Soit n un entier naturel non nul, montrer que 1 < 2 sin 1 puis que

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Exercice 1

Soit n un entier naturel non nul, montrer que 1 < 2 sin 1 puis que

n

X

k=0

cos 2k

≤ 2

Exercice 2

Soit m un nombre complexe non nul d'image M , soit P et Q les images des deux racines carrées de m . Quel est l'ensemble des points M tels que −−→

M P soit orthogonal à −−→

M Q .

Exercice 3

Déterminer l'ensemble des nombres complexes z tels que l'origine O soit l'orthocentre du triangle formé par les points d'axes z, z ² , z ³ .

Exercice 4

Soit r un nombre réel strictement positif et diérent de 1. Trouver un nombre complexe u et un réel R tels que

∀z ∈ C ^∗ , | 1

z − i| = r ⇔ |z − u| = R

Corrigé

Exercice 1

Comme ^π ₆ < 1 < ^π ₂ on a aussi ¹ ₂ < sin 1 ce qui montre l'inégalité demandée.

Soit S la somme de cosinus, c'est la partie réelle de 1 + e ²ⁱ + (e ²ⁱ ) ² + · · · + (e ²ⁱ ) ⁿ donc S = Re

1 − e ^2i(n+1) 1 − e ²ⁱ

= Re

e ⁿⁱ sin(n + 1) sin 1

= cos n sin(n + 1) sin 1

On peut alors majorer par 1 en valeur absolue le sin et le cos du numérateur et utiliser

1

2 < sin 1 .

Exercice 2

Notons p et q les axes de P et Q ; ce sont les racines carrées de m et vérient q =

−p, p ² = m . Les vecteurs −−→

M P et −−→

M Q sont orthogonaux si et seulement si

p − m

q − m ∈ i R ⇔ Re p − m q − m = 0

Or p − m

q − m = m − p

m + p = 1

|m + p| ² (m − p)(m + p) = 1

|m + p| ² (|m| ² − |p| ² + 2imp) Les deux vecteurs sont donc orthogonaux lorsque |m| ² − |p| ² = 0 .

Comme |m| = p

|m| , l'ensemble cherché est le cercle unité. La vérication est immédiate géométriquement.

Exercice 3

On identie les points et les complexes. Supposons que 0 soit l'orthocentre du triangle (z, z ² , z ³ ) on a alors

z − z ²

z ³ , z ² − z ³ z

z ³ − z z ² ∈ i R

Or z ³ − z

z ² = z − 1

z = z − z

|z| ² dont la partie réelle est

Re(z)(1 − 1

|z| ² )

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

MPSI B 29 juin 2019

On en déduit z ∈ i R ou |z| = 1 .

On peut exclure z ∈ i R car alors z ² est réel et ^z

^−z _z

= z − z ² n'est pas imaginaire pur. Il existe donc θ tel que z = e ^iθ et

z − z ² = e

(−2i sin θ 2 ) est imaginaire pur lorsque

sin 3θ 2 sin θ

2 = 0

Le cas ^θ ₂ ≡ 0(π) conduit à z = 1 à exclure car les trois points sont confondus. Le cas

3θ

2 ≡ 0(π) conduit z ∈ {1, j, j ² } . On vérie facilement que j et j ² conviennent.

Exercice 4

| 1

z − i| = 1 ⇔ |1 − iz| ² = r ² |z| ² ⇔ (1 − r ² )|z| ² − 2 Re(iz) + 1 = 0

⇔ |z| ² + 2 Re(z i

1 − r ² ) + 1

1 − r ² ⇔ |z + i

1 − r ² | ² − 1

(1 − r ² ) ² + 1 1 − r ² = 0

⇔ |z + i

1 − r ² | ² = r ² (1 − r ² ) ² On peut donc choisir

u = − i

(1 − r ² ) , R = r (1 − r ² )

On en déduit que l'image du cercle de centre i et de rayon 1 par l'inversion z → ¹ _z est le cercle de centre u et de rayon R .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

2