Les suites
Exercice 1 :
1) a) Pour tout entier naturel 𝑛 non nul , 1 + 2 + ⋯ + 𝑛 =
b) Calculer en détaillant : 𝑆 = 23 + 24 + 25 + ⋯ + 191 + 192
2) a) Si 𝑞 ≠ 1, pour tout entier naturel 𝑛 non nul, 1 + 𝑞 + 𝑞 + ⋯ + 𝑞 =
b) Calculer en détaillant : 𝑆 = 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − 32 + 64 − 128 + 256 − 512 + 1024
Exercice 2 :
Une société de distribution A voit son chiffre d’affaires augmenter tous les ans de 2,5 % depuis l’an 2000. Son chiffre d’affaires en 2000 a été de 710 k€ (1 k€ = 1 000 €). On note 𝑢 le chiffre d’affaires, exprimé en k€, de la société A en 2000 + 𝑛, donc 𝑢 = 710.
Pendant ce temps, à Véra Cruz, la société de distribution B voit son chiffre d’affaires baisser de 15 k€
tous les ans depuis l’an 2000. Le chiffre d’affaires de la société B en 2000 a été de 890 k€. On note 𝑣 le chiffre d’affaires, exprimé en k€, de la société B en 2000 + 𝑛, donc 𝑣 = 890.
1) a) Écrire 𝑢 en fonction de 𝑢 . En déduire la nature de (𝑢 ).
b) Écrire 𝑢 en fonction de 𝑛.
c) À l’aide d’une calculatrice, déterminer à partir de quelle année le chiffre d’affaires de la société A aura dépassé 850 k€.
2) a) Écrire 𝑣 en fonction de 𝑣 . En déduire la nature de (𝑣 ).
b) Écrire 𝑣 en fonction de 𝑛.
c) Déterminer, par le calcul, à partir de quelle année le chiffre d’affaires de la société B sera inférieur à 800 k€.
3) A l’aide d’une calculatrice, déterminer à partir de quelle année le chiffre d’affaires de la société A sera supérieur à celui de la société B.
Exercice 3 :
1) La suite (𝑢 ) est définie pour tout entier naturel 𝑛 par 𝑢 = 𝑛 − 3𝑛² + 2𝑛 + 5.
a) Calculer les quatre premiers termes de la suite (𝑢 ).
b) Existe-t-il un entier 𝑛 ≥ 3 tel que 𝑢 = 5 ? (on factorisera 𝑢 − 5)
2) La suite (𝑣 ) est définie pour tout entier naturel 𝑛 par 𝑣 = 5(𝑛 − 𝑛 + 1).
Déterminer, par une résolution d’équation, les valeurs de 𝑛 telles que 𝑢 = 𝑣 .
Exercice 4 :
1) (𝑢 ) est une suite dont les premiers termes sont 𝑢 = 10, 𝑢 = 8,7 et 𝑢 = 7,4.
a) Cette suite est-elle arithmétique ? Si oui quelle est sa raison ? b) Quelle est la valeur de 𝑢 ?
c) En utilisant une formule du cours, calculer 𝑢 .
d) Quel est le premier terme négatif de cette suite et quelle est sa valeur ?
2) (𝑣 ) est une suite arithmétique telle que : 𝑣 = 3 et 𝑣 = 30.
a) Déterminer la raison de cette suite.
b) En utilisant une formule du cours, calculer 𝑣 .
3) (𝑤 ) est une suite dont les premiers termes sont : 𝑤 = 100, 𝑤 = 80 et 𝑤 = 64.
a) Cette suite est-elle géométrique ? Si oui quelle est sa raison ? b) Quelle est la valeur de 𝑤 ?
c) En utilisant une formule du cours, calculer 𝑤 (arrondir au dixième).
d) Quel est le premier terme de cette suite inférieur à 10 et quelle est sa valeur ?
Exercice 5 :
Pour chacune des questions posées, une seule réponse est correcte.
Entourer la bonne réponse sur le sujet, aucune justification n’est demandée.
Exercice 6 :
Un volume constant de 2200 𝑚 d’eau est réparti entre deux bassins A et B.
Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d’équilibre thermique on crée un courant d’eau entre les deux bassins à l’aide de pompes.
On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :
• au départ, le bassin A contient 800 𝑚 d’eau et le bassin B contient 1400 𝑚 d’eau;
• tous les jours, 15% du volume d’eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A;
• tous les jours, 10% du volume d’eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B.
