Nom :
Groupe : 1MATHS1 DS n°2
Suites et 2nd degré Le : 26/11/2020 Durée : 2h Note : … / 20
Evaluation des capacités
Je sais : Non Oui
Ré-appliquer les méthodes du cours sur des exercices contrôlés (EC)
Modéliser une situation en définissant une suite par une relation de récurrence.
Déterminer la nature d'une suite.
Calculer / Résoudre un problème modélisé à l'aide d'une suite.
Conjecturer le comportement d'une suite lorsque tend vers + ∞.
Calculer / Résoudre un problème modélisé à l'aide d'une fonction polynôme du 2nd degré.
Dresser / Interpréter le tableau de variations d'une fonction du 2nd degré.
Dresser / Interpréter le tableau de signes d'une fonction du 2nd degré.
Exercice 1 : (EC) … / 10
1. w est la suite définie sur N par = .
a) A l'aide de la calculatrice, donner les quatre premiers termes.
b) Démontrer que la suite ( ) est croissante à partir du rang = .
Indication : Déterminer, pour tout entier naturel , le signe de .
2. On considère la suite arithmétique ( ) dont chaque terme s'obtient grâce à l'algorithme suivant :
a) Déterminer la formule explicite de .
b) En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit entier naturel tel que > . c) Modifier la fonction Python précédente afin qu'elle réponde à la question précédente.
3. v est la suite géométrique de raison négative telle que = 9 et = 729. a) Rappeler l'expression de en fonction de .
b) En déduire l'expression de en fonction de puis calculer la raison et le premier terme de la suite.
c) Déterminer le sens de variation de la suite ( ). Justifier.
4. Une maison est louée depuis exactement ans. La première année, le loyer mensuel s'élevait à €.
Puis, chaque année suivante, ce montant a augmenté de %. Calculer la somme totale, au centime d'euro près, représentant l'ensemble des loyers versés au cours de ces années.
Exercice 2 : Un futur employé reçoit deux propositions de salaire d'une entreprise : … / 5
• Proposition A : un salaire annuel de € la 1ère année puis chaque année une augmentation de €
• Proposition B : un salaire annuel de € la 1ère année puischaqueannéeuneaugmentationde % Pour tout entier naturel non nul, on note et les salaires annuels correspondant à la -ième année de travail, selon la proposition choisie. Ainsi, on note le salaire annuel initial s'il accepte la proposition A et celui s'il préfère la proposition B.
1. a) Exprimer, pour tout entier naturel non nul, en fonction de , puis en fonction de . b) En déduire la nature de la suite ( ) puis celle de la suite ( ).
2. On admet que, pour tout entier naturel non nul : = et =
a) Calculer et comparer et . Que peut-on en déduire, dans le contexte de l'exercice.
b) Comparer les salaires proposés la -ième année, selon la proposition acceptée.
c) Avec quelle proposition l'employé aura-t-il le meilleur salaire annuel au bout de 12 ans ? 3. Est-ce la proposition qu'il a intérêt de choisir s'il reste 13 ans dans l'entreprise ? Justifier.
Indication : vous comparerez la somme des salaires versés selon la proposition choisie.
4. En utilisant la calculatrice et en visualisant la table des valeurs des suites ( ) et ( ) conjecturer le comportement de ces suites lorsque tend vers +∞.
wn
wn
wn+1¡wn n
n
v5 v9
vn
vn
v9
v5 q
un
un
n
un 500 n
20 000 800
20 000 3,5
1
3
An Bn n
n
n An+1 An Bn+1 Bn
n An Bn n
A1 B1
n An 19 200 + 800n Bn 20 000£1,035n¡1 A2 B2
An Bn
12
12
920 (n¡3)2+ 2
3
Exercice 3 : Une entreprise produit de la pâte à papier. … / 5 On note la masse, en tonnes, de la pâte produite.
L'entreprise est en capacité de produire entre et tonnes de pâte.
Le coût total de production, en euro, pour une quantité produite est : =
L'entreprise vend toute sa production à un prix de la tonne fixe.
