{ } vS10 Aest appelé axe hélicoïdal instantané ou axe de viration (∆).

(1)

I - SOLIDE INDEFORMABLE

A. Mouvement d'un milieu continu par rapport à un référentiel. Champ des vecteurs vitesses;

On considère le mouvement du solide S1 par rapport au repère R0. Chaque point M

∈ S1 possède une vitesse par rapport à R0 L'ensemble des vecteurs vitesses V₍M_∈S₁ R₀₎

>

−

constitue le champ des vecteurs vitesses du solide S1/R0.

Chaque point M ∈ S1 possède une

accélération par rapport à R0. L'ensemble des vecteurs accélérations ₍M∈S₁R₀₎

>

−

Γ−

constitue le champs des vecteurs accélérations de solide S₁/R0.

i1

x0

i i O

x1

y0 k

j

k1 Q1 z1

z0

j1

y1 M

B. Définition du solide indéformable, repères associés;

1. Solide réel

Il est important de définir correctement la notion de solide et d'appréhender les limites du modèle représentant les solides réels.

caractéristiques d'un solide réel:

Masse? constante mais érosion, usure, corrosion,...

Dimensions? constantes mais déformations locales de contact, élasticité du matériaux Evolution dans le temps: inconnu dans le temps.

Nous nous apercevons que le modèle que nous allons utiliser peut difficilement prendre en compte tous ces phénomènes.

Dans le cadre de la mécanique générale nous utiliserons le modèle du solide indéformable.

2. Solide indéformable

En mécanique générale, un corps solide est un ensemble de points matériels dont les distances mutuelles sont indépendantes du temps.

, B S1

A ∀ ∈

∀ AB

−−−−>

2 =

constante

Le solide indéformable est un solide possédant une masse constante et un volume dont les limites sont invariantes quelles que soient les actions extérieures.

On associe au solide S1 un repère .R1 nous choisirons comme axe du repère des axes caractéristiques du solide (axe de symétrie, axe de rotation, support d'une translation,...)

C. Equiprojectivité du champ des vecteurs vitesses d'un solide indéformable, torseur distributeur;

1. Equiprojectivité

soient A et B deux points d'un solide S1

28/10/03 Cinématique du solide page 1/8

(2)

AB⁻⁻⁻⁻^>− ² =cte, AB⁻⁻⁻⁻^>− • AB⁻⁻⁻⁻^>− =cte on a en dérivant par rapport au temps

0 2

2 ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

•⎡

•

=

>−

−

−−

>− −

−

−−

>− −

−

−−

−

dt d AB dt AB

d AB

on a aussi

0 0

0

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣ +⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

=⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⇒⎡ +

=

>

−

>

−

>

−

> −

−

>

−

>

−

dt d OB dt

d A dt

d AB OB

AO AB

0 0

0 ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

−⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

=⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⁻⁻⁻⁻⁻^> ⁻⁻⁻⁻⁻^> ⁻⁻⁻⁻⁻^>

dt d OA dt

d OB dt

d AB

donc ₍ ₁₀₎ ₍ ₁₀₎

0

A

B V

dt V

d ⁻AB⁻⁻⁻⁻^> =⁻⁻⁻⁻⁻^> −⁻⁻⁻⁻⁻^>

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

en effectuant le produit scalaire avec AB on obtient

>

−

( 10) ( 10) 0

0

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

•

⎥ =

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

•⎡ ⁻⁻⁻⁻⁻^> ⁻⁻⁻⁻⁻^> ⁻⁻⁻⁻⁻^>

>

−

> −

−

A

B V

AB V dt

d AB AB

x0 i i O

V(B 1/0)

B y0

k j z0

A

V(A 1/0) AB V(B10) AB V(A10)

>

−

> −

−

> −

−

> −

−

− • = •

Le Champ des vitesses est équiprojectif, c'est à dire que les projections du vecteur vitesse de deux point A et B sur la droite joignant ces deux points sont égales en valeur algébrique.

Cette propriété est très importante elle nous permettra de déterminer graphiquement la vitesse d'un point d'un solide connaissant la vitesse d'un autre point.

