Nom :
Classe : TMATHS2 DS n°1
Suites Le : 15/10/2020 Durée : 2h Note : … / 20
Avis du professeur
Capacités évaluées : Non acquis Acquis
Ré-appliquer les méthodes du cours sur des exercices contrôlés (EC) Calculer des limites / Etudier la convergence d'une suite.
Rédiger une démonstration par récurrence.
Conjecturer le sens de variations et la limite d'une suite.
Démontrer le sens de variations d'une suite.
Démontrer qu'une suite est géométrique, identifier sa raison et calculer son premier terme.
Exprimer le terme général d'une suite en fonction de .
Résoudre un problème modélisé à l'aide d'outils mathématiques.
Compléter une fonction Python pour qu'elle réponde à un problème donné.
Exécuter une fonction Python / Prévoir le résultat renvoyé.
Exercice 1 : (EC) … / 10
1. Déterminer les limites des suites définies par :
a) = b) = c) = d) =
2. On considère la suite ( ) définie sur N par = . Etudier la convergence de la suite ( ).
3. On considère la suite ( ) définie sur N par = et = .
a) Démontrer par récurrence que la suite ( ) est décroissante et minorée par . b) Que peut-on en déduire ?
c) Justifier que la limite L de la suite (un) vérifie la relation L = . En déduire la limite de ( ).
1
2L + 1 un
un u0 4 un+1 1
2un+ 1
un 0
1 + 2 + (-1)n n2+ 1 -2n2+ 4n¡5
un
2¡5n 4n+ 7
vn wn (3¡5n)(n3¡4) (- 4)n
3n xn
un un
un
n
Exercice 2 : Etude d'une population d'abeilles … / 10 Un apiculteur étudie l'évolution de sa population d'abeilles.
Au début de son étude, il évalue à le nombre de ses abeilles.
Chaque année, l'apiculteur observe qu'il perd % des abeilles de l'année précédente. Il achète un nombre identique de nouvelles abeilles chaque année. On notera ce nombre.
On note le nombre d'abeilles de cet apiculteur au début de son étude et, pour tout entier naturel non nul, le nombre d'abeilles au bout de années. Les quantités sont exprimées en dizaines de milliers.
Ainsi, on a : = et, pour tout entier naturel , = Partie A
On suppose, dans cette partie seulement, que = .
1. Conjecturer la monotonie et la limite de la suite ( ).
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel : =
3. En justifiant la réponse, vérifier les deux conjectures établies à la question 1. Interpréter ces 2 résultats.
Partie B
L'apiculteur souhaite que son nombre d'abeilles tende vers . On cherche à déterminer la valeur de qui permet d'atteindre cet objectif. On définit la suite ( ), pour tout entier naturel , par :
=
1. Montrer que la suite ( ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme en fonction de .
2. En déduire l'expression de puis de en fonction de et de . 3. Déterminer la valeur de pour que l'apiculteur atteigne son objectif.
4. On pose = . Dans ce cas, pour tout entier naturel , on a : = .
a) On souhaite déterminer, pour tout réel A de l'intervalle [ ; [, le nombre d'années nécessaire pour que la population d'abeille atteigne ou dépasse A dizaines de milliers. Compléter la fonction Python ci- dessous pour qu'elle réponde à ce problème.
b) Que faut-il taper, dans la console Python, pour déterminer le nombre d'années nécessaire afin que la population d'abeilles atteigne ou dépasse le seuil des ? Déterminer ce nombre minimal d'années à attendre.
10 000
c
20
u0
n un
n
u0 1 n un+1 0,8un+c
c 1
un
n un 5¡4£0,8n
100 000 vn
c n
vn un¡5c vn
vn un n c
c c
c 2 n un+1 0,8un+ 2
1 10
75 000
Correction du DS n°1 Exercice 1 : (EC)
1. Cf. la correction des exercices du livre n°13, 16 et 17 p 61 et 62 et de l'exercice n°14 du cours.
2. Cf. la correction de l'exercice n°12 du cours.
3. Cf. la correction de l'exercice n°13 du cours.
Exercice 2 : Etude d'une population d'abeilles
Un apiculteur étudie l'évolution de sa population d'abeilles.
Au début de son étude, il évalue à le nombre de ses abeilles.
Chaque année, l'apiculteur observe qu'il perd % des abeilles de l'année précédente. Il achète un nombre identique de nouvelles abeilles chaque année. On notera ce nombre.
On note le nombre d'abeilles de cet apiculteur au début de son étude et, pour tout entier naturel non nul, le nombre d'abeilles au bout de années. Les quantités sont exprimées en dizaines de milliers.
Ainsi, on a : = et, pour tout entier naturel , = Partie A
On suppose, dans cette partie seulement, que = .
1. Conjecturer la monotonie et la limite de la suite ( ).
L'utilisation de la calculatrice pour l'affichage du tableau des valeurs de la suite permet de conjecturer que la suite ( ) serait croissante sur N et que sa limite vaudrait .
2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel : =
On pose : ∀ ∈ N, p( ) : '' = ''
• Initialisation :
Pour = on a =
D'autre part = =
Donc = et la propriété p( ) est vraie.
• Hérédité :
Soit un entier naturel. On suppose que p( ) est vraie.
