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Vecteur vitesse d’un point

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

S YNTHÈSE : C INÉMATIQUE

Schématisation

Plan d’ensemble, dessin de définition, vue 3D, graphe de structure, tableau des liaisons et schéma cinématique

Schéma technologique Schéma architectural Schéma cinématique minimal

Dérivation vectorielle

"

d dt(#»u)

#

B0

=

"

d dt(#»u)

#

B1

+Ω#»(B1/B0)∧#»u

oùΩ#»(B1/B0)est appelévecteur rotation deB1par rapport àB0(B1/B0). On le note aussiΩ#»(1/0).

Figures de changement de base

Produits scalaires Produits vectoriels

#»x1.#»y1 =0 #»x1∧#»y1 = #»z1

#»x1.#»x2 =cosθ #»x1∧#»x2 =sinθ.#»z1

#»y1.#»x2 =sinθ #»y1∧#»x2 =−cosθ.#»z1

#»x1.#»y2 =−sinθ #»x1∧#»y2 =cosθ.#»z1

x1

y1

z2 z1

x2

y2

θ

Vecteur vitesse d’un point

On appelle vitesse de M à l’instantt dans le repère R(O,B), le vecteur défini par :

#»V(M/R) =

"

d dt

OM(t)# »

#

B

Vecteur accélération d’un point

On appelle accélération deMpar rapport à R(O,B), le vecteur défini par :

#»aM/R =

"

d dt

#»VM/R

#

R

= d2 dt2

"

# » OM

#

R

*

Champ équiprojectif

Un champ de vecteur est équiprojectif ssi∀(M,N) ∈ (ε)2, la relation suivante est vérifiée :

#»V(M).# »

MN= #»

V(N).# » MN

Champ de moments

Un champ de moment est un champ de vecteurs pour lequel qu’il existe un vecteurU#»tel que :

∀M,N∈(ε) #»

V(M)= #»

V(N)+ # » MN∧#»

U

MP - LYCÉECARNOT(DIJON) 1/4 CINÉMATIQUE

(2)

Théorème de Delassus

Champ équiprojectif⇔Champ de moment

Définition d’un torseur

Association d’un champ de moment#»

M(dépendant du point où on le calcule) et du vecteur résultant#»R(identique en tout point de l’espace) correspondant.

Il vérifie∀(A,B)∈(ε)2l’équation #»

M(B)

|{z}

B

= #»

M(A)

|{z}

A

+ # » BA

|{z}

BA

∧ #»

R

|{z}

R

R est appelé la résultante et # »

M(A)le moment en A. Ces deux vecteurs (les coordonnées pluckériennes) sont alors appelés les éléments de réduction du torseur enA. on note le torseur

T

comme suit :

T

=

A

( #»

#»R M(A)

)

=

A





Rx Mx(A) Ry My(A) Rz Mz(A)





(x,y,z)

Comoment de deux torseurs

On appelle comoment de deux torseursT1et T2, la quantité scalaire :

T1⊗T2= #»

R1.#»

M2(A)+ #»

R2.#»

M1(A)

Axe central d’un torseur

Ensemble des points I pour lesquels le champM#»est colinéaire à #»R.

Ensemble des pointsI ∈(ε)/∃λ∈R/#»

M(I) = λ.#»R (ou encoreM#»(I)∧#»R = #»

0 , avec #»R , #»

0 ) Iest alors appelé point central du torseur.

Torseur couple

Torseur dont la résultante est nulle : (

C )

=

A

( #»

#»0 M(A)

)

Torseur glisseur

Torseur dont le vecteur résultant est non nul (#»

R , 0) mais dont

l’automoment est nul.p

Champ de vecteurs vitesse d’un solide

SoientAetBdeux points d’un solideS.

#»V(B,S/R)= #»

V(A,S/R)+# »

BA∧Ω#»(S/R)

Champ de vecteurs accélération d’un solide

SoientAetBdeux points d’un solideS. #»

A(B,S/R)=. . .

. . .#»A(A,S/R)+BA# »∧

"

d dt

Ω#»(S/R)

#

R

+Ω#»(S/R)∧Ω#»(S/R)∧AB# »

Composition des vitesses pour le point

SoientR0etR1deux référentiels etAun point. Alors V#»(A/R0)= #»

V(A/R1)+ #»

V(A,R

1/R0)

Composition des vitesses pour le solide

SoientR0,R1etR2trois référentiels etAun point.

Alors #»V(A,R

2/R0)= V#»(A,R

2/R1)+V#»(A,R

1/R0)

Vitesse de glissement

Soient deux solides S1 et S2 en

contact en I. Atdonné, il existeI1 ∈ S1tel queI = I1et il alorsI2∈S2tel que I = I2. I est le point de contact.

