Lycée Paul Rey Denis Augier
DS 4 : Suites numériques et fonction exponentielle.
Consignes :
• Durée 1h.
• Calculatrice autorisée.
• Justifiez vos réponses.
Exercice 1. La courbepC1qci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonctionf définie et deux fois dérivable surr´1 ; 2s.
• On notef1 la fonction dérivée def etf2 la fonction dérivée seconde de f.
• La courbepC2q ci-dessous représente, dans le repère orthonormé, la fonctionf2.
• Le point A(0 ; 1) est situé sur la courbepC1q.
• La tangente à la courbepC1q au point A est horizontale.
• Le point B est le point d’intersection depC2q avec l’axe des abscisses. Une valeur approchée de l’abscisse bde B est b»0,37.
• On noteD le point de pC1qd’abscisse b.
1. Par lecture graphique,
(a) Donner la valeur defp0q. (b) Donner la valeur def1p0q.
(c) Étudier la convexité def surr´1 ; 2set les point d’intersection de la courbepC1q. Justifier la réponse.
2. On admet désormais que la fonctionf est définie pour tout réelx dansr´1 ; 2spar : fpxq “ p1´xqex`x2.
Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :
Mathématiques : tronc commun 2018-2019 1
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1 fpxq : “ p1´xq ˚exppxq `x2 Ñ p1´xqex`x2 2 factoriser( dériver(fpxq))
Ñxp2´exq
(a) Vérifier le résultat trouvé par le logiciel pour le calcul def1pxq.
(b) Étudier le signe def1pxq puis dresser le tableau de variation de la fonctionf sur r´1 ; 2s. 3. (a) Justifier que l’équationfpxq “0 possède une unique solutionα dansr´1 ; 2s.
(b) Déterminer un encadrement deα d’amplitude 0,01.
4. Déterminer une équation de la tangente àpC1q au point d’abscisse 1.
5. On noteF la fonction définie surr´1 ; 2spar : Fpxq “ 1
3x3` p´x`2qex (a) Vérifiez que :
F1pxq “fpxq (b) Déterminer une valeur approchée deFp2q ´Fp1q.
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Exercice 2. Une entreprise souhaite utiliser un motif décoratif pour sa communication.
Pour réaliser ce motif, on modélise sa forme à l’aide de deux fonctionsf et gdéfinies par : pour tout réelx de r0 ; 1s,
fpxq “ p1´xqe3x et gpxq “x2´2x`1.
Leurs courbes représentatives seront notéesCf etCg.
Partie A
Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants : 1 dériver p1´xq ˚expp3xq
:´3x˚expp3˚xq+2˚expp3˚xq 2 factoriser ´3x˚expp3˚xq `2˚expp3˚xq
: expp3xq ˚ p´3x`2q 3 factoriser(dériver(expp3xqp´3x`2q))
: 3˚expp3˚xqp1´3xq
1. Éudier surr0 ; 1sle signe de la fonction dérivée f1, puis donner le tableau de variation def surr0 ; 1sen précisant les valeurs utiles.
2. La courbeCf possède un point d’inflexion. Déterminer ses coordonnées.
Partie B
On se propose de calculer l’aire de la partie grisée sur le graphique.
1. Vérifier que les points A et B de coordonnées respectives (1 ; 0) et (0 ; 1) sont des points communs aux courbesCf etCg.
2. On admet que : pour tout xdans [0 ; 1], fpxq ´gpxq “ p1´xq`
e3x´1`x˘ . (a) Justifier que pour tout x dans [0 ; 1], e3x´1ě0.
(b) En déduire que pour toutx dans [0 ; 1], e3x´1`xě0.
(c) Éudier le signe defpxq ´gpxq pour toutxdans [0 ; 1].
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Exercice 3 5 points
Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L
En 2015, les forêts couvraient environ 4 000 millions d’hectares sur terre. On estime que, chaque année, cette surface diminue de 0,4 %. Cette perte est en partie compensée par le reboisement, naturel ou volontaire, qui est estimé à 7,2 millions d’hectares par an.
On considère la suite punq définie par u0 “4 000 et, pour tout entier natureln,un`1 “0,996ˆun`7,2.
1. Justifier que, pour tout entier naturel n, un permet d’obtenir une estimation de la surface mondiale de forêt, en millions d’hectares l’année 2015`n.
2. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il calcule et affiche la première année pour laquelle la surface totale de forêt couvre moins de 3 500 millions d’hectares sur terre.
Variables : N est un entier naturel U est un nombre réel Initialisation : Affecter à N la valeur 2015
Affecter à U la valeur 4 000 Traitement :
Sortie : Afficher N
3. On considère la suitepvnq définie pour tout entier natureln parvn“un´1800.
(a) Démontrer que la suitepvnq est géométrique puis préciser son premier terme et sa raison.
(b) En déduire que pour tout entier naturel n, on a : un“2 200ˆ0,996n`1 800.
(c) Selon ce modèle et si le phénomène perdure, la surface des forêts sur terre va-t-elle finir par dispa- raître ? Justifier la réponse.
4. Une étude montre que, pour compenser le nombre d’arbres détruits ces dix dernières années, il faudrait planter 140 milliards d’arbres en 10 ans.
En 2016 on estime que le nombre d’arbres plantés par l’Organisation des Nations unies (ONU) est de 7,3 milliards.
On suppose que le nombre d’arbres plantés par l’ONU augmente chaque année de 10 %.
L’ONU peut-elle réussir à replanter 140 milliards d’arbres de 2016 à 2025 ? Justifier la réponse.
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