Nom :
Classe : 1ère Spé maths G1 DS n°1
Les suites
le 30/09/2019
Note :
… / 20
Evaluation des capacités
Je sais : Non Oui
Les définitions, les propriétés et les autres éléments du cours sur les suites.
Refaire des exercices corrigés en classe (Exercices contrôlés).
Calculer les premiers termes d'une suite.
Exprimer en fonction de / Exprimer en fonction de . Identifier la nature d'une suite, son premier terme et sa raison.
Modéliser un problème à l'aide d'une inéquation / d'une équation / d'un système Résoudre une équation / une inéquation
Résoudre un système d'équations
Justifier le sens de variation d'une suite géométrique.
Utiliser la calculatrice pour résoudre un problème de seuil.
Compléter une fonction écrite en python Appeler / Exécuter une fonction python
Cours : Compléter les définitions, les propriétés et autres éléments du cours sur les suites. … / 3 1. a) Une suite arithmétique de ……… est une suite définie sur N par la relation de récurrence
……… où est un nombre réel donné.
b) Dans ce cas, pour tout entier naturel on a : = …
c) Si le 1er terme de cette suite arithmétique est alors, pour tout entier naturel on a : = … d) Enfin, dans ce cas et quel que soit l'entier naturel non nul . On a :
= ………
2. a) Une suite géométrique de raison … est une suite définie sur N par la relation de récurrence
……… où … est un nombre réel donné.
b) Dans ce cas, si pour tout entier naturel on a ≠ 0 alors : = …
c) Si le 1er terme de cette suite géométrique est alors, pour tout entier naturel on a : = … d) Enfin, dans ce cas, si ≠ 0 alors quel que soit l'entier naturel non nul :
= ………
Exercices contrôlés : … / 5
1. Déterminer le sens de variation de la suite définie pour tout entier naturel par = . 2. On considère la suite arithmétique dont chaque terme s'obtient grâce à l'algorithme suivant :
a) Préciser le 1er terme et la raison.
b) En déduire la formule explicite de .
c) En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit entier naturel tel que ≥ .
3. Calculer la somme .
4. est la suite géométrique telle que = et = . Calculer et . r
r (un)
n un+1¡un
u0 n un
u0+u1+u2+...+un
n
u0 n un
n un
un+1
un
(un)
n
q
n2+ 2n wn
n (un)
u0
(un)
(un)
n 1000
50 + 52 + 54 + + 1 002
u3 u0 u8
u 36 q 2
1 +q+q2+...+qn
un un
un+1 n
Exercice 2 : … / 4,5 Lorentz place une somme de euros au taux simple annuel de % ; c'est-à-dire que chaque année, la somme placée augmentera de % de la somme initiale.
Pour tout entier naturel , désigne le capital de Lorentz années après son placement.
1. Déterminer , , et .
2. a) Exprimer en fonction de .
b) En déduire la nature de la suite ( ), sa raison et son 1er terme.
c) Donner l'expression de en fonction de .
3. En résolvant une inéquation, déterminer le nombre d'années nécessaires pour que le capital double.
Exercice 3 : … / 3,5
Soit ( ) une suite arithmétique définie pour tout entier naturel par :
= et : =
1. Justifier par le calcul que = .
2. a) En utilisant la formule explicite de , poser un système de deux équations dont les solutions sont le premier terme et la raison de la suite ( ).
b) Résoudre ce système.
Exercice 4 : … / 4
On considère la suite géométrique ( ) définie par = pour tout entier naturel . 1. a) Calculer et .
b) En déduire la raison de cette suite.
2. Cette suite est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.
3. On cherche à déterminer le plus petit entier naturel tel que < .
Résoudre ce problème en utilisant le tableur de ta calculatrice. Aucune justification n'est demandée.
4. On peut également retrouver ce résultat en utilisant la fonction python suivante :
a) Compléter les lignes incomplètes.
b) Quelle instruction faut-il taper dans la console python pour appeler cette fonction et résoudre le problème posé à la question 3 ?
u0
1 000 5
5
n un n
u1 u2 u3
un+1 un
un
un n
un n
u3 18 u3+u4+u5+u6
u6 51
138
un
u0 r
un un (1¡ 1,23
100 )n n
u0 u1
q
un 0,5 n
un
Correction du DS n°1
Cours : Compléter les définitions, les propriétés et autres éléments du cours sur les suites.
1. a) Une suite arithmétique de raison est une suite définie sur N par la relation de récurrence où est un nombre réel donné.
b) Dans ce cas, pour tout entier naturel on a : =
c) Si le 1er terme de cette suite arithmétique est alors, pour tout entier naturel on a : = d) Enfin, dans ce cas et quel que soit l'entier naturel non nul . On a :
= (n + 1) ×
2. a) Une suite géométrique de raison est une suite définie sur N par la relation de récurrence où est un nombre réel donné.
b) Dans ce cas, si pour tout entier naturel on a ≠ 0 alors : =
c) Si le 1er terme de cette suite géométrique est alors, pour tout entier naturel on a : = d) Enfin, dans ce cas, si ≠ 0 alors quel que soit l'entier naturel non nul :
= Exercices contrôlés :
1. Voir la correction de la question 3 de l'exercice n° 40 p 33.
2. Voir la correction de l'exercice n° 21 p 31.
3. Voir la correction de l'exercice n° 30 p 32.
4. Voir la correction de la question 1 de l'exercice 8 du cours.
Exercice 2 : Lorentz place une somme de euros au taux simple annuel de % ; c'est-à-dire que chaque année, la somme placée augmentera de % de la somme initiale.
