DS n°4 : Suites et étude d’une fonction

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Prénom : DS n°4

le 13/03/2018 Classe :

BTS 1 Les exercices seront traités dans l'ordre de votre choix. La présentation et le soin apportés à la présentation de votre copie rentreront pour une part importante dans sa notation.

Exercice 1 : QCM … / 5

Pour chacune des questions de ce questionnaire à choix multiples, une seule des quatre propositions est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse erronée, multiple ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

L'iode est un produit radioactif. La masse de tout échantillon d'iode diminue régulièrement de % par jour par désintégration. On dispose d'un échantillon de masse initiale = g. On note la masse de cet échantillon au bout de jours.

1. Arrondie au dixième, la masse de l'échantillon au bout de jours est :

a) g b) g c) g d) g

2. La suite des nombres est une suite :

a) arithmétique de raison b) géométrique de raison c) arithmétique de raison d) géométrique de raison 3. L'expression de en fonction de est :

a) = b) =

c) = d) =

4. On veut calculer les masses successives de l'échantillon à l'aide d'un tableur :

A B

Jour

La formule à écrire en B3 pour obtenir, en la recopiant vers le bas, les termes de la suite est :

a) =B * b) = * ^A c) = * ^B d) =A *

5. La masse de l'échantillon est inférieure à g au bout de :

a) jours 11 b) jours23 c) jours26 d) jours27

131 131 8,3

M0 100 Mn

n

M2 2

68,9 83,4 84,1 98,3

Mn

0,917 0,917

0,083 0,083

Mn n

M_n 100 + 0,917n M_n 100£0,083ⁿ Mn 100 + 0,917ⁿ Mn 100£0,917ⁿ

Mn

2 0,917 100 0,917 2 100 0,917 2 2 0,917

10

1 n Mn

2 0 100

3 1

4 2

5 3

6 4

Exercice 2 : Norme européenne et algorithmique … / 7 Depuis , l'Union Européenne cherche à diminuer les émissions de polluants (hydrocarbures et oxydes d'azote) sur les moteurs diesel des véhicules roulants. En , la norme tolérée était fixée à en conduite normalisée. La norme est réactualisée chaque année à la baisse et depuis , sa baisse est de % par an. L'objectif de l'Union Européenne est d'atteindre une émission de polluants inférieure à .

1. a) Justifier que la norme tolérée était d'environ en .

b) Un véhicule émettait en . Indiquer, en justifiant, s'il respectait ou non la norme cette année là.

2. Dans le cadre d'une recherche, un technicien supérieur se propose de déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif. Il a amorcé l'algorithme suivant :

← 0 ← Tant que … ← ← Fin Tant que Afficher … a) Expliquer l'instruction « ← »

b) Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme qui comportent des pointillés afin d'aider le technicien à déterminer l'année recherchée.

3. Pour tout entier naturel , on note la norme tolérée, exprimée en l'année . On a ainsi = .

a) Etablir que la suite ( ) est une suite géométrique dont on précisera la raison.

b) Pour tout entier naturel , exprimer en fonction de .

4. Déterminer à partir de quelle année, l'Union Européenne atteindra son objectif.

635 2000

2000

100 561

2000 11,7

2001

500 2002

0,883£P P

P 635

N

N N+ 1

P 0,883£P

n u_n 2000 +n

u₀ 635 un

un

n n

mg.km^-1 mg.km^-1 mg.km^-1

mg.km^-1

mg.km^-1

Exercice 3 : Taux d'alcool dans le sang … / 8 Une personne a ingéré une certaine quantité d'alcool. On s'intéresse à l'évolution du taux d'alcool dans le sang de cette personne, en fonction du temps écoulé , en heures.

Compte tenu du délai d'absorption par l'organisme, le taux d'alcool dans le sang de cette personne est donné, en grammes par litre, par la fonction définie sur [ ; +∞[ par :

=

Une représentation graphique c de la fonction dans un repère orthogonal, ainsi que d'autres résultats sont fournis ci-après par le logiciel Geogebra.

1. Déterminer, à l'aide de ces affichages :

a) L'intervalle de temps pendant lequel le taux d'alcool de cette personne reste supérieur à .

b) A quel instant le taux d'alcool est maximum ? Donner ce maximum.

c) Quelle est la valeur de ? En déduire que la courbe admet une asymptote dont on donnera l'équation.

