Corrigé du DS 4 : Suites et fonction exponentielle.

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Lycée Paul Rey Denis Augier

Corrigé du DS 4 : Suites et fonction exponentielle.

Exercice 1. La courbepCqci-dessous représente dans un repère orthogonal une fonctionfdéfinie et dérivable sur l’intervaller´4 ; 3s. Les points A d’abscisse´3 et B(0 ; 2) sont sur la courbe pCq.

Sont aussi représentées sur ce graphique les tan- gentes à la courbepCq respectivement aux points A et B, la tangente au point A étant horizontale. On note f¹ la fonction dérivée de f.

Les parties A et B sont indépendantes PARTIE A

1. Par lecture graphique, déterminer :

(a) f¹p´3q “ 0 puisque la tangente au point d’abscisse ´3 est horizontale ;

(b) fp0q “ 2 en effet le point Bp0,2q est un point depCq etf¹p0q “ ´3 puisque le coef- ficient directeur de la tangente enB est ´3 (je "pars" deB "j’avance" de 1 horizontale- ment puis "je descends" de 3 pour "revenir"

sur la tangente.) .

2. La fonction f est définie sur r´4; 3spar fpxq “a` px`bqe^´x

où a etb sont deux réels que l’on va déterminer dans cette partie.

(a) Calculerf¹pxq pour tout réelx de r´4; 3s. f¹pxq “e^´x´ px`bqe^´x “ p´x`1´bqe^´x (en effet, la dérivée de la constante a est nulle, puis l’expression px`bqe^´x est de la forme uv dont la dérivée est u¹v`uv¹. On a :

"

u“x`b v“e^´x et

"

u¹ “1 v¹ “ ´e^´x d’où le résultat précédent.)

(b) Á l’aide des questions 1. b. et 2. a., montrer que les nombres a et b vérifient le système suivant :

"

a`b “ 2 1´b “ ´3

(c) Déterminer alors les valeurs des nombres a etb.

Avec les résultats de la question 2. (b), on obtient :

"

fp0q “a` p0`bqe^´0“a`b“2 f¹p0q “ p´0`1´bqe^´0 “ p1´bq “ ´3

Donc

"

a“2´b“ ´2 b“4

Donc l’expression de f est :

fpxq “ ´2` px`4qe^´x.

PARTIE B

On admet que la fonctionf est définie surr´4 ; 3spar

fpxq “ ´2` px`4qe^´x.

Mathématiques : tronc commun 2018-2019 1

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1. Justifier que, pour tout réel x de r´4; 3s, f¹pxq “ p´x´3qe^´x et en déduire le tableau de variation def surr´4; 3s.

On a trouvé à la partie précédente :

f¹pxq “ p´x`1´bqe^´x“ p´x´3qe^´x puisque b“4 Comme e^´xą0, la fonctionf¹ est du signe de´x´3.

Or´x´3ą0ô ´3ąx. D’où le tableau de variation : x

f¹pxq

fpxq

´4 ´3 3

` 0 ´

´2

´2`e³

´2`7e^´3

´2`7e^´3 α

0

En effetfp´4q “ ´2`e³,fp´3q “ ´2`e³ ą0 et fp3q “ ´2`7e^´3» ´1,8ă0

2. Montrer que l’équationfpxq “0 admet une unique solutionαsurr´3; 3s, puis donner une valeur approchée de αà 0,01 prés par défaut à l’aide de la calculatrice.

D’après le tableau de variation, puisque 0P“

´2`7e^´3,´2`e³‰

et que sur l’intervaller´3,3sla fonction est strictement décroissante, nous pouvons affirmer (d’après de théorème des valeurs intermédiaires) que l’équation fpxq “0 admet sur cet intervalle une unique solution.

Exercice 2. Le bénéfice en milliers d’euros que réalise une entreprise lorsqu’elle fabrique et vendx centaines d’objets (pour x compris entre 0 et 6) est donné par

fpxq “ p200x´300qe^´x´1`10

Alix a affiché sur l’écran de sa calculatrice la courbe représentative de la fonctionf sur l’intervalle r0; 6s.

Partie A : objectif « réaliser un bénéfice maximal » L’écran ne permet pas à Alix de déterminer le bénéfice maximal.

Il décide donc d’étudier la fonction f sur l’intervalle r0; 6s. On admet que cette fonction est dérivable sur l’intervaller0; 6s. On désigne par f¹ la fonction dérivée de la fonctionf.

1. Établir que, pour tout nombre réelx de l’intervalle r0; 6s,

"

u“ p200x´300q v“e^´x´1 et

"

u¹ “200 v¹“ ´e^´x´1 Donc :

f¹pxq “200ˆe^´x´1´ p200x´300qe^´x´1 “ p500´200xqe^´x´1 2. Dresser le tableau de variation de la fonctionf sur l’intervalle r0; 6s.

Comme e^´x´1 ą0, la fonctionf¹ est du signe de 500´200x.

Or 500´200xą0ô500ą200xô ⁵₂ ąx. D’où le tableau de variation : x

f¹pxq

fpxq

0 ⁵₂ 6

` 0 ´

´300e^´1`10

200e^´7² `10 200e^´7² `10

900e^´7`10 900e^´7`10

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On a fp0q “ ´300e^´1`10» ´100,f`₅

2

˘“200e^´7² `10»16,04 et enfin fp6q “900e^´7`10»10,8 3. En déduire le nombre d’objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice maximal

en euros ? (Donner la réponse arrondie à l’euro).

D’après le tableau de variation, le bénéfice maximal est atteint pour 250 objets vendus et vaut 16039e. 4. Proposer un réglage de la fenêtre graphique permettant de visualiser le maximum de la fonction f.// Il

faut que la fenêtre contienne le point de coordonnéesp2,5; 16,04qsoit par exemple :X_min “0,X_max “6 puisY_min“0 etY_max“17.

