DS 4 : Suites numériques et fonction exponentielle.
Consignes :
• Durée 1h45.
• Calculatrice autorisée.
• Justifiez vos réponses.
Exercice 1. La courbepC1qci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonctionf définie et deux fois dérivable surr´2 ; 3s. Le point Ap0; 3q est un point de pC1q. On a représenté en A la tangente à la courbe pC1q.
Représentation de f et f2. Représentation de f1.
• On notef1 la fonction dérivée def etf2 la fonction dérivée seconde de f.
• La courbepC3q ci-dessous représente, dans le repère orthonormé, la fonctionf2.
• Le pointBp1; 0qest le point d’intersection de pC3q avec l’axe des abscisses.
• On noteD le point de pC1qd’abscisse 1.‘
• La courbepC2q ci-dessous représente, dans le repère orthonormé, la fonctionf1. (graphique de droite)
• Le pointE est le point d’intersection depC2q avec l’axe des abscisses. Une valeur approchée de l’abscisse α deE est α»2,12.
1. Par lecture graphique,
(a) fp0q “3 carAp0; 3q est un point de pC1q.
(b) f1p0q “ 3, puisque la tangente à la courbe représentative pC1q de la fonction f à pour coefficient directeur 3.
(c) Étudier la convexité def surr´2 ; 3set les points d’inflexion de la courbepC1q. Justifier la réponse.
Surr´2; 1s Surr1; 3s
Signe def2 + -
Convexité def f est convexe. f est concave.
Par ailleurs,f2 change de signe en 1, donc le pointDde pC1qd’abscisse 1 est un point d’inflexion de pC1q.
2. On admet désormais que la fonctionf est définie pour tout réelx dansr´2 ; 3spar : fpxq “ p3´xqex`x.
Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants : 1 fpxq : “ p3´xq ˚exppxq `x
Ñ p3´xqex`x 2 dériver(fpxq)
Ñ p2´xqex`1 3 factoriser( dériver(f1pxq))
Ñ p1´xqex
(a) Vérifier le résultat trouvé par le logiciel pour le calcul def1pxq.
f1pxq “ ´1ˆex` p3´xqex`1“ p2´xqex`1 (b) Vérifier le résultat trouvé par le logiciel pour le calcul def2pxq.
f2pxq “ pf1pxqq1 “ ´1ˆex` p2´xqex`0“ p1´xqex
(c) Étudier le signe def2pxq puis dresser le tableau de variation de la fonctionf1 surr´2 ; 3s. exą0, doncf2pxqest du signe dep1´xq, d’où le tableau de variation def1pxq :
x f2pxq
f1pxq
´2 1 3
` 0 ´
4e´2`1 4e´2`1
e`1 e`1
´e3`1
´e3`1
f1p´2q “4e´2`1»1,54 f1p1q “e`1»2,71 f1p3q “ ´e3`1» ´19,08
(d) Justifier que l’équation f1pxq “ 0 possède une unique solution α dans r´2 ; 3s. On notera α cette solution.
D’après le tableau de variation f1 l’équation f1xq “0 admet une unique solution. Cette solution est surr1; 3s. Une valeur approché de cette solution α est donnée dans l’énoncéα»2,12
3. (a) Recopier et compléter le tableau de variation ci-dessous. On pourra compléter le tableau de variation en utilisant des valeurs approchées à 10´2 pour les valeurs de f) :
x f1pxq
fpxq
´2 α 3
` 0 ´
´1.32
´1.32
9.45 9.45
3 3
fp´3q “5e´2´2» ´1,32 fpαq “ p3´αqeα`α»9,45 fp3q “3
(c) Déterminer un encadrement deβ d’amplitude 0,01.
Puisque :
fp´1,24q » ´0,013 et fp´1,23q »0,0063 Un encadrement deβ à 0,01 près est :´1,24ďβ ď ´1,23
4. Déterminer une équation de la tangente àpC1q au point d’abscisse 1.
On utilise la formule donnant la tangente au point d’abscissea:Ta:y“f1paqpx´aq `fpaq. f1p1q “e`1 fp1q “2e`1
Donc l’équation de la tangente à pC1qau point d’abscisse 1 est :
y“ pe`1qpx´1q `2e`1“ pe`1qx`e 5. On noteF la fonction définie surr´1 ; 2spar :
Fpxq “ 1
2x2` p´x`4qex (a) Vérifiez que :
F1pxq “ 1
2 ˆ2x´1ˆex` p´x`4qex “x` p3´xqex“fpxq (b) Déterminer une valeur approchée deFp2q ´Fp1q “8,12.
Exercice 2. En janvier 2015, le directeur d’un musée d’art contemporain commande une enquête concernant les habitudes des visiteurs.
