MPSI B Année 2011-2012 Énoncé DM 12 29 juin 2019 Pour tout entier naturel n non nul, on dénit une fonction ϕ
ndans R par :
∀t ∈ R : ϕ
n(t) =
3n
4 (1 − n
2t
2) si t ∈
− 1 n , 1
n
0 si t 6∈
− 1 n , 1
n
Soit f une fonction continue (mais non nécessairement dérivable) de R dans R. Pour tout entier naturel n non nul, on dénit f
npar :
∀x ∈ R : f
n(x) = Z
n1−n1
ϕ
n(t)f (x + t)dt
1. a. Tracer l'allure du graphe d'une fonction ϕ
n.
Préciser la "régularité" de ϕ
n. (Où est-elle continue, dérivable ? Où la dérivée est elle continue, dérivable ? ... ).
b. Calculer
Z
n1−1n
ϕ
n(t)dt
2. a. En utilisant un changement de variable et diverses primitives, former une expres- sion de f
n(x) permettant de montrer que f
nest dérivable dans R.
b. Pour tout x réel, montrer que
f
n0(x) = 3n
32
Z
n1−n1
tf(x + t)dt
3. Pour tout réel x et tout entier naturel non nul n , on pose I
n(x) =
x − 1
n , x + 1 n
M
n(x) = max
u∈In(x)
|f(u) − f (x)|
a. Montrer que
|f
n(x) − f (x)| ≤ M
n(x)
b. Soit J un segment (intervalle de la forme [a, b] ) de R. Pour tout naturel non nul n , on note
K
n(J) = max
x∈J
|f
n(x) − f (x)|
Montrer que (K
n(J ))
n∈N∗converge vers 0 .
c. Soit x un réel xé. Que peut-on déduire de la question précédente relativement à la suite
(f
n(x))
n∈N∗
4. Soit x un nombre réel en lequel la fonction f est dérivable. On dénit une fonction R
xpar :
∀t ∈ R : f (x + t) = f (x) + tf
0(x) + tR
x(t)
a. Pour tout n naturel non nul, exprimer f
n0(x) en fonction de f
0(x) et de
Z
n1−n1
t
2R
x(t)dt
b. Montrer que (f
n0(x))
n∈N∗
converge vers f
0(x) .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
