Cours : Suites

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D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php

Chapitre 01

Limites de Suites

Objectifs

Ce chapitre a pour objectif de préciser la notion de limite et de convergence d’une suite.

Même si l’intuition que l’on en a est parfois suffisante pour conjecturer les résultats, les nombreux théorèmes de première S déjà vus (opérations sur les limites, théorème de convergence), ont besoin d’un support plus solide pour être démontré !

Les premières parties de ce chapitre sont difficiles et très formelles. Essayez de les comprendre à tête reposée et rassurez vous, il vous faudra plusieurs années pour bien les comprendre ou les manipuler, et c’est normal.

Les théorèmes de convergence que nous rappellerons, resteront nos outils essentiels, et eux, vous devez les comprendre et les manipuler parfaitement…

BILAN DE PREMIERE

Convergence d’une suite (quelconque) : (Définition de Terminale)

La convergence d’une suite sert à étudier le comportement des termes u de la suite lorsque n devient (infiniment) grand : _n ces termes se rapprochent – ils d’un réel l (u_n =1/n) ? tendent – ils vers l’infini (u_n =n²) ? ou n’ont –ils aucun

comportement particulier (un =^{cos( ),}n un = −

( )

¹ⁿ) ?

Définition. Une suite

( )

un converge vers a lorsque « Pour tout intervalle I centré en a, aussi petit soit il (l’intervalle), il existe un certain rang N à partir duquel tous les termes de la suite sont dans I ».

Mathématiquement : ∀ > ∃ε 0, un rang N tel que∀ ≥n N,− ≤ε u_n− ≤a ε) On note alors lim _n

n u a

→∞ = .

Remarque : lorsque la limite existe, elle est unique (prouvez le !).

Important : une suite est soit convergente, soit divergente.

• Elle converge lorsqu’elle a une limite finie (un nombre réel). Ex : u_n =1/n.

• Sinon, elle diverge : elle peut tendre vers l’infini (u_n =n²) ou n’avoir aucune limite (un =^{cos( ),}n un = −

( )

¹ⁿ).

SUITES ARITHMETIQUES.

1. Définition.

Une suite u est arithmétique si chaque terme se déduit du précédent par addition d’une constante réelle appelée raison et notée r.

→u est arithmétique si ∃ r ∈ IR, tel que ∀ n ∈ IN, un+1 = u_n + r.

METHODE : Pour montrer qu’une suite est arithmétique (ou non) : on calcule, ∀ n ∈ IN, un+1 − un . Si cette différence est une constante, c’est la raison r.

2. Expression explicite de u _n : → un =up+ −

(

n p r

)

3. Variation. Une suite arithmétique est monotone : croissante lorsque r est positif, décroissante sinon, évidemment stationnaire lorsque sa raison est nulle.

4. Somme de termes consécutifs.

→ _{1 2 3 ..}

(

¹

)

2 n n n+ + + + + =

Pour toute suite arithmétique (elle se retrouve si on connaît la précédente, inutile à apprendre donc, mais retenir la méthode pour la retrouver) :

( )

1

2

... 1

2

p n

p p n

nbre de termes demi somme

des extremes

u u

u u ₊ u n p

−

+ + + = + × − +

, p = 0 ou p = 1 en général.

Pratique : La somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique est égale à la moyenne arithmétique du premier et du dernier terme de la +, multipliée par le nombre de termes.

SUITES GEOMETRIQUES.

1. Définition.

Une suite u est géométrique si chaque terme se déduit du précédent par multiplication d’une constante réelle appelée raison et notée q.

→u est géométrique si ∃ q ∈ IR, tel que ∀ n ∈ IN, u_n+1 = q.u_n METHODE : Pour montrer qu’une suite est géométrique (ou non) : on calcule, ∀ n ∈ IN, un+1/u_n . Si ce quotient est une constante, c’est la raison q.

