convertir en degrés les mesures d'angles suivantes, données en radians.
a) b)
2. Déterminer la mesure principale des angles suivants.
a) = - b) =
3. Indiquer, en justifiant la réponse, si les deux réels de chaque couple ont le même point-image sur le cercle trigonométrique.
a) et b) et
4. Quelle est la valeur du cosinus d'un angle en radian situé dans [ ; ] dont le sinus vaut 0,2 ? 5. Donner la valeur exacte des nombres suivants :
a) b)
Exercice 2 : … / 2
1. Tracer le cercle trigonométrique puis placer le point M image de et le point N image de . 2. Calculer la longueur du petit arc de cercle d'extrémités M et N.
[
AOB AB_
[
AOB
_
AB
_
IM x x0
x0 x
2¼ 5
7¼ 3
® 7¼6 ¯ 45¼4
18¼ 5
3¼ 5
5¼ 6
-19¼ 6
¼ 2 ¼
cos(55¼
3 ) sin(-95¼ 4 )
17¼ 6
13¼ 4
Exercice 3 : … / 4 La valeur exacte de est .
1. Calculer la valeur exacte de .
2. Sur le cercle trigonométrique ci-contre, M est le point-image de . Les points M , M , M et M sont tels que :
◦ M est le symétrique de M par rapport à l'axe (OJ).
◦ M est le symétrique de M par rapport à O.
◦ M est le symétrique de M par rapport à l'axe (OI).
◦ = 90°
En déduire les calculs des réels associés à M , M , M et M . 3. On admet les propriétés suivantes : ∀ ∈ R, on a :
◦ = -
◦ =
En déduire les valeurs exactes de et .
Exercice 4 : Démontrer que l'égalité suivante est vraie, pour tout réel : … / 1,5 =
Exercice 5 : Résoudre dans R les inéquations suivantes. … / 2
a) ≥ b) >
Exercice 6 : Lancer de javelot. … / 2,5
Une athlète lance un javelot à l'instant = .
La hauteur , en mètre, à l'instant , en seconde, de la pointe du javelot est définie par :
=
La hauteur est mesurée à partir du sol.
1. Calculer la hauteur de la pointe au moment du lancer.
2. A quel instant le javelot est-il le plus haut ? 3. Le javelot atteindra-t-il une hauteur de 35 m ?
4. A quel instant le javelot retombera-t-il au sol, à près ?
c
1
2 3 4
2 1
1 3
1 4
2 3 4
cos(¼ 8)
p2 +p 2 2 sin(¼
8)
¼ 8
µ cos(¼
2 +µ) sin(µ) sin(¼
2 +µ) cos(µ)
cos(5¼
8 ) sin(5¼ 8 )
(cos x+ 2sin x)2+ (2cos x¡sin x)2 5 x
5
\M1O M5
5
(-2x+ 7)(x+ 11) 0 3x2+ 2 5x
t 0
h(t) t
h(t) -1
2 t2 + 8t+ 2
10-2
Correction du DS n°3
Cours : Compléter les définitions, les propriétés et autres éléments du cours sur les suites.
1. Soient A et B deux points quelconques du cercle trigonométrique c de centre O.
Compléter le tableau de correspondance entre les mesures de et les longueurs d'arc associées.
Mesures de 0° 30° 45° 60° 90° 180° 360°
Longueurs l de l'arc 0
2. Soit M le point de c tel que = . Soit un autre réel qui permet de repérer le point M sur c.
Quelle relation permet d'exprimer en fonction de ?
= avec ∈ Z
3. Comment appelle-t-on le sens inverse des aiguilles d'une montre ? On dit que le sens inverse des aiguilles d'une montre est le sens direct.
4. Qu'appelle-t-on la mesure principale d'un angle en radians ?
La mesure principale d'un angle en radians est sa mesure comprise dans l'intervalle ]- ; ].
Exercices contrôlés : Voir la correction des exercices
• n°4 et 6 du cours.
