Terminale – option mathématiques expertes – 2020 / 2021 G3 – cours
Dans tout ce chapitre, on se place dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O ; Å u , Å v ).
1) Représentation graphique des nombres complexes A tout nombre complexe z = a + ib, on associe :
• un point M(a ; b) appelé le point image de z ;
• un vecteur Å w(a ; b) appelé le vecteur image de z.
Réciproquement :
• à tout point M(a ; b) du plan on associe un unique complexe z
M= a + ib appelé l’affixe de M ;
• à tout vecteur Å w(a ; b) du plan, on associe un unique complexe z
w= a + ib appelé l’affixe de Å w.
Exemple
z = 2 + 3i a pour point image M(2 ; 3) et pour vecteur image Å w(2 ; 3) = 2Å u + 3Å v . A( − 3 ; 1) a pour affixe z
A= − 3 + i. Å y(1 ; − 2) a pour affixe z
y= 1 − 2i.
Remarques
• Les points de l’axe (O ; Å u) sont ceux dont l’affixe est réelle ; cet axe est appelé l’axe des réels.
De même les points de l’axe (O ; Å v ) sont ceux dont l’affixe est imaginaire pur ; cet axe est appelé l’axe des imaginaires purs.
• Le plan (O ; Å u , Å v) est appelé le plan complexe.
• Si M est le point image d’un complexe z alors :
le pont image M
1de Ò z est le symétrique de M par rapport à l’axe des réel ; le pont image M
2de -z est le symétrique de M par rapport à l’origine O ;
le pont image M
3de –Ò z est le symétrique de M par rapport à l’axe des imaginaires.
o
M
A
2) Lien avec la géométrie analytique
Pour tous points A et B du plan complexe, d’affixes z
Aet z
B, pour tous vecteurs Å w et Ä w’ d’affixes z
wet z
w',
pour tout réel k,
1) L’affixe du vecteur Ä AB est z
B− z
A2) L’affixe du vecteur Å w + Ä w’ est z
w+ z
w'3) L’affixe du vecteur k Å w est k z
w4) Si I est le milieu du segment [AB] alors z
I= 2
B
A
z
z +
1) Soit A(x
A; y
A) et B(x
B; y
B) Alors Ä AB (x
B− x
A; y
B− y
A)
et z
AB= (x
B− x
A) + i(y
B− y
A) = (x
B+ iy
B) − (x
A+ iy
A) = z
B− z
A. 3) si Å w(x ; y) alors kÅ w(kx ; ky) donc z
kw= kx + iky = k(x + iy) = k z
w2 et 4) ASDL Exemple
3 + i, 2 − 2i, 2i et 1 + 5i sont les affixes respectives de quatre points A, B, C et D.
Montrer que ABCD est un parallélogramme.
Quelle est l’affixe du centre I du parallélogramme ABCD ?
Déterminer l’affixe du point E tel que ACDE soit un parallélogramme, et montrer que les points B, A et E sont alignés.
o
A C
D
I
• Ä AB a pour affixe :
z
B− z
A= (2 − 2i) − (3 + i) = − 1 − 3i.
Ä DC a pour affixe :
z
C− z
D= 2i − (1 + 5i) = − 1 − 3i.
Ainsi Ä AB = Ä DC
et ABCD est un parallélogramme.
• Son centre I est donc le milieu de [AC].
On en déduit que : z
I=
2
C
A
z
z + = 2
2 ) 3
( + i + i = 3
2 + 3 2 i.
• Soit zE l’affixe du point E.
ACDE est un parallélogramme , Ä AC = Ä ED
, z
C−z
A =z
D−z
E, z
E =z
D−z
C+ z
A =(1+5 i)
−2i +(
3+i )
=4+4i .
3) Module d'un nombre complexe
Définition
On appelle module du nombre complexe z = a + ib le nombre réel positif : b
z a z
z = =
2+
2Exemples
| 1+2i | = 1
2+2
2= 5 .
| 4−3 i | = 4
2+(-3)
2= 25 = 5.
| | -7 = | -7+0 i | = (-7)
2+0
2= 49 = 7.
| | 6 i = | 0+6i | = 0
2+6
2= 36 = 6.
Interprétation géométrique
• Si M( x ; y) est le point d’affixe z = x+ i y, alors z = x
2+ y
2= OM.