2. Expression explicite de u _n : → u_n =u_p×q^{n p−}

3. Variation. Une suite géométrique est monotone que lorsque sa raison est positive : sa monotonie dépend ensuite de la position de sa raison par rapport à 1 et du signe du premier terme u₀ : à étudier au cas par cas.

4. Somme de termes consécutifs.

→ ² 1 ¹

1 .. , 1

1

n

n q

q q q q

q

− +

+ + + + = ≠

−

Pour toute suite géométrique (elle se retrouve si on connaît la précédente, inutile à apprendre donc, mais retenir la méthode pour la retrouver) :

1 1

... 1 , 1

1

n p

p p n p

u u u u q q

q

− +

+ −

+ + + = × ≠

− , p = 0 ou p = 1 en général.

En particulier :

1

0 1 0

... 1 , 1

1

n n

u u u u q q

q

− +

+ + + = × ≠

− De plus : →si q >1 : lim ⁿ

n q

→+∞ = +∞

→si –1 < q <1 : lim ⁿ 0

n q

→+∞ =

→si q < -1, q n’a pas de limites. ⁿ

Un support utile tout le long du cours est l’animation sur les suites du site (définition, convergence…).

Les exercices et les démonstrations sont corrigés à la fin de ce document.

I. Les suites : Rappels.

Définitions

Définition : Une suite réelle

( )

un ou

( )

un n_∈ℕ est une liste de nombre réels : u u u₀, ₁, ₂,...,u_n,...

un est un terme de la suite appelé terme général de la suite.

On peut la voir comme une fonction u :ℕ→ℝ (plus précisément, définie sur un ensemble inclus dans IN) qui a un entier naturel n associe le nombre réel ^{u n}

( )

noté en général u_n.

Il existe plusieurs façons de définir une suite :

• Définition explicite du terme général u_n : la suite agit clairement comme une fonction un = f n

( )

dont l’ensemble de départ est inclus dansℕ.

Exercice I-1 : Calculer les 3 premiers termes de la suite u_n ainsi que sa limite.

Autre Exemple : les suites géométriques (u_n = ×u₀ qⁿ) ou arithmétiques (u_n =u₀+ ×n r).

→Avantage : pour le calcul rapide de n’importe quel terme de la suite ou l’étude de la limite.

• Définition récurrente : En général u_n+1est exprimé en fonction de u_n sous la forme : un₊1= f u

( )

n où f est une fonction.

Remarque : on doit alors avoir une condition initiale du type u₀ =0.5 pour définir la suite de manière unique

Exercice I-2 : Calculer les 3 premiers termes de la suite u_n. Que dire de sa limite ?

→Inconvénient : pour calculer un terme, il faut calculer tout ceux d’avant. C’est long ! Et pour la limite, nous n’avons aucun résultat de ce type… pas encore en tout cas…

Pour les suites définies de manière récurrente, on cherchera donc à se ramener aux 2 suites connues, définies de manière explicites (quand c’est possible) : géométrique et arithmétique.

Voilà pourquoi ces deux suites ont un rôle particulier dans votre programme…

Exercice I-3 : Soit u est la suite définie par u0 = 1 et pour tout entier n, un+1 = 1

3 un +1 et v est la suite définie, pour tout entier n, par vn = un − 3

2 .

1. Montrer que v est géométrique et en déduire l’expression de un en fonction de n.

2. En déduire la limite de un.

Ex : 6

n 1

u = +n ,

2 2 1

n 3 v n

n

= −

+ , sin( ) 3

wn = n + ,…

Ex : ¹

0

4 1

1

n n

u u

u

+ = −



=

 , ¹

0

2 1

1 1

n n

n

v v v v

+

−

 =

 +

 =



• Exemples d’autres définitions :

> à l’aide de relation de récurrence de plus haut degré : u_n+1 =u_n+u_n−1, u₀ =0, u₁ =1(suite de Fibonacci),

> à l’aide de somme 1 ^{1 1} ... ¹ 2 3 vn

= + + + +n (série harmonique) ,

> à l’aide de produit ^{wn = × × × ×1 3 5 ...}

(

²ⁿ⁺¹

)

^…

Exercice I-4 : 1. Exprimer v_n (ci-dessus) à l’aide du symbole Σ. 2. Calculer v v v₁, ₂, ₃

3. Exprimer v_n+1 à l’aide de v_n et en déduire le sens de variation de la suite.

Rappels :

Rappelons maintenant, à travers un exemple, l’intérêt des quantificateurs et de leurs positions dans les assertions mathématiques : ∀(quelques soit), ∃(il existe).