Pour tout entier naturel , désigne le capital de Lorentz années après son placement.
1. Déterminer , , et . =
= + = =
= + = =
= + = =
2. a) Exprimer en fonction de .
∀ ∈ N, = + =
b) En déduire la nature de la suite ( ), sa raison et son 1er terme.
( ) est définie par une relation de récurrence de la forme = avec = . On en déduit que la suite ( ) est arithmétique de raison = et de 1er terme = .
c) Donner l'expression de en fonction de .
∀ ∈ N, = =
3. En résolvant une inéquation, déterminer le nombre d'années nécessaires pour que le capital double.
Pour déterminer le nombre d'année nécessaires pour que le capital double on résout ≥
≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ Ainsi, le capital doublera au bout de ans.
(un) r r
n un+1¡un
u0 n un
n u0+u1+u2+...+un
(un)
n un
un+1
un
u0 n un
q n
un+1 =un+r
r
u0+r n u0+un
2 q
un+1 =un£q q
q
u0£qn
1¡qn+1 1¡q 1 +q+q2+...+qn
1 000 5
5
n un n
u0 u1 u2 u3
un+1 un
un
un n
u0 1 000 u1 u0
5
100 £1 000 1 000 + 50 1 050 5
100 £1 000 5
100 £1 000 u2
u2
u3
u1 1 050 + 50 1 100
1 100 + 50 1 150
n un+1 un un+ 50 5
100u0
un un+1 un+r r 50
un r 50 u0 1 000
n un u0+r n 1 000 + 50n
un 2 000 1 000 + 50n 2 000 50n 2 000¡1 000 50n 1 000 n 1 000
50 n 20
20
Exercice 3 :
Soit ( ) une suite arithmétique définie pour tout entier naturel par :
= et : =
1. Justifier par le calcul que = . Puisque ( ) est une suite arithmétique alors :
=
Or : = et : =
On en déduit : = ⇔ = ⇔ = ⇔ = =
2. a) En utilisant la formule explicite de , poser un système de deux équations dont les solutions sont le premier terme et la raison de la suite ( ).
∀ ∈ N, =
On en déduit : ⇔
b) Résoudre ce système.
Méthode 1 : On peut résoudre ce système par substitution :
⇔ ⇔ ⇔
⇔ ⇔ ⇔
Méthode 2 : Ou bien par combinaison linéaire en retranchant membre à membre la 1ère équation de la 2nde.
⇔ ⇔
⇔ ⇔ ⇔
un n
u3 18 u3+u4+u5+u6 138 u6 51
un
u0 r un
u3+u4+u5+u6
un
4£ u3+u6
2 4£ 18 +u6
2 138
u3 18 u3+u4+u5+u6 138
2 (18 +u6) 138 18 +u6 69 u6 69¡18 51
n un ½u0+r n u3 =u0+ 3r u6 =u0+ 6r
½ u0+ 3r= 18 u0+ 6r= 51
½ u0+ 3r= 18 u0+ 6r= 51
½ u0 = 18¡3r u0+ 6r = 51
½ u0 = 18¡3r 18¡3r+ 6r= 51
½ u0 = 18¡3r 3r= 51¡18
½ u0 = 18¡3r 3r= 33
( u0 = 18¡3r r= 33
3 = 11
½ u0 = 18¡3£11 r = 11
½ u0 = -15 r= 11
½ u0+ 3r= 18 L1
u0+ 6r= 51 L2
½ u0+ 3r= 18 L1
u0+ 6r= 51 L2 ÃL2¡L1
½ u0+ 3r = 18
u0¡u0 + 6r¡3r= 51¡18
½ u0+ 3r= 18 3r= 33
( u0 = 18¡3r r= 33
3 = 11
½ u0 = 18¡3£11 r = 11
½ u0 = -15 r= 11
Exercice 4 :
On considère la suite géométrique ( ) définie par = pour tout entier naturel . 1. a) Calculer et .
= =
= = = = =
b) En déduire la raison de cette suite.
( ) est une suite géométrique de raison donc : ∀ ∈ N, = On en déduit : = ⇔ = ⇔ =
2. Cette suite est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.
( ) est une suite géométrique de raison = ∈ ] ; [ et de premier terme = > . Donc ( ) est décroissante sur N.
3. On cherche à déterminer le plus petit entier naturel tel que < .
Résoudre ce problème en utilisant le tableur de ta calculatrice. Aucune justification n'est demandée.
Le tableur de la calculatrice, dans le mode SUITE, donne < à partir du rang = . 4. On peut également retrouver ce résultat en utilisant la fonction python suivante :
a) Compléter les lignes incomplètes.
b) Quelle instruction faut-il taper dans la console python pour appeler cette fonction et résoudre le problème posé à la question 3 ?
un un (1¡ 1,23
100 )n n
u0 u1
q
n un 0,5 u0
u1
(1¡ 1,23 100 )0 1 (1¡ 1,23
100 )1 1¡ 1,23 100
100¡1,23 100
98,77
100 0,9877
un q n un+1 q£un
u1 q£u0 0,9877 q£1 q 0,9877
un q 0,9877 0 1 u0 1 0
un
un 0,5 n 57
Ou u = u*0.9877
