En déduire l’aire maximale d’un rectangle circonscrit à E

PSI* — 2019/2020 — Révisions par chapitres — Analyse n^o 34 Page 1

34. (Centrale) Pour θ réel fixé, déterminer les valeurs de p(θ) pour lesquelles la droite Dθ d’équation xcosθ+ysinθ=p(θ) est tangente à l’ellipseE d’équation x²

a² + y² b² = 1.

En déduire l’aire maximale d’un rectangle circonscrit à E.

Solution : j’utilise le résultat “classique” selon lequel une droite est tangente à une conique si et seulement si elle la rencontre en un unique point. OrD^θ passe par le pointH^θ = (p(θ) cosθ, p(θ) sinθ) et elle est normale au vecteur(cosθ,sinθ), donc dirigée par(−sinθ,cosθ); elle admet la représentation paramétrique

x(t) =p(θ) cosθ−tsinθ

y(t) =p(θ) sinθ+tcosθ , t∈R et(x(t), y(t))∈E si et seuement si

(p(θ) cosθ−tsinθ)²

a² +(p(θ) sinθ+tcosθ)²

b² = 1

soit

sin²θ

a² +cos²θ

b² t²+ 2p(θ) sinθcosθ 1 b² − 1

a² t+p(θ)²cos²θ

a² +p(θ)²sin²θ

b² −1 = 0.

Le nombre de points d’intersection deD^θ avecE est le nombre de solutions de cette équation du second degré ent(le coefficient det²est strictement positif). Par conséquentDθest tangente àEsi et seulement si le discriminant est nul, soit (en multipliant tout par a²b²/4) si et seulement si

p(θ)²sin²θcos²θ a²−b^{2 2}− b²sin²θ+a²cos²θ p(θ)²b²cos²θ+p(θ)²a²sin²θ−a²b² = 0 ou encore

p(θ)² sin²θcos²θ a²−b^{2 2}−b⁴−a⁴ −a²b² cos⁴θ+ sin⁴θ =−a²b² b²sin²θ+a²cos²θ soit finalement, en reconnaissant cos²θ+ sin²θ ²,

D^θ est tangente àE si et seulement sip(θ) =± a²cos²θ+b²sin²θ.

Notons qu’il est normal d’obtenir deux solutions symétriques par rapport à O.

De plus le point Hθ ci-dessus est la projection orthogonale de OsurDθ, doncp(θ) est la distance de O àDθ. La largeur de la “bande” délimitée par les deux droites obtenues est donc2 a²cos²θ+b²sin²θ.

Or les côtés d’un rectangle circonscrit à E sont portés par deux couples de droites comme ci-dessus, correspondant à des valeurs deθ différant deπ/2(puisqueθ correspond à l’ange polaire de la normale à D^θ).Pour θdonné, l’aire du rectangle correspondant est

A(θ) = 4 a²cos²θ+b²sin²θ a²sin²θ+b²cos²θ.

Putôt que de me lancer dans un calcul de variations de cette fonction de θ, je remarque que A(θ)² est de la forme 16x a²+b²−x . Or le produit de deux nombres de somme constante est maximum lorsque ces deux nombres sont égaux (dériver x→x(s−x). . . ). Donc, puisque a=b, le maximum est atteint lorsquecos²θ= sin²θ, soit lorsqueθ=π/4moduloπ/2. Et ce maximum vaut4 a²+b^{2 2}. Or, puisque tout est positif, le maximum deA(θ)² est le carré du maximum de A(θ).

En conclusion, l’aire maximale d’un rectangle circonscrit àE est 2 a²+b² .

Notons que dans le cas a =b (où E est un cercle de rayon a), le résultat est correct mais alors l’aire A(θ) ne dépend pas de θ ! Notons aussi que le maximum obtenu est supérieur à l’aire du rectangle tangent à E en ses sommets (rectangle de côtés2a et2b,donc d’aire 4ab≤2 a²+b² selon l’inégalité bien connue !).