Remarque : la limite d’une suite n’a de sens que quand n tend vers +∞^.

• La suite

( )

^un est majorée s’il existe un réel M qui domine tous les termes de la suite. M est alors un majorant.

Ecriture mathématique : ∃ ∈M ^ℝ/∀ ∈n ^ℕ,u_n≤M .

• La suite

( )

un est minorée s’il existe un réel m dominé par tous les termes de la suite. m est alors un minorant.

Ecriture mathématique : ∃ ∈m ^ℝ/∀ ∈n ^ℕ,m≤u_n.

• Une suite est bornée si elle est minorée et majorée.

Exercice I-5 : 1. Nier la phrase «

( )

^un est majorée ». L’écrire mathématiquement.

2. Prouver, à l’aide de la définition, que la suite de terme général u_n =n²est non majorée.

II. Convergence.

Définition : On dit que la suite

( )

un converge (vers le réel a) lorsque :

« Pour tout intervalle I centré en a, aussi petit soit il (l’intervalle), il existe un rang N à partir duquel tous les termes de la suite sont dans I ». On note lim _n

n u a

→∞ = .

Ecriture avec quantificateurs : ∀ > ∃ ∈ε 0, N ^ℕ tel que ∀ ≥n N,− ≤ε u_n− ≤a ε. Exemple II-1 : soit u_n ¹ 3

= +n pour n≥1. A l’aide de la définition, déterminer la limite de la suite u.

Rassurons nous, cette définition de limite ne sera que peu utilisée en terminale.

A l’aide des limites de suite de référence et des théorèmes de la partie IV, nous pourrons conclure la plupart du temps.

Remarque/Conséquence : Lorsqu’une suite converge, sa limite est unique.

III. Divergence.

Définition : Lorsqu’une suite ne converge pas, on dit qu’elle diverge.

Il y a deux façons de diverger : tendre vers l’infini ou ne pas avoir de limite finie ou infinie.

Définition :

On dit que la suite

( )

un tend vers +∞lorsque pour tout réel A, il existe un rang à partir duquel la suite dépasse A. On note lim _n

n u

→∞ = +∞.

Ecriture avec quantificateurs : ∀ ∈ ∃ ∈A ^ℝ, N ^ℕ/∀ ≥n N A, ≤u_n. De même, on dit que la suite

( )

un tend vers −∞...

Remarque : le nombre u_ndevient aussi grand qu’on le désire.

Attention : Il existe des suites qui n’admettent pas de limite finie ou infinie.

Par exemple, un= −

( )

^{3 ;n} un =^{sin( )...}n sont divergentes mais sans limite.

Bilan :

Important : Toute suite est soit convergente, soit divergente.

• Elle converge lorsqu’elle a une limite finie (cad un nombre réel). Ex : u_n =1/n.

• Sinon, elle diverge : elle peut tendre vers l’infini (u_n =n²) ou n’avoir aucune limite (un =^{cos( ),}n un = −

( )

¹ⁿ).

Exercice II-3 : Répondre aux affirmations suivantes par vrai ou faux, en justifiant par une démonstration ou un contre-exemple.

1. Toute suite est croissante ou décroissante.

2. Toute suite est majorée ou minorée.

3. Toute suite est positive ou négative.

4. Une suite qui tend vers 0 est croissante ou décroissante.

IV. Propriétés de convergence (CAPITAL)

Rappel/Méthode : Pour étudier la monotonie de la suite

( )

un , on étudie le signe de u_n+1−u_n. Il y a principalement 4 résultats de convergence (à connaître par cœur).