Alors =
On en déduit successivement : = = = = =
Or =
On en déduit que = et que la propriété p( ) est vraie.
• Conclusion :
p( ) est vraie et la propriété p( ) est héréditaire donc elle est toujours vraie.
Ainsi, ∀ ∈ N, =
10 000 20
c u0
n un
n
u0 1 n un+1 0,8un+c
c 1
un
n un 5¡4£0,8n
un 5
un 5¡4£0,8n
n n
n 0 u0 1
5¡4£0,80 5¡4£1 1
u0 5¡4£0,80 0
k k
uk 5¡4£0,8k
0,8uk 0,8 (5¡4£0,8k) 0,8uk
0,8uk+ 1 4¡4£0,8k+1+ 1 0,8uk
0,8£5¡0,8£4£0,8k 4¡4£0,8k+1
0,8uk+ 1 5¡4£0,8k+1 uk+1 0,8uk+ 1
uk+1 5¡4£0,8k+1 k+ 1
0 n
n un 5¡4£0,8n
3. En justifiant la réponse, vérifier les deux conjectures établies à la question 1. Interpréter ces 2 résultats.
∀ ∈ N, =
• Démonstration du sens de variations de ( ) :
∀ ∈ N, = = = = = = =
> donc ∀ ∈ N, > ⇔ > ⇔ >
Ce qui prouve que la suite ( ) est croissante sur N.
• Calcul de la limite de ( ) :
∀ ∈ N, =
∈ ] ; [ donc =
On en déduit, par produit : =
Puis, par somme : =
Ce qui prouve que la suite ( ) converge vers .
• Interprétation des résultats :
◦ Puisque ( ) est croissante sur N, la population d'abeilles augmente chaque année.
◦ Puisque la limite de la suite ( ) vaut , la population d'abeilles tendra à se rapprocher des dans un très grand nombre d'années.
Partie B
L'apiculteur souhaite que son nombre d'abeilles tende vers . On cherche à déterminer la valeur de qui permet d'atteindre cet objectif. On définit la suite ( ), pour tout entier naturel , par :
=
1. Montrer que la suite ( ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme en fonction de .
∀ ∈ N, = et = On en déduit : =
= Or = ⇔ = Donc : =
= = =
Ainsi, la suite ( ) est géométrique de raison = . Son premier terme est = =
2. En déduire l'expression de puis de en fonction de et de . La suite ( ) est géométrique de raison = et de 1er terme = . On en déduit : ∀ ∈ N, = =
De plus : = =
100 000 c
vn n
vn un¡5c vn
c
vn un n c
n un 5¡4£0,8n
un
n un+1¡un 5¡4£0,8n+1¡(5¡4£0,8n) un+1¡un 5¡4£0,8n+1¡5 + 4£0,8n un+1¡un -4£0,8n£0,8 + 4£0,8n un+1¡un 4£0,8n(-0,8 + 1)
un+1¡un 4£0,8n£0,2 un+1¡un 0,8£0,8n un+1¡un 0,8n+1
0,8 0 n 0,8n+1 0 un+1¡un 0 un+1 un
un
un
n un 5¡4£0,8n
0,8 -1 1 lim
n!+10,8n 0
n!lim+1-4£0,8n 0
n!lim+15¡4£0,8n 5
un 5
un
un 5 50 000
n vn+1 un+1¡5c un+1 0,8un+c vn+1 0,8un+c¡5c
vn+1 0,8un¡4c vn un¡5c un vn+ 5c
vn+1 0,8 (vn+ 5c)¡4c vn+1 0,8vn+ 4c¡4c vn+1 0,8vn
vn+1 0,8vn+ 0,8£5c¡4c
vn q 0,8
v0 u0¡5c 1¡5c
vn q 0,8 v0 1¡5c
n vn v0£qn (1¡5c)£0,8n un vn+ 5c (1¡5c)£0,8n+ 5c
3. Déterminer la valeur de pour que l'apiculteur atteigne son objectif.
L'objectif de l'apiculteur est que son nombre d'abeilles atteigne les , soit dizaines de milliers.
Pour cela, il faut que = Or ∀ ∈ N, =
∈ ] ; [ donc =
On en déduit, par produit : =
Puis, par somme : =
La suite ( ) convergera vers si et seulement si = , c'est-à-dire si et seulement si = . 4. On pose = . Dans ce cas, pour tout entier naturel , on a : = .
a) On souhaite déterminer, pour tout réel A de l'intervalle [ ; [, le nombre d'années nécessaire pour que la population d'abeille atteigne ou dépasse A dizaines de milliers. La fonction Python ci-dessous répond à ce problème.
b) Que faut-il taper, dans la console Python, pour déterminer le nombre d'années nécessaire afin que la population d'abeilles atteigne ou dépasse le seuil des ? Déterminer ce nombre minimal d'années à attendre.
c
c 2 n un+1 0,8un+ 2
1 10
75 000
10 100 000
n!lim+1un 10 n un (1¡5c)£0,8n+ 5c
0,8 -1 1 lim
n!+10,8n 0
n!lim+1 0
n!lim+1
(1¡5c)£0,8n (1¡5c)£0,8n+ 5c 5c
un 10 5c 10 c 2