• Si A et B sont deux points d’affixes z
Aet z
B, alors z
B− z
Aest l'affixe du vecteur Ä AB .
Mais d'autre part si z
M= z
B−z
Aalors z
M− z
O= z
B− z
Aet donc Ä OM = Ä AB et M est la quatrième sommet du parallélogramme ABMO.
Ainsi | z
B−z
A| = | | zM = OM = AB.
On retiendra donc que :
Si z
Mest l'affixe d'un point M, alors | | z
M= OM.
Si z
Aet z
Bsont les affixes de deux points A et B, alors | z
B−z
A| = AB.
| | z
M| zB− z
A|
Exemple
Soit A, B et C les points d’affixes z
A= -2− i, z
B= 2+2i et z
C= 8−6i.
.
Montrons que le triangle ABC est rectangle en B.
AB = | z
B− z
A| = | 4+3 i | = 5 ; AC = | zC−z
A| = | 10−5 i | = 125 et BC = | zC− z
B| = | 6−8 i | = 100 .
− z
B| = | 6−8 i | = 100 .
Or d’une part AC
2= 125 et d’autre part AB
2+ BC
2= 25+100 = 125.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est donc rectangle en C.
Remarque : on pouvait aussi procéder sans calcul de longueur.
En effet Ä AB a pour affixe z
B− z
A= 4+3 i donc Ä AB
4 3. Ä BC a pour affixe z
C− z
B= 6−8i donc Ä BC
6 -8.
Mais alors Ä AB · Ä BC = 4×6+3×(-8) = 24−24 = 0 et donc (A B ) $ (BC ).
Le triangle A BC est donc rectangle en B.
Remarques
• Si x ∈ R , alors le module de x est égal à sa valeur absolue.
En effet, dans ce cas le module de x est | x+0 i | = x
2+0
2= x
2qui est bien la valeur absolue | | x de x.
Le fait que les deux notations coïncident est donc tout sauf un hasard : le module est l'extension à
C de la valeur absolue de R .
Formules algébriques Faisons un test.
Prenons z = 2+3i et z' = 4+i.
D'une part | | z = 2
2+3
2= 13 . D'autre part | | z' = 4
2+1
2= 17 .
• Mais zz ' = (2+3 i)(4+i ) = 5+14i .
Et | zz ' = 5 |
2+ 14
2= 25+196 = 221 .
Or on constate que | | z × | | z' = 13 × 17 = 13×17 = 221 . Ainsi | zz ' = | | | z × | | z' .
• Par contre z +z ' = (2+3 i)+(4+ i) = 6+4i . Donc | z +z ' = 6 |
2+4
2= 36+16 = 52 . Et | z +z ' | ' | | z + | | z ' .
• Cependant, | | Ò z = | 2−3 i | = 2
2+(-3)
2= 4+9 = 13 = | | z
• De même | | -z = | -2−3i | = (-2)
2+(-3)
2= 4+9 = 13 = | | z
• Enfin z
z' = 2+3 i
4+ i = (2+3 i)(4− i)
(4+i )(4−i ) = 11+10i 17 = 11
17 + 10 17 i . Donc
zz'
=
11 172
+
10 172
=
121 289+
100289
=
221289
=
17×13172
=
1317
= 13 17 = | | z
| | z ' .
D'où les règles suivantes qui généralisent ces exemples :
Pour tous nombres complexes z et z’, et pour tout naturel n, on a :
1) − z = z = z 2) zz ' = z × z ' 3) z
n= z
n4) ' z ' z z z =
5) z + z ' Â z + z '
1) M(z) et M’( z ) sont symétriques par rapport à O.
Donc OM = OM’ et ainsi z = z .
M(z) et N( − z) sont symétriques par rapport à l’axe (O ; Å u).
Donc OM = ON et ainsi z = − z .
2) | zz ′ | = zz’ = Ò z ׯ z’ = Ò z × ¯ z’ = | | z × | | z ′ 3) z
2= z × z = z × z = z
2etc.
Pour une démo « complète », voir par récurrence.
4) 1 = | | 1 = z'×
1
z'
= | | z' ×
1
z'
donc
1z'
= 1
| | z' . Mais alors
z z'=
z×
1z'
= | | z ×
1z'