Résultat 1 : Toute suite croissante non majorée (resp. décroissante non minorée) tend vers ^+∞

(

^{resp.− ∞}

)

^.

Exercice III-2 : 1. Donner l’exemple d’une suite croissante qui ne tend pas vers +∞. 2. Donner l’exemple d’une suite non majorée qui ne tend pas vers +∞.

Résultat 2 (démo admise, H.P.) : Toute suite croissante majorée (resp. décroissante minorée) converge.

Remarque : ce théorème est non constructif. Cela signifie qu’on sait que la limite existe, mais ce théorème ne permet pas de dire ce qu’elle vaut.

Exercice III-3 :

1. Pourquoi ne peut on pas affirmer que :

« si une suite est croissante majorée par M alors elle converge vers M » ?

2. On définit la suite u_n par « l’unité de u_n est 0, sa partie décimale est composée des n premiers nombres premiers » . Par exemple : u₀ =0.2 ;u₁ =0.23 ;u₂ =0.235 ;u₃ =0.2357 ;u₄ =0.235711 ;....

Prouver que cette suite converge.

Résultat 3: Théorème des gendarmes :

Supposons qu’à partir d’un certain rang a_n≤u_n≤b_n et que lim _n lim _n

n a n b l

→∞ = →∞ = . Alors la suite

( )

un converge et sa limite est l.

Exercice III-4 (à faire) Soit

( )

un définie par ₂

1 n 1

n k

u = n k

=

∑

+ , n non nul.

1. Calculer les trois premiers termes de la suite. Conjecturer la limite de

( )

un (à la calculette).

2. Prouver que pour tout 1 , ₂¹ ₂¹ ₂¹ k n 1

n n n k n

≤ ≤ ≤ ≤

+ + + .

3. En déduire que _{2 2}

n 1

n n

n n≤u ≤ n

+ + .

4. Déterminer la limite de la suite.

Résultat 4 (admis/facile) : Supposons qu’à partir d’un certain rang u_n ≤v_n. 1. Si lim _n

n u

→∞ = +∞ alors lim _n

n v

→∞ = +∞. 2. Si lim _n

n v

→∞ = −∞ alors lim _n

n u

→∞ = −∞.

3. Si les 2 suites convergent respectivement vers l et l’ alors l≤l'.

Un support utile tout le long du cours est l’animation sur les suites du site (définition, convergence…) : http://mathemitec.free.fr/animations/comprendre/suites-base/index.php

Fiche Exo Corrigé

I. Suites arithmétiques et géométriques.

1. Calculer : A = 1 + 3 + 5 + … + 301 et B = 1 + 1 3 + 1

9 + 1

27 + … + 1 6561 .

2. Le 6ième terme d’une suite géométrique de raison −3 est 243. Quel est le 11ième terme ? 3. Lesquelles de ces suites sont arithmétiques ? géométriques ? ni l’un ni l’autre ?

∀n∈IN, a. u_n = 5 + n b. u_n = 7 + n² c. ^{un =8}

( )

^{2 n−1 d. un+1 −un = 1}₂^un

4. Pour effectuer un forage, une entreprise présente le devis suivant :

Le 1ier mètre coûte 100 (unité monétaire non précisée), le 2ième coûte 120, le 3ième coûte 140 et ainsi de suite.

a. Combien coûtera un forage de 25 m ?

b. Quelle profondeur atteindra−t−on si on dispose d’un budget de 13 120.