L'activité est à l'équilibre pour la production et la vente de tonnes de pâte. Dans ce cas, les ventes compensent les coûts de production et l'entreprise ne réalise ni bénéfice ni perte.
1. a) Déterminer le coût total de production de t de pâte.
b) En déduire le prix de vente à la tonne.
2. On note le bénéfice réalisé suite à la vente de tonnes de pâte à papier et on admet que : =
a) Calculer et interpréter le résultat.
b) Dresser le tableau de variations de la fonction sur [ ; ].
En déduire le bénéfice maximal réalisable et la quantité de pâte à produire et vendre pour le réaliser.
3. a) Dresser le tableau de signes de la fonction .
b) Dans quel intervalle doit se situer la production pour que l'activité soit rentable ? q
q C(q) q2+ 632q+ 1 075
25 0 60
25
0 60 B
B B(60)
B(q) q
B(q) -100q2+ 6 200q¡43 200
Correction du DS n°2 Exercice 1 : (EC)
1. Voir la correction de l'exercice 3 du cours.
2. Voir la correction de l'exercice n° 21 p 31.
3. Voir la correction de l'exercice 6 du cours.
4. Voir la correction de l'exercice n° 37 p 32.
Exercice 2 : Un futur employé reçoit deux propositions de salaire d'une entreprise :
• Proposition A : un salaire annuel de € la 1ère année puis chaque année une augmentation de €
• Proposition B : un salaire annuel de € la 1ère année puischaqueannéeuneaugmentationde % Pour tout entier naturel non nul, on note et les salaires annuels correspondant à la -ième année de travail, selon la proposition choisie. Ainsi, on note le salaire annuel initial s'il accepte la proposition A et celui s'il préfère la proposition B.
1. a) Exprimer, pour tout entier naturel non nul, en fonction de , puis en fonction de . Avec la proposition 1, chaque année le salaire annuel augmente de € donc :
∀ ∈ N*, =
Avec la proposition 2, chaque année le salaire annuel augmente de % donc :
∀ ∈ N*, = = =
b) En déduire la nature de la suite ( ) puis celle de la suite ( ).
= = avec =
On en déduit que la suite ( ) est arithmétique de raison = .
= = avec =
On en déduit que la suite ( ) est géométrique de raison =
2. On admet que, pour tout entier naturel non nul : = et =
a) Calculer et comparer et . Que peut-on en déduire, dans le contexte de l'exercice.
= =
= = <
Ainsi, le salaire proposé la -ième est meilleur si l'employé accepte la proposition A.
b) Comparer les salaires proposés la -ième année, selon la proposition acceptée.
= =
= = <
Ainsi, le salaire proposé la -ième année est meilleur si l'employé accepte la proposition A.
c) Avec quelle proposition l'employé aura-t-il le meilleur salaire annuel au bout de 12 ans ?
= =
= = >
Ainsi, au bout de 12 ans, l'employé aura le meilleur salaire annuel s'il accepte la proposition B.
3. Est-ce la proposition qu'il a intérêt de choisir s'il reste 13 ans dans l'entreprise ? Justifier.
Indication : vous comparerez la somme des salaires versés selon la proposition choisie.
On note et les sommes des salaires versés selon la proposition choisie.
=
= avec =
= =
= =
= ≈
La somme des salaires versés reste (légèrement) supérieure si l'employé choisit la proposition A.
Les premières années c'est la proposition qui lui assure le meilleur salaire et, dans ce cas, il n'a pas intérêt à choisir la proposition B.
20 000 800
20 000 3,5
n An Bn n
A1 B1
An+1 An Bn+1 Bn
An Bn
n n An+1 An+ 800
800
n
3,5 Bn+1 Bn+ 3,5
100Bn Bn+ 0,035Bn 1,035Bn An+1 An+ 800
Bn+1 1,035Bn
An+r r 800 q£Bn q 1,035
An r 800
Bn q 1,035
A3 21 600
B3 20 000£1,0352 21 424 3
SA SB
SA A1+A2+A3 +...+A13 SB B1 +B2+B3+...+B13
SA 13£ A1+A13
2 A13 29 600
SA 13£ 20 000 + 29 600
2 322 400
SB B1 £ 1¡q13 1¡q
SB 20 000£ 1¡1,03513
1¡1,035 322 260
n An 19 200 + 800n Bn 20 000£1,035n¡1 A2 B2
A2 20 800
B2 20 000£1,0351 20 700 2 19 200 + 800£2
A2
3 19 200 + 800£3
A3
A12 20 000 + 800£11 28 800 B12 20 000£1,03511 29 199 A12
4. En utilisant la calculatrice et en visualisant la table des valeurs des suites ( ) et ( ) conjecturer le comportement de ces suites lorsque tend vers +∞.
