S YNTHÈSE : C INÉMATIQUE
Schématisation
Plan d’ensemble, dessin de définition, vue 3D, graphe de structure, tableau des liaisons et schéma cinématique
Schéma technologique Schéma architectural Schéma cinématique minimal
Dérivation vectorielle
"
d dt(#»u)
#
B0
=
"
d dt(#»u)
#
B1
+Ω#»(B1/B0)∧#»u
oùΩ#»(B1/B0)est appelévecteur rotation deB1par rapport àB0(B1/B0). On le note aussiΩ#»(1/0).
Figures de changement de base
Produits scalaires Produits vectoriels
#»x1.#»y1 =0 #»x1∧#»y1 = #»z1
#»x1.#»x2 =cosθ #»x1∧#»x2 =sinθ.#»z1
#»y1.#»x2 =sinθ #»y1∧#»x2 =−cosθ.#»z1
#»x1.#»y2 =−sinθ #»x1∧#»y2 =cosθ.#»z1
−
→x1
−
→y1
−
→z2 →− z1
−
→x2
−
→y2
θ
Vecteur vitesse d’un point
On appelle vitesse de M à l’instantt dans le repère R(O,B), le vecteur défini par :
#»V(M/R) =
"
d dt
OM(t)# »
#
B
Vecteur accélération d’un point
On appelle accélération deMpar rapport à R(O,B), le vecteur défini par :
#»aM/R =
"
d dt
#»VM/R
#
R
= d2 dt2
"
# » OM
#
R
*
Champ équiprojectif
Un champ de vecteur est équiprojectif ssi∀(M,N) ∈ (ε)2, la relation suivante est vérifiée :
#»V(M).# »
MN= #»
V(N).# » MN
Champ de moments
Un champ de moment est un champ de vecteurs pour lequel qu’il existe un vecteurU#»tel que :
∀M,N∈(ε) #»
V(M)= #»
V(N)+ # » MN∧#»
U
MP - LYCÉECARNOT(DIJON) 1/4 CINÉMATIQUE
Théorème de Delassus
Champ équiprojectif⇔Champ de moment
Définition d’un torseur
Association d’un champ de moment#»
M(dépendant du point où on le calcule) et du vecteur résultant#»R(identique en tout point de l’espace) correspondant.
Il vérifie∀(A,B)∈(ε)2l’équation #»
M(B)
|{z}
B
= #»
M(A)
|{z}
A
+ # » BA
|{z}
BA
∧ #»
R
|{z}
#» R
R est appelé la résultante et # »
M(A)le moment en A. Ces deux vecteurs (les coordonnées pluckériennes) sont alors appelés les éléments de réduction du torseur enA. on note le torseur
T
comme suit :
T
=
A
( #»
#»R M(A)
)
=
A
Rx Mx(A) Ry My(A) Rz Mz(A)
(#»x,#»y,#»z)
Comoment de deux torseurs
On appelle comoment de deux torseursT1et T2, la quantité scalaire :
T1⊗T2= #»
R1.#»
M2(A)+ #»
R2.#»
M1(A)
Axe central d’un torseur
Ensemble des points I pour lesquels le champM#»est colinéaire à #»R.
Ensemble des pointsI ∈(ε)/∃λ∈R/#»
M(I) = λ.#»R (ou encoreM#»(I)∧#»R = #»
0 , avec #»R , #»
0 ) Iest alors appelé point central du torseur.
Torseur couple
Torseur dont la résultante est nulle : (
C )
=
A
( #»
#»0 M(A)
)
Torseur glisseur
Torseur dont le vecteur résultant est non nul (#»
R , 0) mais dont
l’automoment est nul.p
Champ de vecteurs vitesse d’un solide
SoientAetBdeux points d’un solideS.
#»V(B,S/R)= #»
V(A,S/R)+# »
BA∧Ω#»(S/R)
Champ de vecteurs accélération d’un solide
SoientAetBdeux points d’un solideS. #»
A(B,S/R)=. . .
. . .#»A(A,S/R)+BA# »∧
"
d dt
Ω#»(S/R)
#
R
+Ω#»(S/R)∧Ω#»(S/R)∧AB# »
Composition des vitesses pour le point
SoientR0etR1deux référentiels etAun point. Alors V#»(A/R0)= #»
V(A/R1)+ #»
V(A,R
1/R0)
Composition des vitesses pour le solide
SoientR0,R1etR2trois référentiels etAun point.
Alors #»V(A,R
2/R0)= V#»(A,R
2/R1)+V#»(A,R
1/R0)
Vitesse de glissement
Soient deux solides S1 et S2 en
contact en I. Atdonné, il existeI1 ∈ S1tel queI = I1et il alorsI2∈S2tel que I = I2. I est le point de contact.
