Nom :
Groupe : 1MATHS2 DS n°1 BIS
Fonctions du 2nd degré Date : 15/10/2020 Note : … / 20
Evaluation des capacités
Je sais : Non Oui
Ré-appliquer les méthodes du cours sur des exercices contrôlés (EC) Dresser le tableau de variations d'une fonction polynôme du 2nd degré.
Résoudre des équations du 2nd degré.
Résoudre des inéquations du 2nd degré.
Déterminer la forme canonique d'un polynôme du 2nd degré.
Calculer et résoudre un problème modélisé à l'aide d'outils mathématiques.
Modéliser une situation à l'aide d'une fonction polynôme du 2nd degré (Bonus)
Exercice 1 : (EC) … / 10
1. Factoriser, si possible, les expressions suivantes :
a) b)
2. Dresser le tableau des signes de la fonction définie par = 3. Résoudre les inéquations suivantes.
a) ≤ b) ≤
Exercice 2 : … / 6
1. Dresser le tableau de variations de la fonction définie par = 2. Résoudre les équations et inéquations suivantes :
a) = b) >
Exercice 3 : … / 4
Une athlète lance un javelot à l'instant = . La hauteur atteinte par la pointe, à l'instant , est donnée par :
=
La hauteur est mesurée à partir du sol. Les longueurs sont exprimées en mètres, les durées en secondes.
1. a) Déterminer la forme canonique de .
b) En déduire au bout de combien de temps le javelot est le plus haut et la hauteur maximale atteinte.
2. Le javelot atteindra-t-il une hauteur de m ? de m ? 3. A quel instant le javelot retombera-t-il au sol ? Arrondir au
dixième.
Exercice 4 : (Bonus) … / 3
Les portes d'entrée du palais Güell, construit à Barcelone par Gaudi, ont une forme que l'on peut modéliser par un arc de parabole * d'équation :
= où , et désignent des réels.
Paul veut connaître leur hauteur. Il mesure la largeur au sol de l'une des arches : m. De plus, lorsqu'il se place à m du seuil à partir d'une extrémité, sa tête frôle l'arche. Paul mesure m.
Calculer la hauteur de l'arche, selon ce modèle.
* La forme exacte est en fait celle d'un arc caténaire, plus « étiré » qu'une parabole, non modélisable en classe de première.
f
f f(x)
f(x)
0
-9x2+ 8 18x2¡12x+ 2
2x2¡4x+ 2,4
-2x2 + 5x 4 (x¡4)2 (-5x+ 2)2
-2x2+ 2x¡6
2x2¡3x¡9 9x2 ¡12x+ 4 0
h(t) t
h(t) -1
2x2+ 8x+ 2
32 t 0
h(t)
35
4 0,5
1,75 y a(t¡t1)(t¡t2)
a t1 t2
Correction du DS n°1 Exercice 1 : (EC)
1. Voir la correction de l'exercice 11 du cours.
2. Voir la correction de l'exercice 15 du cours.
3. Voir la correction de l'exercice 16 du cours.
Exercice 2 :
1. Dresser le tableau de variations de la fonction définie par = =
= = =
= = = = =
= < On en déduit le tableau de variations suivant :
-∞ +∞
2. Résoudre les équations et inéquations suivantes :
a) =
∆ = = = =
On en déduit que l'équation admet deux solutions :
= = = = =
= = =
L'ensemble des solutions est S = { ; }
b) >
∆ = = = =
On en déduit une unique racine : = = =
= >
Donc le polynôme est strictement positif sur R\{ }. L'ensemble des solutions est S = R\{ }.
Exercice 3 : Une athlète lance un javelot à l'instant = .
La hauteur atteinte par la pointe, à l'instant , est donnée par : =
La hauteur est mesurée à partir du sol. Les longueurs sont exprimées en mètres, les durées en secondes.
1. a) Déterminer la forme canonique de . = = = .
= = = =
Donc = =
b) En déduire au bout de combien de temps le javelot est le plus haut et la hauteur maximale atteinte.