2. Torseur distributeur des vitesses de S1 par rapport à R0.

Le champ des vitesses d'un solide étant équiprojectif, ce champ est le champ des moments d'un torseur appelé torseur distributeur des vitesses de S1 par rapport à R0.

a) Etude des Torseurs

Voir fiche outil Torseur

b) Elément de réduction du Torseur distributeur des vitesses.

Nous recherchons une relation entre V₍A10

>

−

) et V₍B10₎

>

−

. nous avons montré que ₍ 10₎ ₍ 10

0

A

B V

V dt

d ⁻AB⁻⁻⁻⁻^> ⁻⁻⁻⁻⁻^> ⁻⁻⁻⁻⁻^>

−

⎥ =

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

), A et B étant deux points de S1 donc est un vecteur fixe de R1. Si le vecteur rotation de R

AB

>

−

1/R0 est , on peut donc écrire (dérivée d'un vecteur):

0 1/

Ω⁻⁻⁻⁻⁻^>

dt AB

d ⁻AB⁻⁻⁻⁻^> ⁻⁻⁻⁻⁻^> ⁻⁻⁻⁻⁻^>

∧ Ω

⎥ =

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

0 1/ 0

donc V₍_B ₎ V₍_A ₎ ⁻_AB⁻⁻⁻⁻^>

>

−

> −

−

>

−

− 10 − 10 = Ω₁_/₀ ∧

( ) V( ) AB

V_B _A ⁻⁻⁻⁻⁻^>

>

−

> −

−

>

−

− ₁₀ = ₁₀ + Ω₁_/₀ ∧

(3)

Cette relation est la relation caractéristique entre les vecteurs moments d'un torseur (Cf. fiche outil Torseur), le vecteur rotation Ω⁻⁻⁻₁⁻_/⁻₀^> est la résultante générale du torseur.

Le torseur distributeur des vitesses a donc pour éléments de réduction en A :

{ }

( )

0

0 1

0 1/ 0

1

A R A S A

v

V

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

= ⎧ Ω₋₋₋₋₋_>

>

−

3. Propriétés du torseur distributeur des vitesses S1/R0

L'axe central du torseur

{ } v

S¹⁰ _Aest appelé axe hélicoïdal instantané ou axe de viration (∆).

Un point P situé sur l'axe (∆) est tel que sa vitesse V₍P10

>

−

)est colinéaire à Ω⁻⁻⁻₁⁻_/⁻₀^> .

On peut définir le mouvement de S1/R0 comme étant la combinaison de deux mouvements: un mouvement de translation V₍_P₁₀

>

−

)//(∆) et un mouvement de rotation autour de (∆) de vecteur rotation Ω⁻⁻⁻₁⁻⁻_/₀^> .

D. Champ des vecteurs accélérations d'un solide.

A et B deux points d'un solide S1 en mouvement par rapport à R0 Nous avons entre les vitesses de A et de B par rapport à R0 la relation:

( ) V( ) AB

V_B _A ⁻⁻⁻⁻⁻^>

>

−

>

−

>

−

− ₁₀ = ₁₀ + Ω₁_/₀ ∧

en dérivant par rapport au temps on obtient

( ) ( )

0 0

/ 1

0 0 1

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ Ω ∧ +

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡ ⁻⁻⁻⁻⁻^> ⁻⁻⁻⁻⁻^> ⁻⁻⁻⁻⁻^> ⁻⁻⁻⁻⁻^>

dt d AB dt

dV dt

dVB A

( ) ( )

0 0

1/ 0

0 1/

0 0 1

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

∧⎡ Ω +

⎥ ∧

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣ +⎡ Ω

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡ ₋₋₋₋₋_> ⁻⁻⁻⁻⁻^>

>

−

>

−

> −

−

>

−

dt d AB dt AB

d dt

dV dt

dV_B _A

La dérivation composée nous permet d’écrire dt AB

d AB dt

d ⁻AB⁻⁻⁻⁻^> ⁻⁻⁻⁻⁻^> ⁻⁻⁻⁻⁻^> ⁻⁻⁻⁻⁻^>

Ω ∧

⎥ +

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

0 1/ 1 0

=

or 0

1

=r

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⁻⁻⁻⁻⁻^>

dt d AB

Car A et B sont fixes dans le repère lié au solide S1.