5. u est la suite définie par u₀ =0et ₁ 2 3 4

n n

n

u u

+ u

= +

+ . v est la suite définie par : ∀ n∈IN, 1 3

n n

n

v u u

= − + a. Montrer que v est géométrique.

b. En déduire v puis _n u en fonction de n. _n c. En déduire la limite de u quand n → +∞

II. Etudier la convergence des suites suivantes.

Déterminer la limite de la suite u dans les cas suivants : a. u = 1 + _n 1 4 + 1

4² + … + 1

4ⁿ b. ( 1)

1

n

un

n

= −

+ c. u = _n 2n- 1 3n d. u = _n cos n

n² e. ¹

0

1 3

n n

u u

u

+ = −



 = (raisonner par l’absurde)

III. Suites définies par une somme.

1. Ecrire à l’aide du symbole Σ : A = 2 + 3 + … n et B = 2×3 + 3×4 + … + 50×51.

2. Calculer les 4 premiers termes de la suite dans les cas suivants : a. u = 1 − _n 1 2 + 1

3 − 1 4 + … +

( 1)ⁿ1

n

− −

b. u = 1×2 + 2×3 + … + n(n+1) c. _n u = 1 + 3 + 5 + … + (2n+1) _n 3. u et v sont les suites définies pour tout entier naturel non nul, par :

u = n 1

1+ n + 2

1+ 2n + 3

1+ 3n + … + n

1+n et v = _n 1 1+n² + 2

2+n² + … + n n+n² a. Démontrer que pour tous les entiers naturels n et k tels que 1 ≤ k ≤ n, on a 1

1+ kn ≥ 1 1+n . b. En déduire que u ≥ n/2 et déterminer la limite de (_n u ). _n

4. a. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, ½ ≤ v ≤ _n n(n+1) 2(n²+1) . b. En déduire que la suite (v ) est convergente et préciser sa limite. _n

IV. Qui a raison ??.

On pose

(

²⁰

)

²

20

50 2500

( )

x

f x x

+ −

= .

1. A l’aide de la calculatrice (tableau de valeur ou lecture graphique), donner une valeur approchée de f(x) près de 0.

Conjecturer la limite de f en 0.

2. a. En développant

(

^50+x20

)

², simplifier f(x).

b. En déduire la limite de f au voisinage de 0.

3. Conclure

Corrigé des exercices et démonstrations Solution Exercice I-1. u₁=7, u₂ =4et u₃ =3. Un calcul direct donne lim _n 1

n u

→+∞ = . Solution Exercice I-2. u₁=3, u₂ =11et u₃ =43.

Quant à la limite, même si on peut conjecture que cette suite diverge vers +∞, aucune calcul direct ne permet de le prouver.

Solution Exercice I-3.

1. Pour montrer qu’une suite est géométrique, on prouve que le quotient ^{n 1}

n

v v

+ est indépendant de n.

On a

1 1

1 3

1 3

3 1

1

3 2

3 2

2

3 3 3 3

2 2 2

n n n

n n

n n n

u u v u

v u u u

+ +

 

+ − −

−  

 

= = = =

− − −

: donc v est bien géométrique.

Par conséquent, ₀ ¹ 3

n

vn v  

=  

  e comme ³

n n 2

u =v + on obtient ₀ ^{1 3}

3 2

n

un v  

=   +

  . 2. Comme 1 ¹ 1

− < <3 , lim ¹ 0 3

n n→+∞

  =

   et donc la suite u tend vers ³ 2. Solution Exercice I-4.. On a 1 ^{1 1} ... ¹

2 3

vn

= + + + +n . 1. Par définition du symbole Σ, on a :

1 n 1

n k

v =

∑

₌ k^. 2. On a

1 1

1

1 1

k

v =

∑

₌ k = ^,

1 2 2

1 1

1 2

k

v =

∑

₌ k = + ^et 3 ³ 1

1 1 1

1 2 3

k

v =

∑

₌ k = + + ^.

3. Vu que v_n+1 est une somme de 1 à n+1, on est forcément passé par k = n ! Ainsi

1 1

1

1 1 1 1 1

1 ...

2 1 1

n

n n

k

v v

k n n n

+ +

=

= = + + + + = +

+ +

∑

^.

Par conséquent, ₁ ¹ 0

n n 1

v v

+ − = n >

+ donc la suite est croissante.

Solution exercice I-5.

1. Remarquons déjà que le contraire de majoré n’est pas minoré…

Dire qu’une suite est majorée, c’est dire que « il existe une constante M telle que tous ses termes sont sous M ».