= et =
On en déduit que le javelot sera le plus haut au bout de s. La hauteur maximale atteinte sera de m.
2. Le javelot atteindra-t-il une hauteur de m ? de m ?
La hauteur maximale atteinte est = > 32. On en déduit que le javelot atteindra la hauteur de m.
En revanche, < donc le javelot n'atteindra pas les m de hauteur.
f f(x) -x2+x+ 4 f(x)
a 0
x 1
2 f(x)
® -b 2a
1 2
¯ f(1 2)
b2¡4ac
-2x2+ 2x¡6 -2
-4
-2£(1
2)2+ 2£ 1
2 ¡6 -2
4 + 1¡6 -1 2 + 2
2 ¡ 12 2
-11 2
-11 2 -2
2x2¡3x¡9 0 9x2¡12x+ 4 0
(-3)2¡4£2£(-9) 9 + 72 81
x1
-b+p
¢ 2a
3 +p 9 4
3 + 3 4
6 4
3 2 x2
-b¡p
¢ 2a
3¡3
4 0
0 3 2
b2¡4ac (-12)2¡4£9£4 144¡144 0
x0
-b 2a
12 18
2 3 0
9 a
9x2¡12x+ 4 2
3
2 3
h(t) t
h(t) -1
2x2+ 8x+ 2
® -b 2a
-8 -1 8
h(t)
¯ f(8) -1
2 £82+ 8£8 + 2 -32 + 64 + 2 34 h(t) a(x¡®)2+¯ -1
2(x¡8)2+ 34
8 32
® 8 ¯ 34
34
¯ 34 32
35
¯ 35 35
t 0
3. A quel instant le javelot retombera-t-il au sol ? Arrondir au dixième.
On résout = ⇔ =
∆ = = = = >
On en déduit que l'équation admet deux solutions distinctes :
= = ≈
= = ≈
L'ensemble des solutions est S = { ; }.
On en déduit que le javelot retombera au sol au bout de s.
Exercice 4 :
Les portes d'entrée du palais Güell, construit à Barcelone par Gaudi, ont une forme que l'on peut modéliser par un arc de parabole * d'équation :
= où , et désignent des réels.
Paul veut connaître leur hauteur. Il mesure la largeur au sol de l'une des arches : m. De plus, lorsqu'il se place à m du seuil à partir d'une extrémité, sa tête frôle l'arche. Paul mesure m.
Calculer la hauteur de l'arche, selon ce modèle.
La largeur au sol de chaque porte est m.
On en déduit les abscisses des points d'intersection de l'arc de parabole avec l'axe des abscisses : = et =
Ainsi, l'arc de parabole a pour équation = = =
De plus, on sait que lorsque Paul se situe à m du seuil depuis une extrémité, sa tête frôle l'arche à m de hauteur. Ainsi, lorsque = on a =
On en déduit l'équation = ⇔ = ⇔ = =
Finalement, l'arc de parabole a pour équation : = = On détermine les coordonnées du point le plus haut :
= = = .
= = =
Ainsi, la hauteur de l'arche est de m.
* La forme exacte est en fait celle d'un arc caténaire, plus « étiré » qu'une parabole, non modélisable en classe de première.
t1 0 t2
a(t¡t1)(t¡t2)
a
h(t) -1
2x2 + 8x+ 2
0 0
b2¡4ac
x1
x2
82¡4£(-1
2)£2 64 + 4 68 0 -8¡p
68 -1 -b¡p
¢ 2a -b+p
¢ 2a
-8 +p 68 -1
16,2 -0,2
-0,2 16,2
16,2
4 4
a(t¡0)(t¡4) at(t¡4)
0,5 1,75
0,5
x y 1,75
y y y
a£0,5(0,5¡4) 1,75 -1,75a 1,75 1,75 -1,75 -1 y -1t(t¡4) -t2+ 4t
¯
® -b 2a
-4 -2 2
- 22+ 4£2 -4 + 8 4 4
4 0,5
1,75 y a(t¡t1)(t¡t2)
a t1 t2