• p 100 et 101 n°12, 19 et 21 du livre.
Exercice 2 :
1. Tracer le cercle trigonométrique puis placer le point M image de et le point N image de .
2. Calculer la longueur du petit arc de cercle d'extrémités M et N.
= = = =
Ainsi, le petit arc a pour longueur .
[AOB
_
AB
[AOB
_
AB
_
IM x x0
x0 x
17¼ 6
13¼ 4
¼
6 ¼ ¼ 2¼
2
¼ 3
¼ 4
x0 x+ 2k¼ k
¼ ¼
13¼
4 ¡ 17¼ 6
6£13¼
24 ¡ 4£17¼ 24
78¼¡68¼ 24
10¼ 24
5¼
_ 12
MN 5¼
12
Exercice 3 :
La valeur exacte de est . 1. Calculer la valeur exacte de .
∀ ∈ R, on a : = 1
On en déduit que, si = , alors : =
Ainsi : + =
+ =
= – = = =
On en déduit : = ou = -
Or : ∈ [ ; ] donc ≥ .
On en conclut : = =
2. Sur le cercle trigonométrique ci-contre, M est le point-image de . Les points M , M , M et M sont tels que :
◦ M est le symétrique de M par rapport à l'axe (OJ).
◦ M est le symétrique de M par rapport à O.
◦ M est le symétrique de M par rapport à l'axe (OI).
◦ = 90°
En déduire les calculs des réels associés à M , M , M et M . Si M est le point-image de alors M est le point-image de .
= = Alors M est le point-image de . = = Alors M est le point-image de . = = Alors M est le point-image de . 3. On admet les propriétés suivantes : ∀ ∈ R, on a :
◦ = -
◦ =
En déduire les valeurs exactes de et . On sait que : =
Or : ∀ ∈ R, = -
On en déduit : = - = -
De même : =
Or : ∀ ∈ R, =
Donc : = =
cos(¼ 8)
p2 +p 2 2 sin(¼
8) c
®
® (cos®)2 + (sin®)2
¼
8 (cos¼
8)2+ (sin¼ 8)2 1 (sin¼
8)2 1 Ã p2 +p
2 2
!2
(sin¼ 8)2 1 2 +p
2 4 (sin¼
8)2 1 2 +p 2 4 sin(¼
8) sin(¼
8) r2¡p
2 4
r2¡p 2 4
¼
8 0 ¼ sin(¼ 8) 0 sin(¼
8)
r2¡p 2 4
p2¡p 2 2 4
4 ¡ 2 +p 2 4
4¡2¡p 2 4
2¡p 2 4
cos(5¼
8 ) sin(5¼ 8 )
1
¼
8 2 3 4 5
2 1
3 1
4 1
\
M1O M5
2 3 4 5
µ cos(¼
2 +µ) sin(µ) sin(¼
2 +µ) cos(µ)
1
¼
8 4
-¼ 8
¼¡ ¼ 8
8¼ 8 ¡ ¼
8 7¼
8
¼+ ¼ 8
8¼ 8 + ¼
8 9¼
8
¼ 2 + ¼
8 4¼
8 + ¼ 8
5¼ 8
2
3
5
5¼ 8 9¼
8 7¼
8
cos(5¼
8 ) sin(¼ 8)
p2¡p 2 2 cos(5¼
8 ) cos(¼ 2 + ¼
8) sin(5¼
8 ) sin(¼ 2 + ¼
8) µ cos(¼
2 +µ) sin(µ) µ sin(¼
2 +µ) cos(µ) cos(¼
8)
p2 +p 2 sin(5¼ 2
8 )
Exercice 4 : Démontrer que l'égalité suivante est vraie, pour tout réel : = On applique les identités remarquables = et = A =
A = A = A =
Or : ∀ ∈ R, on a : = 1
Donc : A = =
Ainsi : ∀ ∈ R, =
Exercice 5 : Résoudre dans R les inéquations suivantes.
a) ≥
≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤ ≥ ⇔ ≥
On en déduit le tableau de signes suivant :
-∞ +∞
+ + –
– + +
– + –
Finalement : ≥ ⇔ ∈ [ ; ]
b) > ⇔ >
∆ = = = = >
Le trinôme du 2nd degré admet deux racines distinctes.
