DM n°1 et 1 BIS : Fonctions du 2nd degré et paraboles

(1)

Nom :

Groupe : 1MATHS1

Devoir maison n°1

Fonctions du 2^nd degré et paraboles

à préparer pour le : 05 / 10 / 20

Exercice 1 : n° 22 p 259

Nom :

Groupe : 1MATHS2 Devoir maison n°1 BIS

Fonctions du 2^nd degré et paraboles à préparer pour le : 06 / 10 / 20 Exercice 1 : n° 22 p 259

Quelle est l'altitude maximale atteinte ?

(2)

Nom :

Groupe : 1MATHS1

Test du DM n°1

Fonctions du 2^nd degré et paraboles

Le : 05 / 10 / 20 Note : … / 10

Evaluation des capacités

Je sais : Non Oui

Déterminer les coordonnées du sommet d'une parabole.

Justifier le nombre de points d'intersection entre une parabole et l'axe des abscisses.

Justifier si une parabole coupe une droite d'équation = , où est un réel.

Modéliser un problème à l'aide d'outils mathématiques et y répondre.

………

Déterminer les coordonnées du sommet de p et en déduire le nombre de points d'intersection entre cette parabole et l'axe des abscisses.

y k k

(3)

Nom :

Groupe : 1MATHS2

Test du DM n°1 BIS Fonctions du 2^nd degré et paraboles

Le : 06 / 10 / 20 Note : … / 10

Evaluation des capacités

Je sais : Non Oui

Déterminer les coordonnées du sommet d'une parabole.

Justifier le nombre de points d'intersection entre une parabole et l'axe des abscisses.

Déterminer les coordonnées d'un point d'une parabole, son abscisse étant donnée.

Justifier si une parabole admet des points d'ordonnée donnée.

Modéliser un problème à l'aide d'outils mathématiques et y répondre.

………

Déterminer les coordonnées du sommet de p' et en déduire le nombre de points d'intersection entre cette parabole et l'axe des abscisses.

(4)

Correction des exercices des DM n°1 et 1BIS Exercice 1 : n° 22 p 259

p : = = = =

= = =

Donc p a pour sommet le point S ( ; ).

= > donc p est ouverte vers le haut.

Ainsi, le sommet S est le point le plus bas de p.

S appartient à l'axe des abscisses car son ordonnée vaut . On en déduit que c'est le seul point

d'intersection de p avec l'axe des abscisses.

p' : = = = =

= = =

Donc p' a pour sommet le point S' ( ; ).

= < donc p' est ouverte vers le bas.

Ainsi, le sommet S' est le point le plus haut de p'.

L'ordonnée de S' étant négative, on en déduit qu'il n'y a aucun point d'intersection entre p' et l'axe des abscisses.

p : = = = =

= = =

Donc p a pour sommet le point S ( ; ).

= < donc p est ouverte vers le bas.

Ainsi, le sommet S est le point le plus haut de p.

L'ordonnée de S est < .

On en déduit que p ne coupe pas la droite d'équation = .

Illustration graphique des paraboles de l'exercice 1 :

Illustration graphique de la parabole de l'exercice 2 : y x²+ 2x+ 1

-b

® 2a -2 2 -1

¯ (-1)²+ 2£(-1) + 1 1¡2 + 1 0 -1 0

a 1 0

0

y

® -b 2a

¯

a 0

-2x²+ 4x¡3 -4

-4 1

-2£1²+ 4£1¡3 -2 + 4¡3 -1 -1 1 -2

y

®

-x²+ 4x¡3 -b

2a

¯

-4 -2 2

- 2²+ 4£2¡3 -4 + 8¡3 1

a 0

2 1 -1

1 3 2 3

y 2

p

p '

(5)

Exercice 2 BIS : n° 24 p 260

1. p : = Si =

Alors = =

On en déduit que le point de p d'abscisse est le point A de coordonnées ( ; ).

2. = < donc p est ouverte vers le bas.

Son sommet S est donc le point le plus haut.

= = =

= =

<

On en déduit que la parabole n'admet aucun point d'ordonnée .

1. La fonction , définie sur [ ; +∞[ par

= ,

est une fonction polynôme du 2^nd degré.

Elle est représentée par une portion de parabole. Son sommet en est le point le plus haut car = < . On calcule son abscisse :

= = =

On en déduit que c'est au bout de s que le nombre de bactéries sera maximal.

2. = = =

Il est dit que le nombre de bactéries est donné en millier. On en déduit qu'au bout de s il y aura bactéries.

Remarque :

= =

Donc, initialement, il y avait bactéries.

Illustration graphique de la parabole de l'exercice 2 BIS : -3t²+ 69t+ 150

N N(t)

0

0 -3 a

¯

® -b 2a

-69

-6 11,5

11,5

N(11,5) -3£11,5²+ 69£11,5 + 150

¯ 546,75

11,5 546 750

N(0) -3£0²+ 69£0 + 150 150 150 000

y -3x²+x¡2 -1

x

-3£(-1)²¡1¡2 -3¡3 -6 -1 -1 -6 a -3 0

® -b 2a

-1 -6

1 6

¯

¯ -3£(1 6)²+1

6 ¡2 -3 36 +1

6 ¡2 -1

12+ 2 12¡24

12 -23

12 4

¯

4

(6)

Exercice 3 : n° 32 p 260 1. On se place dans le repère d'origine O tracé en vert. Dans ce repère, la parabole a pour

équation :

= ,

= = =

Ainsi, le sommet est atteint s après le début de l'impesanteur en O.

Ce qui suit aurait été évalué en tant que Bonus : Il reste à calculer le temps écoulé entre le moment où l'avion a amorcé sa trajectoire en forme de parabole et le début de l'impesanteur au point O.

=

On résout = Cela revient à résoudre :

=

∆ = =

∆ = >

L'équation admet donc deux solutions distinctes :

= = ≈

On en déduit que l'avion avait amorcé sa trajectoire parabolique s avant le début de l'impesanteur.

+ =

Ainsi, le sommet est atteint environ s après que l'avion a amorcé sa trajectoire en forme de parabole.

= = 700

Lorsque l'avion est en O il est déjà à m d'altitude. = .

Ainsi, l'altitude maximale atteinte est m.

2. Pour déterminer la durée de l'état

d'impesanteur, de O à F sur la figure, on résout =

Ce qui équivaut à : =

Or, un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

Donc = ou = = =

On en déduit que l'état d'impesanteur a duré s.

-4,48t²+ 112t y

® -b 2a

-112

-8,96 12,5

12,5

-4,48t²+ 112t 0 × F

t(-4,48t+ 112) 0

0

t -4,48t+ 112 0 t -112

-4,48 25

25

¯ -4,48£(12,5)²+ 112£12,5 8 000 + 700 8 700

8 000 8 700 6 300¡8 000 -1 700

-4,48t²+ 112t -1 700 -4,48t²+ 112t+ 1 700 0 b²¡4ac 112²¡4£(-4,48)£1 700 43 008 0

t1

-b¡p

¢ 2a

-112¡p 43 008

-8,96 35,6 t2

-b+p

¢ 2a

-112 +p 43 008

-8,96 -10,6 10,6

10,6 12,5 23,1

23