2. a) Justifier, à partir des résultats fournis par geogebra, que pour tout réel de [ ; +∞[ on a :

=

b) En déduire le signe de sur [ ; +∞[.

c) Dresser le tableau de variations de sur [ ; +∞[.

t 0,025

(2t¡0,05)e^-t f(t)

f

c

g.L^-1 f

f(t)

0,025 f⁰(t)

f⁰(t) 0,025 t

t!lim+1

0,025 f

0,5

41¡40t 20e^t

Correction du DS n°4

Exercice 1 : QCM (Les bonnes réponses sont encadrées en rouge)

L'iode est un produit radioactif. La masse de tout échantillon d'iode diminue régulièrement de % par jour par désintégration. On dispose d'un échantillon de masse initiale = g. On note la masse de cet échantillon au bout de jours.

1. Arrondie au dixième, la masse de l'échantillon au bout de jours est :

a) g b) g c) g d) g

=

= ( – ) × = = =

= ≈ (réponse b)

2. La suite des nombres est une suite :

a) arithmétique de raison b) géométrique de raison c) arithmétique de raison d) géométrique de raison

∀ ∈ N, = =

On en déduit que la suite des nombres est géométrique de raison (réponse b).

3. L'expression de en fonction de est :

a) = b) =

c) = d) =

Puisque est géométrique de raison et de premier terme = alors :

∀ ∈ N, = = (réponse d)

4. On veut calculer les masses successives de l'échantillon à l'aide d'un tableur :

A B

Jour

La formule à écrire en B3 pour obtenir, en la recopiant vers le bas, les termes de la suite est :

a) =B * b) = * ^A c) = * ^B d) =A *

La première formule permet de calculer chaque terme , à partir du précédent dans la même colonne B.

5. La masse de l'échantillon est inférieure à g au bout de :

a) jours b) jours c) jours d) jours

< ⇔ < ⇔ < ⇔ < ⇔ <

< ⇔ <

< < donc <

On en déduit : > ≈ Or ∈ N donc ≥ (réponse d)

131 131 8,3

M0 100 Mn

n

M2 2

68,9 83,4 84,1 98,3

Mn

0,917 0,917

0,083 0,083

Mn n

Mn 100 + 0,917n Mn 100£0,083ⁿ Mn 100 + 0,917ⁿ Mn 100£0,917ⁿ

n Mn

Mn

2 0,917 100 0,917 2 100 0,917 2 2 0,917

10

11 23 26 27

M0 100

M1 8,3

100 100

1 (1¡0,083)£100 0,917£100 91,7 M2 (1¡0,083)£91,7 84,1

n Mn+1 (1¡0,083)£Mn

Mn+1 0,917Mn

Mn 0,917

Mn 0,917 M0 100

n Mn M0£qⁿ 100£0,917ⁿ

100 0

1 2 3 4 1

2 3 4 5 6

Mn

Mn 10 100£0,917ⁿ 10 0,917ⁿ ₁₀₀¹⁰ 0,917ⁿ 0,1 ln(0,917ⁿ) ln0,1 Mn 10 n ln0,917 ln0,1

0 0 0,917 1 ln0,917

n _ln^ln_0,917^0,1 26,6

n n 27

Exercice 2 : Depuis , l'Union Européenne cherche à diminuer les émissions de polluants (hydrocarbures et oxydes d'azote) sur les moteurs diesel des véhicules roulants. En , la norme tolérée était fixée à

en conduite normalisée. La norme est réactualisée chaque année à la baisse et depuis , sa baisse est de % par an. L'objectif de l'Union Européenne est d'atteindre une émission de polluants inférieure à

.

1. a) Justifier que la norme tolérée était d'environ en .

De à , la norme a diminué de %. En l'an elle était fixée à .

= ≈

La norme tolérée en est donc d'environ .

b) Un véhicule émettait en . Indiquer, en justifiant, s'il respectait ou non la norme cette année là.

De à , la norme a encore diminué de %.

= ≈

La norme tolérée en est donc d'environ . >

Ainsi, un véhicule qui émettait de polluants en ne respectait pas la norme.

2. Dans le cadre d'une recherche, un technicien supérieur se propose de déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif. Il a amorcé l'algorithme suivant :

← 0 ← Tant que … ← ← Fin Tant que Afficher … a) Expliquer l'instruction « ← »

« ← » signifie qu'on affecte le résultat de dans la variable .

b) Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme qui comportent des pointillés afin d'aider le technicien à déterminer l'année recherchée.

L'objectif est de déterminer l'année à partir de laquelle la norme d'émission de polluants sera inférieure à . On en déduit qu'il faut compléter les lignes comme indiqué ci-dessous :

• Tant que ≥

• Afficher

3. Pour tout entier naturel , on note la norme tolérée, exprimée en l'année . On a ainsi = .

a) Etablir que la suite ( ) est une suite géométrique dont on précisera la raison.

D'une année à l'autre, la norme diminue de %.