Ainsi la relation entre les vecteurs accélérations de deux points d’un solide s’écrit :

( ) ( ) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛Ω ∧

∧ Ω +

⎥ ∧

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣ +⎡ Ω

=Γ

Γ ⁻⁻⁻⁻⁻^> ⁻⁻⁻⁻⁻^> ⁻⁻⁻⁻⁻^> ⁻⁻⁻⁻⁻^>

>

−

> −

−

>

−

AB dt AB

d

A

B 1/0 1/0

0 0 / 1 0

1 0 1

Le champ des vecteurs accélération n'est pas équiprojectif. Ce n'est donc pas le champ des moments d'un torseur.

(4)

E. Composition des mouvements de solides indéformables 1. Notation

i1

x0

i i O

x1

y0 k

j

k1 Q1 z1

z0

j1

y1 M

a) Repères

R0 ( , , , ) repère fixe de référence

→

k j i O

R1 ) repère mobile par rapport à R

, , ,

( ₁ ₁ ₁

→

k j i Q

0

M un point de S mobile dans R1

b) Définition des mouvements

on appellera

Mouvement absolu: le mouvement de M par rapport à R0

Mouvement relatif: le mouvement de M par rapport à R1

Mouvement d’entraînement: le mouvement de M supposé attaché à R1 par rapport à R0. par définition

Vitesse absolue Vitesse relative Vitesse d’entraînement

( )

0

0 ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

=⎡

>

−

∈

>

−

dt d OM

V_M _S ₍ ₎

1 1

1 ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

=⎡

>

−

∈

>

−

dt M Q

V_M _S _R d ^V⁽^M^∈^R¹ ^R⁰⁾

>

−

accélération absolue accélération relative accélération d’entraînement

( ) ( )

0

0 0

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

Γ = ^∈

>

−

∈

>

−

dt dV_M _S_R

R S

M ( ) ( )

1

1 1

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

Γ = ^∈

>

−

∈

>

−

dt dV_M _S_R

R S M

(M∈R₁R₀)

>

−

Γ−

2. Compositions des vitesses

( )

0

0 ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

=⎡

>

−

∈

>

−

dt d OM

V_M _S_R avec OM OQ1 Q1M

>

−

>

−

> −

−

− = +

( )

0 1

0 ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣ +⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

=⎡

>

−

>

−

∈

>

−

dt M Q d dt

OQ

V_M _S_R d d'où ₍ ₎ ₍ ₎

0 1

0 1 1

0 ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣ +⎡

=

>

−

∈

>

−

∈

>

−

dt M Q V d

V_M _S _R _Q _R _R

la formule de dérivation composée nous donne

0 1

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⁻⁻⁻⁻⁻^>

dt M Q d

M dt Q

M Q d dt

M Q d

0 1 1/ 1 1

0

1−−−> −−−−−> −−−−−> −−−−−>

−

Ω ∧

⎥ +

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

=⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

donc : ₍ ₎ ₍ ₎ QM

dt M Q V d

V_M _S_R _Q _R _R ₁_/₀ ₁

1 1

0 1 1 0

>

−

> −

−

> −

−

∈

>

−

∈

>

−

− + Ω ∧

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣ +⎡

=

( ) V( ) V( ) QM

V_M _S_R _Q _R _R _M _S_R ₁_/₀ ₁

1 0

1 1 0

>

−

> −

−

∈

>

−

∈

>

−

∈

>

−

− = + + Ω ∧

(5)

( ) V( ) V( ) QM V_M _S_R _M _S_R _Q _R _R ₁_/₀ ₁

0 1 1 1 0

>

−

>

−

∈

>

−

∈

>

−

∈

>

−

− = + + Ω ∧

V absolue = V relative + V entraînement avec pour vitesse d’entraînement:

( ) V( ) QM

V_M _R _R _Q _R _R ₁_/₀ ₁

0 1 1 0 1

>

−

> −

−

∈

>

−

∈

>

−

− = + Ω ∧

3. Généralisation de la formule de composition des vitesses

Soit M appartenant à (S)mobile par rapport à R3 lui même mobile par rapport à R2 , mobile / R2 , mobile /R0.

