Répondre par « Vrai » ou « Faux », en justifiant la réponse.

Exercice N :1(03pts)

Répondre par « Vrai » ou « Faux », en justifiant la réponse.

1)  

 

4

sin tan( ) 1 2 lim tan( ) 1 2

x

x

 x



 



2) La suite   V n définie sur par :   ¹

1

n

V n

n

 

 est convergente vers 0.

3) Soit   U n la suite définie sur par : U ₀  0 et ₁ 1 2

n n

U _  U

 ^; n  0 ^, alors pour tout n on a :

cos 1

n 2 n

U 



 

     . ( On rappelle que : 1 cos 2   2

cos ( ) 2

a a

  )

Exercice N :2(07pts)

La figure ci-contre désigne la courbe ( 

_f

) d’une fonction f définie sur \ { 1}  .

Les droites d’équations respectives y   x 2 ^, 1

x   ^et y   1 sont des asymptotes à ( 

_f

) . 1) Par une lecture graphique :

a) Déterminer lim ( )

x f x

 ; lim ( )

x f x



lim ( )

x

x

 f x ; ( )

lim ( ) 1

x

f x

 f x  ^;

lim ( ) ( )

x fof x f x

  ;

( 1)

lim ( ) cos 1 1

( )

x

f x f x

 



   

      

   

 

. b) Déterminer l’image de l’intervalle

 ^{  , 1}  ^{par fof .}

2) Soit g la fonction définie sur par : g x ( )  {

( )

fof x 𝑠𝑖 𝑥 < −1

 

2 cos 1

x x



 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −1 a) Etudier la continuité de g en  1 .

b) Montrer que pour tout ^{x   }  ^1,  ^{on a : 2 ( ) 2}

1 g x 1

x x

  

  . En déduire lim ( )

x g x

 .

3) Dans la suite de l’exercice on admet que pour tout ^{x   }  ^{, 1}  ^{on a : ( )}

1 f x x

x

 

 ^. Montrer que pour tout ^{x   }  ^{, 1}  ^{on a : g x ( )  x .}

4) Soit h la fonction définie sur  ^{  , 1}  ^{par : ( ) 1} ₂

1

h x x

x

 

 ^.

2 3 4 5 6 7

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

2 3 4 5

-1

-2

-3

-4

-5

-6

0 1

1 y

Devoir de Contrôle N :1 Epreuve : Mathématiques Lycée Takelsa

Prof : Mourad Ziadi

Classe :4 ^ème Sc.Exp2 Date :12/11/2019 Durée :02h

(  _f )

a) Montrer que h est continue sur  ^{  , 1}  ^.

b) Montrer que h est strictement croissante sur  ^{  , 1}  .En déduire ^h   ^{  , 1}  

c) Montrer, alors que l’équation h x ( )  0 admet dans  ^{  , 1}  une unique solution  ; puis vérifier que  1.3   1.2 .

d) Montrer que 1 ³

( ) ( )

g  g 

   . Exercice N :3(05pts)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct  ^{O u v , ,}  . On considère les points A ,B et C d’affixes respectives z _A   1 i ; z _B  3  i 3 et z _C 2 2 e ^{i 12}



 .

1) a) Donner la forme exponentielle de chacun des nombres complexes z _A et  ^{1  i 3}  ^.

b) Vérifier que ^{z B }   ^{i 3 z A} . En déduire que z _A  z _B  z _C . c) Montrer que le quadrilatère OACB est un rectangle.

2) Dans la (figure 1) de l’annexe ci-jointe on a tracé le cercle  de centre O et de rayon 6 ^. a) Vérifier que B appartient à  , puis construire le point B.

b) Placer le point A et construire le point C.

3) Soit I le centre du rectangle OACB et G le centre de gravité du triangle OAI.

a) Montrer que ¹  

G 3 I A

z  z  z . En déduire ^{z G } ₆ ³  ^{3  i z}  ^{A .}

b) Déterminer, alors la forme exponentielle de z _G . Exercice N :4(05pts)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct  ^{O u v , ,}  . On désigne par M et M ' les points d’affixes respectives z  e ^{i }  i et z '  e ^{ i }  i ; avec 0,

2

 _{ } ^  ^ _

  ^.

1) a) Montrer que pour tout 0, 2

 _{ } ^  ^ _

  , les points M et M ' sont symétriques par rapport à l’axe   ^{O u , .}

b) Déterminer, alors l’affixe du point N pour que OMNM ' soit un losange.

2) a) Montrer que pour tous réels  et  on a : 2 cos ² 2

i i i

e e e

 

             ^{ } _ ^{  } _ ^.

b) Ecrire, alors z et z ' sous forme exponentielle.

3) a) Vérifier que ² '

i

z e z

 

  

 

 

 .

b) En déduire la valeur de  pour que OMNM ' soit un carré.

c) Construire le carré OMNM ' pour la valeur de  trouvée.

Annexe à rendre avec la copie

Nom………..Prénom :………..N° :………

(Figure 1) de l ’ exercice N :3

2 3 4 5

-1 -2

-3 -4

-5

2 3

-1

-2

-3

-4

0 1

1

x

y