I <S1etI<S2.
On se limite aux surfaces régulières qui admettent un plan tangentΠ et une normale #»n.
DÉFINITION: Vecteurs roulement et pivotement Ω#»p =Ω#»(S2/S1).#»n#»n est le vecteur pivotement.
Ω#»r =Ω#»(S
2/S1)−Ω#»pest le vecteur roulement.
DÉFINITION: Vecteur glissement
On appelle vecteur glissement de S2sur S1en I, #»
V(I,S
2/S1)
Composition des torseurs cinématiques
La composition des mouvements s’effectue en additionnant les torseurs enUN MÊME POINT(!).
VS2/S0 =VS2/S1+VS1/S0
Mouvement plan
Le mouvement du solideS2par rapport au solideS1 est dit plan s’il existe un plan (Π2) lié àS2qui reste coïncident avec un plan (Π1) lié àS1.
Il en résulte que le paramétrage deS2 par rapport à S1 ne nécessite que 3 paramètres : un angle et deux longueurs ou deux angles et une longueur.
VS2/S1 =
O2
( θ˙#»z1
˙
x#»x1+y˙#»y1 )
Cinématique graphique
MP - LYCÉECARNOT(DIJON) 2/4 CINÉMATIQUE
dllNomdelaliaisonSchéma spatialSchémaplanCaractéristique géométrique Torseurcinématique V1/0= X
#» Ω(S1/S0) #» V(X,S1/S0)
Torseurdes actionsmécaniques transmissibles 0dll 0tr 0rt
Encastrement∀M∈(ε) M
(#» 0 #» 0
) M
00 00 00
R0M
X10L10 Y10M10 Z10N10
R0 1dll 1tr 0rt
Glissière 1direction#» x ∀M∈(ε) M(#» 0 V.#» x) M
0u10 00 00
R0M
0L10 Y10M10 Z10N10
R0 1dll 0tr 1rt
Pivot1axe(A,#» x) ∀M∈(A,#» x) M
( ω.#» x #» 0
) M
p100 00 00
R0M
X100 Y10M10 Z10N10
R0 1dll 1tr 1rt
Hélicoïdale 1axe(A,#» x) ∀M∈(A,#» x)M
( ω.#» x V.#» x ) avec V=p 2.π.ω M
p10p 2.π.p10 00 00
R0M
X10−p 2.π.X10 Y10M10 Z10N10
R0 2dll 1tr 1rt
Pivotglissant 1axe(A,#» x) ∀M∈(A,#» x) M( ω.#» x V.#» x
) M
p10u10 00 00
R0M
00 Y10M10 Z10N10
R0 2dll 0tr 2rt
Rotuleàdoigt 1pointA,centre deliaisonA
#» Ω (S1/S0) #» 0
avec #» Ω(S1/S0).#» x=0A
00 q100 r100
R0A
X10L10 Y100 Z100
R0
dllNomdelaliaisonSchéma spatialSchémaplanCaractéristique géométrique Torseurcinématique V1/0= X
#» Ω(S1/S0)#» V(X,S1/S0)
Torseurdes actionsmécaniques transmissibles 3dll 0tr 3rt
Rotule1pointA,centre deliaisonA
#» Ω (S1/S0) #» 0
avec #» Ω (S1/S0)quelconqueA
p100 q100 r100
R0A
X100 Y100 Z100
R0 3dll 2tr 1rt
Appuiplan Normalauplan #» y,∀M∈(ε)M
#» Ω (S1/S0) #» V (M,S1/S0)
avec #» V (M,S1/S0).#» y=0M
0u10 q100 0w10
R0M
0L10 Y100 0N10
R0 4dll 1tr 3rt
Linéaireannulaire1axe(A,#» x), centredesphère A
A(#» Ω (S1/S0) V.#» x ) avec #» Ω (S1/S0)quelconque A
p10u10 q100 r100
R0A
00 Y100 Z100
R0 4dll 2tr 2rt
Linéairerectiligne Normalauplan #» y,Droitede contact(A,#» x)
A( ωx#» x+ωy#» y #» V (A,S1/S0)
) avec #» V(A,S1/S0).#» y=0A p10u10 q100 0w10
R0A
00 Y100 0N10
R0 5dll 2tr 3rt
PonctuelleNormalauplan #» y,pointde contactA
A
#» Ω(S1/S0) #» V (A,S1/S0)
avec#» Ω (S1/S0) quelconqueet #» V(A,S1/S0).#» y=0
A
p10u10 q100 r10w10
R0A
00 Y100 00
R0
