DS 2 : Suites et étude de fonction (convexité).

DS 2 : Suites et étude de fonction (convexité).

Exercice 1.







a0=−19 5

a_n+1=−3an−16 an+5

Nous allons chercher à déterminer l’expression deanen fonction de deux façons différentes : 1. Par une suite intermédiaire. On définie la suite (bn) par l’expressionbn= 1

an+4 a. Déterminerb0?

b0= 1

−19

5 +4=5

b. Montrer que (bn) est une suite arithmétique dont on déterminera la raison.

On abn= 1

an+4⇔an+4= 1

bn ⇔an= 1 bn−4

bn+1= 1

an+1+4= 1

−3an−16 an+5 +4

= an+5

−3an−16+4an+20=an+5 an+4=

1 bn+1

1 bn

=bn+1

Donc (bn) est une suite arithmétique de raison 1 et de premier termeb₀=5

c. En déduire l’expression debn puis dean en fonction denpournentier naturel. Avec le résultat de la question précédente :

bn=b0+1×n=5+n et an= 1

bn−4= 1 5+n−4

2. Maintenant retrouvons le résultat obtenu à la question précédente par récurrence. C’est à dire, montrer par récurrence que pournentier naturel l’on a :

an= 1 5+n−4 On posePn: "a_n= 1

5+n−4" pourn∈N Initialisation : Pourn=0, on a :

a₀=−19

6 et 1

5+0−4=−19 6 DoncP₀vrai.

Hérédité : Soitn∈N. SupposonsPnvrai c’est-à-direan= 1

5+n−4. Alors :

an+1=−3an−16 an+5 =

−3 µ 1

5+n −4

¶

−16 µ 1

5+n−4

¶ +5

=

−3 5+n−4 µ 1

5+n+1

¶=

−3−20−4n 5+n µ6+n 5+n

¶ =−23−4n 6+n

Nous devons obtenir :

1

5+(n+1)−4=1−24−4n

(n+6) =−23−4n 6+n

Nous avons montré quePnvrai implique quePn+1. Or nous avons queP0vrai. Nous avons donc montré par récurrence que :

∀n∈N, an= 1 5+n−4

3. La suite (an) est-elle bornée et si c’est le cas, en proposer un encadrement.

L’on a :

n>0⇔n+5>6 |{z}⇔

la fonction inverse étant↓surR⁺

0< 1 n+56¹

5⇔ −4< 1 n+5−4

| {z }

an

6¹

5−4=−19 6

La suite (an) est donc bien bornée.

4. Déterminer la limite de la suite (an).

nlim→+∞n+5= +∞ ⇒ lim

n→+∞

1

n+5=0⇒ lim

n→+∞un= lim

n→+∞

1

5+n−4= −4

Exercice 2.

g(x)=x³ 3 +2

3 On considère la suite (vn) définie pour toutn∈Npar :

½ v₀ ∈ R vn+1 = f(v_n) 1. Étude de la fonctiong.

a. Étudier les variations de la fonctiongainsi que sa convexité.

g^′(x)=x²>0 doncgest croissante surR.

g^′′(x)=2xdoncg^′′(x)60 surR⁻estgest concave etg^′′(x)>0 surR⁺doncgest convexe surR⁺. de plusgadmet un point d’inflexion en 0 de coordonnées (0,²₃).

b. Montrer queg(x)−x=1

3(x−1)²(x+2) 1

3(x−1)²(x+2)=1

3(x²−2x+1)(x+2)=1

3(x³−2x²+x+2x²−4x+2)=1 3x³+2

3−x=g(x)−x puis résoudre l’équation :

g(ℓ)=ℓ⇔g(ℓ)−ℓ=1

3(ℓ−1)²(ℓ+2)=0⇔ℓ=1 ouℓ= −2 2. Dans cette questionv₀= −1.

a. Démontrer par un raisonnement par récurrence quevn6vn+161 pour toutn∈N. On poseP_n: "v_n6v_n+161 pourn∈N.

Initialisation :Pour=0.v₁=−1 3 +2

3=1 3. Doncv06_v161. DoncP0vrai.

Hérédité : Soitn∈N. SupposonsPnvrai. C’est à dire : vn6vn+161

Commegest croissante surR, on a :g(vn)6g(vn+1)6g(1) Doncv_n+16v_n+261.

DoncPnhéréditaire orP0vrai. On a donc montrer par récurrence.

∀n∈N, v_n6v_n+161 b. En déduire que la suite (vn) converge et déterminer sa limite.

La suite est donc croissante et majorée par 1. Elle converge donc vers une limite ℓetℓ∈[−1,1] (puisse que v0= −1 et∀n∈N,vn61)

On a doncvn→ℓdoncvn+1→ℓ. De plusgest continue doncg(vn)=vn+1→g(ℓ) doncg(ℓ)=ℓ. Or d’après la question 1. b.ℓ∈{−2,1}. Commeℓ∈[−1,1] on peut conclure queℓ=1

3. Dans cette questionv0=2.

a. A l’aide de la calculatrice déterminer les valeurs approchées dev1,v2etv10et faire une conjecture sur les varia- tions de la suite et sur sa limite.

v1=g(v0)=10

3,v2=g(v1)≃13,01 etv3≃735

L’on peut conjecturer que (v_n) est croissante, diverge et tend vers+∞.

b. Démontrer par un raisonnement par récurrence que 16vn6vn+1pour toutn∈N. On posePn: "vn6vn+1pourn∈N.

Initialisation :Pourn=0.v1=10 3 . Doncv₀6v₁. DoncP₀vrai.

Hérédité : Soitn∈N. SupposonsP_nvrai. C’est à dire : vn6_vn+1

Commegest croissante surR, on a :g(vn)6g(vn+1) Doncvn+16vn+2.