Par conséquent, dire qu’une suite est non majorée, c’est dire « qu’il n’existe pas de constante M qui domine tous les termes de la suite », autrement dit, « pour tout M, il existe un terme de la suite qui dépasse M ».

Mathématiquement, une suite est non majorée si : « ∀ ∈ ∃ ∈M ℝ, N ℕ tel que u_N >M ».

Vous aurez peut être remarqué que ^NON

( )

^{∀ = ∃ et que NON}

( )

^{∃ = ∀}

2. Vérifions que ∀ ∈ ∃ ∈M ℝ, N ℕ tel que N² >M : soit donc M un réel quelconque.

→si M est négatif, n’importe quel rang N convient.

→si M est positif, il suffit de choisir pour N un entier supérieur à M . La définition de suite non majorée est donc vérifiée…

Solution Exemple II-1..

On sent bien que la suite va converger vers 3 : mais on doit utiliser la définition seulement pour le prouver…

Prouvons que u_n converge vers 3

Soit ε>0 un réel quelconque : on veut construire N tel que ∀ ≥n N,− ≤ε u_n − ≤a ε

Cad n N, ¹

ε n ε

∀ ≥ − ≤ ≤ Il faut donc que n ¹

≥ε : comme on n’est pas sûr que ¹

ε^∈ℕ, on va choisir pour N le plus petit entier au dessus de ¹

ε .

Dans ce cas, on aura bien n N, ¹ ε n ε

∀ ≥ − ≤ ≤ cad ∀ ≥n N,− ≤ε u_n− ≤a ε. La définition de limite est donc vérifiée…

Solution Exercice II-2.

Non !! Par exemple la suite u_n ¹

= −n est croissante mais elle converge vers 0.

Imaginez par exemple une fonction croissante dont la courbe admet une asymptote horizontale en l’infini…

Solution Exercice II-3.

1. Faux : la suite u_n =cos( )n est ni croissante, ni décroissante.

2. Faux : la suite un = −

( )

^{2 n} est n’est pas bornée.

3. Faux : la suite ^{un = −}

( )

^{2 n} convient encore !

4. Faux : penser par exemple à la suite de terme général u_n ^{cos( )n}

= n !

Démonstration III-1(piste). : On veut montrer que quelque soit le réel A choisit, A domine tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

Soit A un réel :

( )

^un n’est pas majorée (par A en particulier) donc il existe un rang N₀tel que

N0

A<u . Mais comme elle est croissante on a

0 0 1 0 2...

N N N

A<u <u ₊ <u ₊ ^et ∀ ≥n N0,A<u_n^.□ Solution Exercice III-2.

1.u_n ¹ 2

= − +n 2. un = −

( )

^{5 n}

Solution Exercice III-3.

1. Imaginons que l’affirmation soit vraie.

Alors une suite croissante majorée par M convergerait vers M : mais elle est aussi majorée par M+1.

Par le même raisonnement, elle converge aussi vers M+1. Absurde !! La limite d’une suite est unique…

L’affirmation est donc fausse.

2. Cette suite est croissante (un terme est égale au précédent plus un nombre positif) et majorée par 0.3 par exemple : donc elle converge. Vers quoi… c’est une autre histoire !

Démonstration Résultat 3 (piste). : Soit I un intervalle centré en l. I contient tous les termes des suites

( )

an et

( )

bn à partir d’un certain rang (là est la petite difficulté), par définition de la convergence de (a) et (b). Donc il contient ceux de

( )

un , à fortiori.

Solution Exercice III-4.

1. On a

1

1 2

1 1

2 1

1

k

u = ₌ k =

∑

+ ^,

1

2 2 2

2 2

1 1 1

1

2 2 2 2

k

u = ₌ k = +

+ + +

∑

^et _{2 2 2 2}

1 3 3

1 1 1 1

3 1 3

3 2 3 3

k

u = ₌ k= + +

+ + + +

∑

^.