Partie B : objectif « ne pas vendre à perte »

1. Au vu du graphique obtenu par Alix, à partir de combien d’objets l’entreprise ne vend-elle pas à perte ? Il semble que l’entreprise ne vende plus à perte à partir de 110 objets.

2. Démontrer que sur l’intervaller1; 2sl’équation fpxq “0 admet une unique solution notéeα.

D’après le tableau de variation l’équation fpxq “ 0 admet une unique solution sur l’intervalle r0; 2,5s.

Puisque fp1q “ ´100e^´2`10 » ´3,53 ă 0 et fp2q “ 100e^´3`10 » 14,97 ą 0 la solution α est sur l’intervaller1; 2s.

3. Donner une valeur approchée deα à 10^´2 près.

A la machine à calculer, on obtient :

x 1,09 1,1 fpxq ´0,142 0,203 Doncα»1,09 à 10^´2 près.

4. Préciser le nombre d’objets à partir duquel l’entreprise ne vend pas à perte.

L’entreprise de vend plus à perte à partir de 110 objets vendus.

Exercice 3. Mathieu dispose d’un capital de 20000equ’il veut placer. Sa banque lui propose de choisir entre deux contrats d’épargne.

— Contrat A : Le capital augmente chaque année de 4 %.

— Contrat B : Le capital augmente chaque année de 2,5 % et une prime annuelle fixe de 330 euros est versée à la fin de chaque année et s’ajoute au capital.

On note an le capital, en euro, acquis au bout den années si Mathieu choisit le contrat A ; bn le capital, en euro, acquis au bout denannées si Mathieu choisit le contrat B.

On a donca₀“b₀“20 000 et, pour tout entier naturel n,a_n`1“1,04a_n etb_n`1“1,025b_n`330.

1. Dans cette question, on suppose que Mathieu choisit le contrat A.

(a) Calculer la valeur, arrondie à l’euro, du capital disponible au bout de 10 ans. La suite panq est géométrique de premier terme a₀ “ 20 000 et de raison q “ 1,04 ; donc, pour tout n, on a a_n “ a0ˆqⁿ“20 000ˆ1,04ⁿ.

Donca10“20 000ˆ1,04ⁿ«29 605.

Le capital disponible au bout de 10 ans est, arrondi é l’euro, 29605e.

(b) Déterminer le pourcentage d’augmentation du capital entre le capital de départ et celui obtenu au bout de 10 ans. Arrondir le résultat à 1 %. Le pourcentage d’augmentation est donné par la formule valeur finale´valeur initiale

valeur initiale ˆ100 donc ici : 29 605´20 000

20 000 ˆ100«48.

Le pourcentage d’augmentation en 10 ans a pour valeur arrondie Ã l’unité 48 %.

2. Dans cette question, on suppose que Mathieu choisit le contrat B.

On considère la suitepu_nqdéfinie pour toutn paru_n“13 200`b_n; doncb_n“u_n´13 200.

(a) Montrer que la suitepunq est géométrique de raison 1,025 et calculer son premier terme u0.

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• u_n`1 “13 200`b_n`1 “13 200`1,025b_n`330“13 530`1,025pu_n´13 200q

“13 530`1,025un´13 530“1,025un

• u₀“13 200`b₀ “13 200`20 000“33 200

Donc la suite pu_nq est géométrique de premier termeu₀ “33 200 et de raison q“1,025.

(b) Donner l’expression de un en fonction de n. On en déduit que, pour tout n, un “ u0 ˆqⁿ “ 33 200ˆ1,025ⁿ.

(c) En déduire que, pour tout entier natureln, on abn“un´13 200 donc, pour tout n : b_n“33 200ˆ1,025ⁿ´13 200

(d) Déterminer au bout de combien d’années le capital disponible devient supérieur à 40 000 euros. Le capital devient supérieur Ã 40 000 pourntel queb_ną40 000 ; on résout cette inéquation :

b_ną40 000 ðñ 33 200ˆ1,025ⁿ´13 200ą40 000 ðñ 33 200ˆ1,025ⁿą53 200 ðñ 1,025ⁿą 53 200

33 200 ðñ lnp1,025ⁿq ąln

ˆ532

332

˙

ðñ nˆlnp1,025q ąln

ˆ532

332

˙ ðñ ną ln`₅₃₂

332

˘

lnp1,025q

ln`₅₃₂

332

˘

lnp1,025q «19,1 donc le capital devient supÃ crieur Ã 40 000eau bout de 20 ans.

3. On considère l’algorithme suivant : Variables

Aest un nombre réel B est un nombre réel

N est un nombre entier naturel Traitement

Aprend la valeur 20 000 B prend la valeur 20 000 N prend la valeur 0 Tant queAďB

A prend la valeur 1,04ˆA

B prend la valeur 1,025ˆB`330 N prend la valeurN`1

Fin Tant que Sortie Afficher N

(a) Le tableau ci-dessous traduit l’exécution pas à pas de l’algorithme.

Recopier et compléter ce tableau en arrondissant les valeurs deA et de B à l’unité :

Valeur de A 20 000 20 800 21 632 22 497 23 397 24 333 25 306 Valeur deB 20 000 20 830 21 681 22 553 23 446 24 362 25 301

Valeur deN 0 1 2 3 4 5 6

Condition AďB vraie vraie vraie vraie vraie vraie fausse

(b) Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice. La valeur affichée en fin d’algorithme est 6.

Si Mathieu veut faire un placement d’une durée inférieure à 6 ans, il vaut mieux qu’il prenne le contrat A, sinon il vaut mieux prendre le contrat B.