= = = =
= = =
De plus, le trinôme est du signe de = 3, sauf entre ses racines. On en déduit :
-∞ +∞
+ – +
Ainsi : > ⇔ ∈ ]-∞ ; [ ∪ ] ; +∞[ Exercice 6 : Une athlète lance un javelot à l'instant = .
La hauteur , en mètre, à l'instant , en seconde, de la pointe du javelot est définie par : =
La hauteur est mesurée à partir du sol.
1. Calculer la hauteur de la pointe au moment du lancer.
= =
La pointe du javelot était à une hauteur de m au moment du lancer.
2. A quel instant le javelot est-il le plus haut ?
La trajectoire du javelot est celle d'un arc de parabole. On calcule l'abscisse de son sommet : = = = = . Ainsi, le javelot est le plus haut au bout de s.
3. Le javelot atteindra-t-il une hauteur de m ?
On calcule le maximum atteint par la fonction , soit l'ordonnée du sommet de la parabole.
= = = = = <
Ainsi, le javelot n'atteindra pas une hauteur de m.
x (cos x+ 2sin x)2+ (2cos x¡sin x)2 5
a2+ 2ab+b2
(a+b)2 (a¡b)2 a2¡2ab+b2 (cos x+ 2sin x)2+ (2cos x¡sin x)2
(cos x)2+ 2£cos x£2sin x+ (2sin x)2+ (2cos x)2¡2£2cos x£sin x+ (sin x)2 (cos x)2+ 4cos x sin x+ 4 (sin x)2+ 4 (cos x)2¡4cos x sin x+ (sin x)2
(cos x)2+ (sin x)2+ 4 [(cos x)2+ (sin x)2] x (cos x)2+ (sin x)2
1 + 4£1 5
x (cos x+ 2sin x)2+ (2cos x¡sin x)2 5
(-2x+ 7)(x+ 11) 0 3x2+ 2 5x
-2x+ 7 0 -2x -7 x 7
2
0 x
x+ 11 -11
x -2x+ 7
x+ 11 (-2x+ 7)(x+ 11)
-11 7
2
(-2x+ 7)(x+ 11) 0 x -11 7 2 O
O
O O
3x2¡5x+ 2 0 (-5)2¡4£3£2
b2¡4ac 25¡24 1 0
x1
-b¡p
¢ 2a
5¡p 1 6
2 3 x2
-b+p
¢ 2a
5 + 1
6 1
4 6
a
x x
O 3x2¡5x+ 2
2
3 1
O
3x2 + 2 5x 2
3 1
® -b 2a
-8 2£ -1
2 -8
-1 8 8
h
¯ h(8) -1
2 £82+ 8£8 + 2 -64
2 + 64 + 2 -32 + 66 34 35
35 35
t 0
h(t) t
h(t) -1
2 t2+ 8t+ 2
h(0) -1
2 £02+ 8£0 + 2 2
2
4. A quel instant le javelot retombera-t-il au sol, à près ? =
On calcule le discriminant : ∆ = = = = >
Le trinôme du 2nd degré admet deux racines distinctes.
= = = ≈ s
= = = ≈ - < . Cette valeur ne peut pas correspondre à une durée.
Ainsi, le javelot retombera au sol au bout d'environ s.
h(t) -1
2 t2+ 8t+ 2
b2 ¡4ac 0
x2
-b+p
¢ 2a x1
-b¡p
¢ 2a
82¡4£ -1
2 £2 64 + 4 68 -8¡p
68
-1 8 + 2p 17 -8 +p
68
-1 8¡2p
17 0,25 16,25
0 16,25
10-2