2. Par hypothèse, 1≤ ≤k n donc

( )

^{0< 1+n2 ≤ +k n2 ≤ +n n2} : la fonction inverse étant décroissante sur

*

ℝ

+^{, on a} _n+¹_n^{2 ≤}_k+¹_n^{2 ≤}₁₊¹_n^{2 .}

3.La méthode est la suivante. On va écrire les n encadrements précédents, pour toutes les valeurs de k possibles.

2 2 2

1 1 1

1

1 1

k

n n n n

= → ≤ ≤

+ + +

2 2 2

1 1 1

2

2 1

k

n n n n

= → ≤ ≤

+ + +

…

2 2 2

1 1 1

1 1

k

n n n n

→ ≤ ≤

+ + +

..

2 2 2

1 1 1

1 k n

n n n n n

= → ≤ ≤

+ + +

Maintenant, on fait la somme de ces n encadrements. On obtient : ¹ ₂ ¹ ₂

n 1

n u n

n n n

× ≤ ≤ ×

+ + .

Or, en l’infini, la limite d’une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient de ses monômes de plus haut degré donc lim ₂ lim ₂ lim ¹ 0

n n n

n n

n

n n n

→+∞ = →+∞ = →+∞ =

+ .

D’après le théorème des gendarmes, la suite u tend vers 0.

Fiche Exo 01 - Indications/Corrigé.

1. A = 1+3+5+ … +301 = 1+301

2 ×151 = 22 801 et B = 1+1 3+ 1

9 + 1

27 + … + 1 6561 = (1

3)0+(1 3)1+(1

3)²+(1

3)3+ … +(1

3)8= 1 - (1/3)9 1 - 1/3

= 3/2(1 − (1/3)9)

2. u11 = u6 × q11−6 = 243×(−3)5 = −59 049

3. a. un = 5+n : un+1 − un = 5+n+1 − (5+n) = 1 donc u est arithmétique de raison 1

b. un = 7 + n² : u0 = 7, u1 = 8, u2 = 11 u1 − u0 ≠ u2 − u1 et u1/u0 ≠ u2/u1 donc ni arithmétique ni géométrique c. un = 8( 2)n−1 : un+1/un = 8( 2)n/8( 2)n−1 = 2 donc u est géométrique de raison 2

d. un+1 − un = ½ un ⇔ un+1 = 3/2 un donc u est géométrique de raison 3/2

4. Notons un le coût du nième mètre de forage. On sait que u1 = 100 et que u est arithmétique de raison 20

Le coût d’un forage de n mètres sera Cn = u1 + u2 + … + un . C1 = ½(u1 + un)×n avec un = 100 + (n−1)×20 = 80 + 20n donc Cn = (90+10n)n = 10n²+ 90n d’où C25 = 8 500

Pour quelle valeur de n a−t−on Cn = 13 120 ? Cn = 13 120 ⇔ 10n²+ 90n = 13120 ⇔ n²+ 9n − 1312 = 0

∆ = 81−4×(−1312)= 73²et donc n = (−9+73)/2 = 32 (n = (−9−73)/2 est impossible car n > 0)

5. u0 = 0 et un+1 = 2un +3

un +4. v est la suite définie par : ∀ n∈IN, vn = un -1 un +3 vn+1 = un+1 -1

un+1 +3 = 2un +3 - un - 4

un +4 × un +4

2un +3 +3un +12 = un -1

5un +15 = (1/5)vn donc v est géométrique de raison 1/5 et v0= −1/3 On en déduit que ∀n∈IN , vn = −(1/3)(1/5)n

vn = un -1

un +3⇔ vn(un +3)−(un −1) = 0 ⇔ un(vn −1) = −3vn −1 ⇔ un = 3vn +1

1 - vn car vn≠ 1 puisque vn < 0 donc un = -(1/5)n +1

1 + (1/3)(1/5)n 0 < 1/5 < 1 donc quand n → +∞, (1/5)n → 0 et un → 1

Limites de suites.