Pour tout entier naturel 𝑛, on note :
• 𝑎 le volume d’eau, exprimé en 𝑚 , contenu dans le bassin A à la fin du 𝑛-ième jour de fonctionnement;
• 𝑏 le volume d’eau, exprimé en 𝑚 , contenu dans le bassin B à la fin du 𝑛-ième jour de fonctionnement.
On a donc 𝑎 = 800 et 𝑏 = 1400.
1. Par quelle relation entre 𝑎 et 𝑏 traduit-on la conservation du volume total d’eau du circuit ? 2. Justifier que, pour tout entier naturel 𝑛,
𝑎 =3
4𝑎 + 330
3. L’algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de 𝑛 à partir de laquelle 𝑎 est supérieur ou égal à 1100.
Recopier et compléter les parties manquantes de cet algorithme.
Variables
𝑛 est un entier naturel 𝑎 est un réel
Entrée
Affecter à 𝑛 la valeur 0 Affecter à 𝑎 la valeur 800 Traitement
Tant que 𝑎 < 1100, faire : Affecter à 𝑎 la valeur ...
Affecter à 𝑛 la valeur ...
Fin Tant que Sortie Afficher 𝑛
4. Pour tout entier naturel 𝑛, on note 𝑢 = 𝑎 − 1320.
(a) Montrer que la suite (𝑢 ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
(b) Exprimer 𝑢 en fonction de 𝑛.
En déduire que, pour tout entier naturel 𝑛,
𝑎 = 1320 − 520 × 3
5. On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le même volume 4 d’eau. Proposer une méthode pour répondre à ce questionnement.
Exercice 7 :
On considère la suite (𝑢 ) définie par 𝑢 = 0 et, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢 = 𝑢 + 2𝑛 + 2.
1. Calculer 𝑢 et 𝑢 .
2. À l’aide d’un logiciel, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où 𝑛 figure en abscisse et 𝑢 en ordonnée :
𝑛 𝑢
0 0
1 2
2 6
3 12
4 20
5 30
6 42
7 56
8 72
9 90
10 110
11 132
12 156 0
20 40 60 80 100 120 140 160 180
0 2 4 6 8 10 12 14
(a) Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite (𝑢 ) ? Démontrer cette conjecture.
(b) La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l’existence de trois réels 𝑎, 𝑏 et 𝑐 tels que, pour tout entier naturel , 𝑢 = 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 + 𝑐.
Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 à l’aide des informations fournies.
3. On définit, pour tout entier naturel 𝑛, la suite (𝑣 ) par : 𝑣 = 𝑢 − 𝑢 .
(a) Exprimer 𝑣 en fonction de l’entier naturel 𝑛. Quelle est la nature de la suite (𝑣 ) ? (b) On définit, pour tout entier naturel 𝑛,
𝑆 = 𝑣 = 𝑣 + 𝑣 +··· +𝑣 Démontrer que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑆 = (𝑛 + 1)(𝑛 + 2).
(c) Démontrer que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑆 = 𝑢 − 𝑢 , puis exprimer 𝑢 en fonction de 𝑛.
Exercice 8 :
On considère la suite (𝑢 ) définie par 𝑢 = 2 et pour tout entier naturel 𝑛 par 𝑢 =1
5 𝑢 + 3 × 0,5 . 1. (a) A l’aide de la calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite (𝑢 ) approchées à 10 près :
𝑛 0 1 2 3 4 5 6 8 9
𝑢 2
(b) D’après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite (𝑢 ).
2. On se propose, dans cette question, de déterminer la limite de la suite(𝑢 ) . Soit (𝑣 ) la suite définie sur ℕ par : 𝑣 = 𝑢 − 10 × 0,5 .
(a) Démontrer que la suite (𝑣 ) est une suite géométrique de raison 1 5 . On précisera le premier terme de la suite (𝑣 ) .
(b) En déduire que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢 = −8 × 1
5 + 10 × 0,5 . (c) Déterminer la limite de la suite (𝑢 ) .
3. Recopier et compléter les lignes (1), (2) et (3) de l’algorithme suivant, afin qu’il affiche la plus petite valeur de 𝑛 telle que 𝑢 ≤ 0,01.
Entrée :
𝑛et 𝑢 sont des nombres Initialisation :
𝑛 prend la valeur 0 𝑢 prend la valeur 2 Traitement : (1) Tant que …
(2) 𝑛 prend la valeur … (3) 𝑢 prend la valeur … Fin Tant que
Sortie : Afficher 𝑛