Le musée dispose d’un site internet. Pour acheter son billet, une personne intéressée peut se rendre au guichet d’entrée du musée ou commander un billet en ligne.
Trois types de visites sont proposés :
• La visite individuelle sans location d’audioguide.
• La visite individuelle avec location d’audioguide.
• La visite en groupe d’au moins 10 personnes. Dans ce cas, un seul billet est émis pour le groupe.
Le site internet permet uniquement d’acheter les billets individuels avec ou sans audioguide.
Pour la visite de groupe, il est nécessaire de se rendre au guichet d’entrée du musée.
Sur l’année 2015 l’enquête a révélé que :
• 55 % des billets d’entrée ont été achetés au guichet du musée ;
• parmi les billets achetés au guichet du musée, 51 % des billets correspondent à des visites individuelles sans location d’audioguide, et 37 % à des visites avec location d’audioguide ;
• 70 % des billets achetés en ligne correspondent à des visites individuelles sans location d’audioguide.
On choisit au hasard un billet d’entrée au musée acheté en 2015.
On considère les évènements suivants :
• E : « le billet a été acheté en ligne » ;
• A : « le billet correspond à une visite individuelle avec location d’audioguide » ;
• L: « le billet correspond à une visite individuelle sans location d’audioguide » ;
• G: « le billet correspond à une visite de groupe ».
On rappelle que si E et F sont deux évènements, ppEq désigne la probabilité de l’évènement E et pFpEq désigne la probabilité de l’évènementE sachant que l’évènementF est réalisé. On noteE l’évènement contraire de E.
1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant qui représente la situation décrite dans l’énoncé :
E
0,3 A
0,7 L 0,45
E¯
A 0,37
L 0,51
G 0,12
0,55
3. D’après la formule des probabilités totales :
ppAq “ppEXAq `ppEXAq “PpEq ˆPEpAq `PpEq ˆPEpAq “0,135`0,55ˆ0,37“0,338 5 4. Le billet choisi correspond à une visite individuelle avec location d’audioguide. La probabilité que ce billet
ait été acheté au guichet du musée est : pApEq “ ppAXEq
ppAq “ 0,55ˆ0,37
0,338 5 «0,601 à 10´3 près
5. Déterminer les probabilités qui permettent de compléter l’arbre suivant et le compléter : PpLq “0,45ˆ0,7`0,55ˆ0,51“0,5955 PLpEq “ PpLXEq
p5Lq “ 0,45ˆ0,7
0,5955 »0,529 PpGq “0,53ˆ0,12“0,0636 PGpEq “0
A
0,399 E
E¯ 0,601 0,338
L
0,529 E
E¯ 0,471 0,596
G 0 E
E¯ 1 0,064
Exercice 3. Pour déterminer la fréquence de poissons infectés dans un prélèvement, un laboratoire dispose d’un test de dépistage dont les résultats sont les suivants :
‚ sur des poissons infectés par la bactérie, le test est positif dans 60 % des cas ;
‚ sur des poissons non infectés par la bactérie, le test est positif dans 10 % des cas.
Pour un poisson prélevé au hasard, on note :
‚ B l’évènement : « le poisson est infecté par la bactérie » ;
‚ T l’évènement : « le test du poisson est positif » ;
‚ B etT les évènements contraires deB etT.
On notex la probabilité qu’un poisson soit infecté par la bactérie.
1. Recopier et compléter l’arbre pondéré traduisant cette situation.
B
0,6 T
0,4 T x
B
0,1 T
T 0,9
1´x
2. (a) D’après la formule des probabilités totales : ppTq “ppBXTq `p`
BXT˘
“ppBq ˆpBpTq `p` B˘
ˆpBpTq “xˆ0,6` p1´xq ˆ0,1
“0,6x`0,1´0,1x“0,5x`0,1
(b) Le laboratoire a constaté que 12,5 % des poissons d’un prélèvement ont eu un test positif.
On a doncppTq “0,125 ðñ 0,5x`0,1“0,125 ðñ 0,5x“0,025 ðñ x“0,05.
(c) On peut donc estimer à 5 % la proportion de poissons infectés que le laboratoire va proposer.
3. (a) On a prélevé un poisson dont le test est positif. Déterminer la probabilité pour que le poisson soit infecté par la bactérie.
PTpBq “ PpT XBq
PpTq “ 0,05ˆ0,6
0,125 “0,24
(b) On a prélevé un poisson dont le test est négatif. Déterminer la probabilité pour que le poisson soit infecté par la bactérie.
PTpBq “ PpT XBq
PpTq “ 0,05ˆ0,4
0,875 “0,023 4. Reproduire et compléter l’arbre pondéré suivant :
T
0,24 B
0,76 B 0,125
T
B
4 175
B
171 175
0,875