un = 1 + 1 4 + 1

4² + … + 1

4n = 1 - (1/4)n+1

1 - 1/4 = (4/3)(1 − (1/4)n+1)0 < ¼ < 1 donc (1/4)n+1 → 0 et un → 4/3 un = (-1)n

n + 1 : ∀n ∈IN, −1 ≤ (−1)n ≤ 1 et n+1 > 0 donc −1/(n+1) ≤ un ≤ 1/(n+1) or −1/(n+1) → 0 et 1/(n+1) → 0 donc un → 0

un = 2n- 1

3n = (2/3)n − (1/3)n 0 < 2/3 < 1 et 0 < 1/3 < 1 donc (2/3)n → 0 et (1/3)n→ 0 donc un → 0 un = cos n

n² : ∀n∈IN*, −1 ≤ cos n ≤ 1 et n²> 0 donc −1/n² ≤ un ≤ 1/n² or −1/n² → 0 et 1/n² → 0 donc un → 0

Suites définies par une somme.

1. A = 2 + 3 + … n = ²

i n

i

i

=

=

∑

B = 2×3 + 3×4 + … + 50×51 =

50

2

( 1)

i

i

i i

=

=

∑

× + 2. un = 1 − 1

2 + 1 3 − 1

4 + … + (-1)n-1

n u1= 1 ; u2= 1 − 1 2 = 1

2 ; u3 = 1 − 1 2 + 1

3 = 1 2 + 1

3 = 5/6 ; u4 = 1 − 1 2 + 1

3 − 1 4 = 5/6

−1/4 = 7/12

un = 1×2 + 2×3 + … + n(n+1) u1= 1×2 = 2 ; u2=1×2 + 2×3 = 8; u3 = 1×2 + 2×3 + 3×4 = 20 u4 =1×2 + 2×3 + 3×4 + 4×5

= 40

un = 1 + 3 + 5 + … + (2n+1) u1= 1+3 = 4 ; u2= 1+3+5 = 9 ; u3 = 1+3+5+7 = 16 ; u4 = 1+3+5+7+9 = 25

3. a. 1 ≤ k ≤ n ⇔ n ≤ kn ≤ n²(en multipliant par n qui est > 0)

⇔ n ≤ kn ≤ n (car x → x est croissante sur IR+)

⇔ 1+ n ≤ 1+ kn ≤ 1+n

⇔ 1 1+ kn ≥ 1

1+n on va écrire cette inégalité avec k = 1, puis k = 2, puis k = 3, etc … jusqu’à k = n On a alors : 1

1+ n ≥ 1 1+n , 2

1+ 2n ≥ 2× 1

1+n , 3

1+ 3n ≥ 3× 1

1+n , etc … jusqu'à n

1+n ≥ n × 1 1+n en ajoutant membres à membres ces inégalités, on obtient : un ≥ 1

1+n (1+2+3+ … +n) cad un ≥ 1

1+n × n(n+1)

2 soit un ≥ n/2 quand n → +∞, n/2 → +∞ on en déduit que un → +∞

b. 2+n² ≥ 1+n²donc 2

2+n² ≤ 2× 1

1+n² , 3+n² ≥ 1+n²donc 3

3+n² ≤ 3× 1

1+n² etc … jusqu'à n+n² ≥ 1+n²donc n

n+n² ≤ n× 1 1+n² En ajoutant membres à membres ces inégalités, on obtient : vn ≤ 1

1+n² (1+2+3+ … +n) soit vn ≤ n(n+1) 2(n²+1) D’autre part, vn+1 − vn = (n+1)²

(n+1)+(n+1)² qui est évidemment positif, donc v est donc v est minorée par son premier terme v0

= ½

pour tout entier n, ½ ≤ vn ≤ n(n+1)

2(n²+1) ; Quand n → +∞, n(n+1)

2(n²+1) se comporte comme n²/2n² soit ½ donc n(n+1) 2(n²+1) → ½ On en déduit que vn → ½