DoncPnhéréditaire orP₀vrai. On a donc montrer par récurrence.

∀n∈N,vn6vn+1

c. Démontrer la conjecture faite relativement à la limite de la suite (v_n).

Supposons que (vn) soit majorée. Par le même raisonnement fait à la question 2. b. la suite (vn) tend vers une limiteℓqui est soit 1 soit−2. Or comme (vn) est croissante∀n∈N,u₀=26undoncℓ>2 d’où la contradiction.

Donc (v_n) n’est pas majorée, or elle est croissante. Donc (v_n) diverge et rend vers+∞.

Exercice 3.

t : R → R

x 7→ −2x²+2

On notePla parabole d’équationy= −2x²+2.

Elle coupe l’axe des abscisses enA(−1,0) etB(1,0).

SoitC(x,t(x)) un point deP_{etH(x,0) oùx∈[−1,1].}

L’objectif de l’exercice est d’étudier la surface du triangle

rectangleAHC. −1 0 1

1 2

O −→ı

−

→

A B

x H C

1. Dans cette question, on considère la fonction :

h : [−1,1] → R x 7→ −x³−x²+x+1 a. Tableau de variation de h sur [−1,1].

h^′(x)= −3x²−2x+1=(x+1)(−3x+1) x

x+1

−3x+1 h^′(x)

h(x)

−1 ¹₃ 1

0 + +

+ 0 −

0 + 0 −

00

3227 3227

00 β

1 α

1

b. Déterminer le maximum de la fonctionhsur [−1,1].

D’après le tableau de variation de la fonctionh, le maximum de la fonction est32

27obtenue pourx=1 3. c. Déterminer le nombre de solution de l’équationh(x)=1.

Comme 32

27>1, la fonction étant continue, d’après le tableau de variation de la fonctionh, l’équationh(x)=1 admet exactement 2 solution sur [−1,1], une sur l’intervalle [−1,¹₃] et une deuxième sur [¹₃,1].

d. Résoudre cette équationh(x)=1.

h(x)=1⇔ −x³−x²+x=x(−x²−x+1)x=0⇔x=0 ou −x²−x+1

∆=p

5, doncx₁=−1−p 5

2 etx₂=−1+p 5

Les solutions de cette équation sur [−1,1] sont donc 1 et2 x2≃0,618.

2. Montrer que la surface du triangleAHCest donnée en fonction dexparh(x).

La surface du triangleAHCest : 1

2AH×HC=1

2(x+1)t(x)=1

2(x+1)(−2x²+2)=(x+1)(−x²+1)= −x³−x²+x+1=h(x)

3. En déduire, la surface maximale du triangle rectangle AHC ainsi que la valeur dexpour laquelle cette surface est maximale.

D’après la question 1.a. la surface est maximale pourx=1

3est vaut alors32 27

4. Déterminer la ou les positions du point C pour que la surface du triangle rectangle AHC soit égale à 1. (ce qui revient à résoudreh(x)=1) On noteraϕla solution non entière de équation.

5. Vérifier queϕ²=1−ϕ. Pour l’anectode 1

ϕest appelé nombre d’or.

Exercice 4.

f(x)=3− 4 x+1. On considère la suite définie pour toutn∈Npar :

½ u₀ = 4 u_n+1 = f(u_n) 1. Étude de la fonctionf.

a. Déterminer la dérivée de la fonction f est étudier de la variation de cette fonction.

f^′(x)= 4

(x+1)² et f^′′(x)= −8 (x+1)³

b. Étudier la convexité de la fonction f sur ]− ∞;−1[∪]−1 ; +∞[. Existe-t-il des points d’inflexion?

La dérivée seconde est du signe inverse de (x−1) x

f^′(x) f(x)

−∞ 1 +∞

+ −

conv exe conv ace

Pas de point d’inflexion.

c. Résoudref(x)=xsur ]− ∞;−1[∪]−1 ;+∞[.

f(x)=x⇔3− 4

x+1−x=−x²+2x−1

x+1 =0⇔ −x²+2x−1= −(x−1)²=0⇔x=1

2. Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbeC représentative de la fonction f sur l’intervalle [0 ;+∞[ et la droite Dd’équationy=x.

a. Sur le graphique ci-dessous, placer sur l’axe des abscisses,u₀,u₁,u₂etu₃. Faire apparaître les traits de construc- tion.

b. Que peut-on conjecturer sur le sens de variation et la convergence de la suite (u_n) ? 3. Dans cette question, nous allons démontrer les conjectures formulées à la question 2. b.

a. Démontrer par un raisonnement par récurrence que 16un+16unpour toutn∈N. On posePn: "16un+16unpourn∈N.

Initialisation :Pourn=0.u₁=2,2.

Donc 16u₁=2,26u₀=4. DoncP₀vrai.

Hérédité : Soitn∈N. SupposonsPnvrai. C’est à dire : 16un+16un

Comme f est croissante sur ]−1,+∞[, on a :f(1)6f(un+1)6f(un) Donc 16u_n+26u_n+1.

DoncP_nhéréditaire orP₀vrai. On a donc montrer par récurrence.

∀n∈N,16un+16un

b. Déduire des questions précédentes que la suite (u_n) est convergente et déterminer sa limite.

On a démontré que la suite (u_n) est décroissante et minorée par 1 : elle est donc convergente vers un nombreℓ supérieur ou égal à 1.

La fonctionf est continue car dérivable sur ]−1 ; +∞[; la relation de récurrence u_n+1=f(u_n) donne à la limiteℓ=f(ℓ) Or d’après la question 1.c. alorsℓ=1.

La suite (u_n) converge vers 1.

0 1 2 3 4 5 6

−1

0

−1 1 2 3 4 5

O →−

ı

−

→

D

C

u0= u1

u2

u3