La table des valeurs des suites ( ) et ( ) montre des valeurs qui ne cessent d'augmenter lorsque tend vers +∞ et finissent par dépasser n'importe quel nombre, aussi grand soit-il.
Il semble alors que les suites ( ) et ( ) divergent vers +∞.
Exercice 3 : Une entreprise produit de la pâte à papier.
On note la masse, en tonnes, de la pâte produite.
L'entreprise est en capacité de produire entre et tonnes de pâte.
Le coût total de production, en euro, pour une quantité produite est : =
L'entreprise vend toute sa production à un prix de la tonne fixe.
L'activité est à l'équilibre pour la production et la vente de tonnes de pâte. Dans ce cas, les ventes compensent les coûts de production et l'entreprise ne réalise ni bénéfice ni perte.
1. a) Déterminer le coût total de production de t de pâte.
= =
Le coût total de production de t de pâte s'élève à €.
b) En déduire le prix de vente à la tonne.
L'entreprise vend toute sa production à un prix de la tonne fixe et lorsqu'elle produit t de pâte son activité est à l'équilibre. Cela signifie que la vente de t de pâte lui rapporte le même montant que le coût total de production, c'est-à-dire €.
=
Ainsi, le prix de vente à la tonne s'élève à €.
2. On note le bénéfice réalisé suite à la vente de tonnes de pâte à papier et on admet que : =
a) Calculer et interpréter le résultat.
= =
Lorsque l'entreprise produit et vend t de pâte, elle est en déficit de €.
b) Dresser le tableau de variations de la fonction sur [ ; ].
En déduire le bénéfice maximal réalisable et la quantité de pâte à produire et vendre pour le réaliser.
=
= = =
= = =
= < On en déduit le tableau de variations suivant :
Le bénéfice maximal réalisable est de €. Il est atteint lorsque l'entreprise vend t de pâte.
q
0 60
q C(q) q2+ 632q+ 1 075
25
25
q B(q)
0 60 C(25) 252+ 632£25 + 1 075 17 500
17 500 25
25 25
17 500 17 500¥25 700
700
B(60)
60 B(60)
® -b 2a
¯
a 0
B B(q)
B(q)
q 0 60
B(q)
-31 200
31 200
-31 200 -43 200
-100q2+ 6 200q¡43 200
-100q2+ 6 200q¡43 200
-6 200 -200 31 B(31)
-100£602+ 6 200£60¡43 200
-100£312+ 6 200£31¡43 200 52 900 -100
31 52 900
52 900 31
An Bn
n An Bn
An Bn
n
3. a) Dresser le tableau de signes de la fonction . On résout =
=
∆ = = = >
On en déduit deux racines distinctes :
= = = = et = = =
S = { ; }
Le polynôme est du signe de = < , sauf entre ses racines. On en déduit le tableau de signes de :
– + –
b) Dans quel intervalle doit se situer la production pour que l'activité soit rentable ?
L'activité est rentable lorsque le bénéfice est positif, c'est-à-dire lorsque l'entreprise produit et vend entre et tonnes de pâte à papier.
B 0
0
O B(q) 0
b2¡4ac
O 0 x1
-b¡p
¢
2a x2
-b+p
¢ 2a
a 0 B
q B(q)
60 -100q2+ 6 200q¡43 200
6 2002¡4£(-100)£(-43 200) 21 160 000 -6 200¡p
21 160 000 -200
-6 200¡4 600
-200 54 -6 200 + 4 600
-200 8
8 54
-100
8 54
54
8