(M S R₀) V(M SR₁) V(M R₁ R₀)

V _∈

>

−

∈

>

−

∈

>

−

− = +

(M S R₁) V(M SR₂) V(M R₂ R₁)

V _∈

>

−

∈

>

−

∈

>

−

− = +

(M S R₂) V(M SR₃) V(M R₃ R₂)

V _∈

>

−

∈

>

−

∈

>

−

− = +

on déduit des trois égalités

(M S R0) v(M S R3) v(M R3 R2) v(M R2 R1) v(M R1R0)

v _∈

>−

−

−−

−

∈

>−

−

−−

−

∈

>−

−

−−

−

∈

>−

−

−−

−

∈

>−

−

−−

− = + + +

4. Composition des Torseurs cinématiques.

Nous avons déjà démontré la relation de composition des vecteurs rotations.(chap. dérivation vectorielle).

Pour un solide S2 en mouvement par rapport à un repère R1 lui même en mouvement par rapport à un repère R0

0 1/ 1 2/ 0

2/ = Ω + Ω Ω⁻⁻⁻⁻^>− ⁻⁻⁻⁻^>− ⁻⁻⁻⁻^>− .

De la même manière pour tout point de S2 nous avons

(M S2 R0) v(M S2 R1) v(M R1R0)

v _∈

>−

−

−−

−

∈

>−

−

−−

−

∈

>−

−

−−

− = +

{ }

( )

{ }

( )

{ }

( )

donc a on

0 0

0 10

0 1/ 0

1 1

2 1 2/ 1

2 0

2 0 2/ 0

2

A R A S A A R

A S A A R

A S A

v v

v

v v

v

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

= ⎧ Ω

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

= ⎧ Ω

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

= ⎧ Ω ₋₋₋₋_>−

>−

−

−−

−

>−

−

−−

−

>−

−

−−

−

>−

−

−−

−

>−

−

−−

−

{ } { } { } v

^S^{2 0} _A ⁼

v

^S^{2 1} _A ⁺

v

^S^{1 0} _A

5. Composition des vecteurs accélérations.

Nous avons démontré la relation de composition des vitesses:

( ) v( ) v( ) QM

v_M _S _R _M _S _R _Q _R _R ₁_/₀ ₁

0 1 1 1 0

>−

−

−−

>− −

−

−−

−

∈

>−

−

−−

−

∈

>−

−

−−

−

∈

>−

−

−−

− = + + Ω ∧

Dérivons cette relation par rapport au temps dans R0.

( ) ( ) ( )

0 1 0

1/ 1

0 0 1/

0 0

0

0 1 1 1

0

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

∧⎡ Ω +

⎥ ∧

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣ +⎡ Ω

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡ +

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡ ⁻⁻⁻⁻^>− ₋₋₋₋_>− ₋₋₋₋_>− ⁻⁻⁻⁻^>−

∈

>−

−

−−

−

∈

>−

−

−−

−

∈

>−

−

−−

−

dt M Q M d

dt Q d dt

dv dt

dvM SR M S R Q R R

( )

d v dt

M S R

−−−−−>

∈ −−−−−>

∈

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

=

0

Γ accélération absolue

( ) ( )

( 1) ( 1)

1

1 ₁_/₀ dérivationcomposéede

1 0

R S M R

S M R

S

M v v

dt dv dt

dv

∈

>−

−

−−

−

∈

>−

−

−−

>− −

−

−−

∈ −

>−

−

−−

−

∈

>−

−

−−

−

∧ Ω +

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

(6)

( )

( ₁) accélération relative

1

R S M R

S M

dt dv

∈

>−

−

−−

∈ −

>−

−

−−

−

=Γ

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

( )

( 1 1 0)