Donc : ∀ ∈ N, = =

On en déduit que la suite des nombres est géométrique de raison . b) Pour tout entier naturel , exprimer en fonction de .

est géométrique de raison et de premier terme = . Donc : ∀ ∈ N, = =

4. Déterminer à partir de quelle année, l'Union Européenne atteindra son objectif.

En résolvant < ⇔ < (cf. méthode exposée dans la question 5 de l'exercice 1) ou en utilisant le tableur de la calculatrice on obtient : ≥

On en déduit que l'Union Européenne a atteint son objectif, qui était d'atteindre une émission de polluants

inférieure à , en .

2000

2000 635

mg.km^-1 2000

11,7 100 mg.km^-1

561 mg.km^-1 2001

500 mg.km^-1 2002

N

P 635

N N+ 1 P 0,883£P

P 0,883£P

n un mg.km^-1 2000 +n

u0 635 un

n un n

11,7

2000 2001 2000 635 mg.km^-1

(1¡0,117)£635 0,883£635 561

2001 561 mg.km^-1

11,7 mg.km^-1 2001 2002

(1¡0,117)£561 0,883£561 495

2002 495

495 500

500 mg.km^-1 2002

P 0,883£P 0,883£P P

P N

11,7 n un+1 (1¡0,117)£un

un+1 0,883un

un 0,883

un 0,883 u0 635

n un u0£qⁿ 635£0,883ⁿ 100

un 100 635£0,883ⁿ 100

n 15 2015

100 mg.km^-1

100 mg.km^-1

Exercice 3 : Une personne a ingéré une certaine quantité d'alcool. On s'intéresse à l'évolution du taux d'alcool dans le sang de cette personne, en fonction du temps écoulé , en heures.

Compte tenu du délai d'absorption par l'organisme, le taux d'alcool dans le sang de cette personne est donné, en grammes par litre, par la fonction définie sur [ ; +∞[ par :

=

Une représentation graphique c de la fonction dans un repère orthogonal, ainsi que d'autres résultats sont fournis ci-après par le logiciel Geogebra.

1. Déterminer, à l'aide de ces affichages :

a) L'intervalle de temps pendant lequel le taux d'alcool de cette personne reste supérieur à .

On se sert des coordonnées de A( ; ) et B( ; ).

Le taux d'alcool de cette personne reste supérieur à sur l'intervalle de temps [ ; ].

b) A quel instant le taux d'alcool est maximum ? Donner ce maximum.

On se sert de l'affichage de l'inspecteur de fonction.

On lit : = et ≈

On en déduit que le taux d'alcool est maximum en h et que ce taux maximum est d'environ .

c) Quelle est la valeur de ? En déduire que la courbe admet une asymptote dont on donnera l'équation.

On lit la réponse dans la fenêtre de calcul formel : =

On en déduit que c admet pour asymptote horizontale la droite d'équation = .

2. a) Justifier, à partir des résultats fournis par geogebra, que pour tout réel de [ ; +∞[ on a : =

On lit : ∀ ∈ [ ; +∞[, =

On en déduit : = ( – ) = ( ) = t

f 0,025

f(t) (2t¡0,05)e^-t f

g.L^-1

c

g.L^-1

f⁰(1,025) 0 f(1,025) 0,7176

1,025 0,7176 g.L^-1

0,4 0,5 0,5 0,5 2,13 0,4 2,13

0,5

t 0,025 f⁰(t)

t!lim+1f(t)

t!lim+1f(t) 0

y 0

t 0,025 f⁰(t) ⁴¹₂₀e^-t¡2t e^-t f⁰(t) ⁴¹

20 2t e^{-t 41¡40t} 20

1 e^t

41¡40t 20e^t

41¡40t 20e^t

b) En déduire le signe de sur [ ; +∞[.

∀ ∈ [ ; +∞[, =

> et ∀ ∈ [ ; +∞[ on a : >

On en déduit que le signe de est celui de . > ⇔ > ⇔ < ⇔ <

Donc est strictement positive sur [ ; [ et est strictement négative sur [ ; +∞[.

c) Dresser le tableau de variations de sur [ ; +∞[.

On en déduit le tableau de variations suivant :

+∞

+ –

Calcul des valeurs exactes :

= = =

= =

f⁰(t) 0,025

f 0,025 t 0,025 f⁰(t) ⁴¹₂₀^¡_e^40t_t

t 0,025

20 0 20e^t 0

f⁰(t) 41¡40t 41¡40t 0 41 40t t ⁴¹₄₀ t 1,025

f⁰(t) 0,025 1,025 f⁰(t) 1,025

f⁰(t) f(t)

t 0,025 1,025

2e^-1,025

0 0

f(0,025) (2£0,025¡0,05)e^-0,025 0e^-0,025 0 f(1,025) (2£1,025¡0,05)e^-1,025 2e^-1,025