I <S1etI<S2.

On se limite aux surfaces régulières qui admettent un plan tangentΠ et une normale #»n.

DÉFINITION: Vecteurs roulement et pivotement Ω#»p =Ω#»(S2/S1).#»n#»n est le vecteur pivotement.

Ω#»r =Ω#»(S

2/S1)−Ω#»pest le vecteur roulement.

DÉFINITION: Vecteur glissement

On appelle vecteur glissement de S2sur S1en I, #»

V(I,S

2/S1)

Composition des torseurs cinématiques

La composition des mouvements s’effectue en additionnant les torseurs enUN MÊME POINT(!).

VS2/S0 =VS2/S1+VS1/S0

Mouvement plan

Le mouvement du solideS2par rapport au solideS1 est dit plan s’il existe un plan (Π2) lié àS2qui reste coïncident avec un plan (Π1) lié àS1.

Il en résulte que le paramétrage deS2 par rapport à S1 ne nécessite que 3 paramètres : un angle et deux longueurs ou deux angles et une longueur.

VS2/S1 =

O2

( θ˙#»z1

˙

x#»x1+y˙#»y1 )

Cinématique graphique

MP - LYCÉECARNOT(DIJON) 2/4 CINÉMATIQUE

(3)

dllNomdelaliaisonSchéma spatialSchémaplanCaractéristique géométrique Torseurcinématique V1/0= X      

(S1/S0) V(X,S1/S0)

     

Torseurdes actionsmécaniques transmissibles 0dll 0tr 0rt

Encastrement∀M∈(ε) M

(#» 0 #» 0

) M

       00 00 00

      

R0M

       X10L10 Y10M10 Z10N10

      

R0 1dll 1tr 0rt

Glissière 1direction#» x ∀M∈(ε) M(#» 0 V.#» x) M

       0u10 00 00

      

R0M

       0L10 Y10M10 Z10N10

      

R0 1dll 0tr 1rt

Pivot1axe(A,#» x) ∀M∈(A,#» x) M

( ω.#» x #» 0

) M

       p100 00 00

      

R0M

       X100 Y10M10 Z10N10

      

R0 1dll 1tr 1rt

Hélicoïdale 1axe(A,#» x) ∀M∈(A,#» x)M

( ω.#» x V.#» x ) avec V=p 2.π.ω M        

p10p 2.π.p10 00 00

        

R0M

         X10−p 2.π.X10 Y10M10 Z10N10

        

R0 2dll 1tr 1rt

Pivotglissant 1axe(A,#» x) ∀M∈(A,#» x) M( ω.#» x V.#» x

) M

       p10u10 00 00

      

R0M

       00 Y10M10 Z10N10

      

R0 2dll 0tr 2rt

Rotuleàdoigt 1pointA,centre deliaisonA

      

#» Ω (S1/S0) #» 0

       avec #» Ω(S1/S0).#» x=0A

       00 q100 r100

      

R0A

       X10L10 Y100 Z100

      

R0

(4)

dllNomdelaliaisonSchéma spatialSchémaplanCaractéristique géométrique Torseurcinématique V1/0= X      

(S1/S0) V(X,S1/S0)

     

Torseurdes actionsmécaniques transmissibles 3dll 0tr 3rt

Rotule1pointA,centre deliaisonA

      

#» Ω (S1/S0) #» 0

       avec #» Ω (S1/S0)quelconqueA

       p100 q100 r100

      

R0A

       X100 Y100 Z100

      

R0 3dll 2tr 1rt

Appuiplan Normalauplan #» y,∀M∈(ε)M

      

#» Ω (S1/S0) #» V (M,S1/S0)

      

avec #» V (M,S1/S0).#» y=0M

       0u10 q100 0w10

      

R0M

       0L10 Y100 0N10

      

R0 4dll 1tr 3rt

Linéaireannulaire1axe(A,#» x), centredesphère A

A(#» Ω (S1/S0) V.#» x ) avec #» Ω (S1/S0)quelconque A      

p10u10 q100 r100

      

R0A

       00 Y100 Z100

      

R0 4dll 2tr 2rt

Linéairerectiligne Normalauplan #» y,Droitede contact(A,#» x)

A( ωx#» x+ωy#» y #» V (A,S1/S0)

) avec #» V(A,S1/S0).#» y=0A       p10u10 q100 0w10

      

R0A

       00 Y100 0N10

      

R0 5dll 2tr 3rt

PonctuelleNormalauplan #» y,pointde contactA

A      

#» Ω(S1/S0) #» V (A,S1/S0)

      

avec#» Ω (S1/S0) quelconqueet #» V(A,S1/S0).#» y=0

A      

p10u10 q100 r10w10

      

R0A

       00 Y100 00

      

R0

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