0 1 1

0

R R Q R

R Q

dt dv

∈

>−

−

−−

∈ −

>−

−

−−

−

=Γ

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

( ) QM

M v dt Q

M Q d dt

M Q d

R S

M 1/0 1

0 1 1/ 1 1

0 1

1

>−

−

−−

>− −

−

−−

−

∈

>−

−

−−

>− −

−

−−

>− −

−

−−

>− −

−

−−

−

>−

−

−−

−

Ω ∧ +

= Ω ∧

⎥ +

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

=⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

en remplaçant dans la première équation

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + Ω ∧

∧ Ω +

⎥ ∧

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣ +⎡ Ω +Γ

∧ Ω Γ +

Γ = ⁻⁻⁻⁻^>− ⁻⁻⁻⁻^>− ⁻⁻⁻⁻^>− _∈ ⁻⁻⁻⁻^>− ⁻⁻⁻⁻^>−

>−

−

−−

−

∈

>−

−

−−

−

∈

>−

−

−−

>− −

−

−−

−

∈

>−

−

−−

−

∈

>−

−

−−

−

M v Q

M dt Q

v_M _S _R _Q _R _R d _M _S _R

R S R M

S

M 1 1/0 1/0 1

0 0 1/ 0

1/ ₁ ₁ ₁ ₀ ₁

1 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−−−−−>

∈

−−−−−>

∈

−−−−−> −−−−−>

∈

−−−−−>

∈

−−−−−>

−−−−−> −−−−−> −−−−−>

∈

−−−−−>

= + ∧ + +

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

∧ + ∧ + ∧

Γ Γ Ω Γ Ω

Ω Ω

M S R M S R v M S R Q R R d M S R

dt Q M v

0 1 1 0 1 1 1 0 1

1 0

0

1 1 0 1 0

/

/ /

⎛

⎝⎜

( 0) ( 1) ( 1 1 0) 1 1/0 1/0 1 1/0 ( 1)

0 0 /

1 2* _M _S_R

R R Q R S M R

S

M QM QM v

dt d

∈

>−

−

−−

>− −

−

−−

>− −

−

−−

>− −

−

−−

−

>−

−

−−

>− −

−

−−

−

>−

−

−−

−

∈

>−

−

−−

−

∈

>−

−

−−

−

∈

>−

−

−−

− ⎟+ Ω ∧

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛Ω ∧

∧ Ω +

⎥ ∧

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣ +⎡ Ω +Γ

=Γ Γ

( ) accélération d' entrainement

−−−−−>

∈

−−−−−>

−−−−−> −−−−−> −−−−−> −−−−−>

+

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ ∧ + ∧⎛ ∧

⎝⎜ ⎞

Γ Ω ⎠⎟

Ω Ω

Q R R

d

dt Q M Q M

1 1 0

1 0

0

1 1 0 1 0 1

/

/ /

( )accélération deCoriolis

*

2 ₁_/₀ v_M_∈_S_R₁

>−

−

−−

>− −

−

−−

− ∧

Ω

( ) ( ) ( ) ( )

Corriolis nt

entraineme relative

absolue

R S M R

R M R S M R

S

M v

Γ + Γ

+ Γ

= Γ

∧ Ω Γ +

Γ + Γ =

>−

−

−−

−

>−

−

−−

−

>−

−

−−

−

>−

−

−−

−

∈

>−

−

−−

>− −

−

−−

−

∈

>−

−

−−

−

∈

>−

−

−−

−

∈

>−

−

−−

−

1 0

1 1 1

0 2* 1/0

a) cas particuliers

*Si R1 en translation /R0:

0 0

1/

=r

Ω⁻⁻⁻⁻^>− alors =2* ₁_/₀ ₍ ₁ ₁₎ 0r

= Ω ∧

Γ⁻⁻⁻⁻Corriolis^>− ⁻⁻⁻⁻^>− ⁻⁻⁻v⁻^>−M_∈S R .

*Si ₍ ₎ 0

1 1

=r

∈

>−

−

−−

− R S

vM alors =0r

Corriolis

Γ⁻⁻⁻⁻^>− .

*Si ₍ ₎// ₁_/₀

1 1 Ω⁻⁻⁻⁻^>−

∈

>−

−

−−

− R S

vM alors =0r

Corriolis

Γ⁻⁻⁻⁻^>− .