Seconde : Vecteurs (2) page 1
Vecteurs (2)
I. Coordonnées d’un vecteur
Activité no3 p 315
Définition 1
Soit ~ u un vecteur dans un repère (O , I , J ) du plan.
Par la translation de vecteur ~ u, le point O se transforme en M.
On appelle coordonnées du vecteur ~ u les coordonnées du point M dans le repère (O, I, J).
On note M (x; y) et ~ u µ x
y
¶
Remarque pratique Le couple
µ x y
¶
correspond également au déplacement effectué sur le quadrillage.
Par exemple, pourxetypositifs, « on avance vers la droite de x et on monte de y ». Sur le graphique ci-dessus, on obtientM(1; 2), donc~u µ 1
2
¶ . Pour se déplacer de O vers M, on avance bien vers la droite d’une unité et on monte de deux unités.
Propriété 1
Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si leurs coordonnées sont égales.
~ u
µ x y
¶
= u ~
0µ x
0y
0¶
⇐⇒ x = x
0et y = y
0.
Propriété 2
Si A(x
A; y
A) et B (x
B; y
B) alors −→
AB
µ x
B− x
Ay
B− y
A¶
Moyen mnémotechnique
Retenir « extrémité moins origine »
Démonstration
Par la translation de vecteur−→AB, le pointOest transformé en le pointM. PosonsM(x;y). Par définition, on a aussi−→AB µ x
y
¶
[AM] et [OB] ont le même milieu. DoncxA+x 2 =0+xB
2 et yA+y 2 =0+yB
2 . D’oùx=xB−xAety=yB−yA. On a bien−→AB
µ xB−xA yB−yA
¶ .
Exercices no28 - 29 p 330 Exercices no31 - 32 - 35 - 36 p 331
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Seconde : Vecteurs (2) page 2
II. Somme de deux vecteurs Propriété 3
Dans un repère du plan, si ~ u µ x
y
¶ et ~ v
µ x
0y
0¶
alors ~ u + ~ v
µ x + x
0y + y
0¶
Démonstration
Soit~u=−→ABet~v=−→BCavecA(xA;yA) ,B(xB;yB) etC(xC;yC).
On sait que~u+~v=−→ACpar la relation de Chasles et donc~u+~v
µ xC−xA yC−yA
¶
Or
½x+x0=(xB−xA)+(xc−xB)=xC−xA y+y0=(yB−yA)+(yc−yB)=yC−yA On a donc bien~u+~v
µ x+x0 y+y0
¶
Exercices no40 - 41 p 331 Exercices no45 - 46 - 47 p 331
III. Opposé d’un vecteur, différence de deux vecteurs Propriété 4
Si ~ u µ x
y
¶ et ~ v
µ x
0y
0¶
alors −~ v µ −x
0− y
0¶
et ~ u − ~ v
µ x − x
0y − y
0¶
Démonstration Soit−~v
µ X Y
¶ .
On sait que~v+(−~v)=~0 ce qui nous donnex0+X=0 ety0+Y=0 d’oùX= −x0etY= −y0. On obtient ensuite les coordonnées de~u−~v=~u+(−~v) en ajoutant celles de~uet de (−~v).
Exercices no51 - 52 p 332 -
IV. Produit d’un vecteur par un nombre réel Définition 2
Soient ~ u un vecteur et k un nombre réel.
Si ~ u µ x
y
¶
dans un repère, le vecteur noté k ~ u est le vecteur de coordonnées µ kx
k y
¶
dans le même repère.
RemarqueOn admet que le vecteurk~uainsi défini est indépendant du repère choisi.
Exemple
Soit −→
AB µ 2
1
¶
et les points C et D tels que −→
AC = 3 −→
AB et −−→
AD = −2 −→
AB .
4
3 −→
AB
µ 3 × 2 3 × 1
¶
donc −→
AC µ 6
3
¶
4
−2 −→
AB
µ −2× 2
− 2 × 1
¶
donc −−→
AD µ −4
− 2
¶
2
Seconde : Vecteurs (2) page 3
Propriété 5
Soient ~ u et ~ v deux vecteurs et k et k
0deux nombres réels.
(k + k
0)~ u = k~ u + k
0~ u k(k
0~ u) = (kk
0)~ u k(~ u + ~ v ) = k~ u + k~ v
Exercices no59 - 60 - 61 - 62 p 333 -
V. Vecteurs colinéaires et applications en géométrie (A) Vecteurs colinéaires
Définition 3
Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si l’un est produit de l’autre par un réel.
Exemple
4
~ u µ 2
− 4
¶ et ~ u
µ −3 6
¶
sont colinéaires car ~ v = − 3 2 ~ u .
4
Les vecteur ~ 0 est colinéaire à n’importe quel vecteur ~ u car ~ 0 = 0 × ~ u.
Propriété 5
Dans un repère, les vecteurs ~ u µ x
y
¶ et ~ v
µ x
0y
0¶
sont colinéaires :
4
si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
4
si et seulement si x y
0= x
0y.
Démonstration
~
uet~vsont colinéaires si et seulement si il existe un réelktel que~u=k~vou~v=k~u C’est-à-dire s’il existektel quex=kx0ety=k y0ou tel quex0=kxety0=k y.
Ceci signifie que les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles.
Ceci revient encore à dire que « les produits en croix » sont égaux.
Exercices no63 - 64 - 65 p 334 -
(B) Application en géométrie Propriété 6 (admise)
Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs −→
AB et −−→
C D sont colinéaires.
Propriété 7
Trois points P , Q et R du plan sont alignés si et seulement si les vecteurs −−→
PQ et −→
P R sont colinéaires.
Démonstration
SupposonsP,QetRdistincts. Les droites (PQ) et (P R) ont le pointPen commun.
P,QetRsont alignés si et seulement si les droites (PQ) et (P R) sont parallèles, c’est-à-dire si et seulement si−−→PQet−→P Rsont colinéaires par la propriété précédente. On en déduit immédiatement la conséquence suivante :
Propriété 8
Un point M appartient à ( AB ) si et seulement si −−→
AM et −→
AB sont colinéaires.
Exemple
Soient A(2; −1 et B (−3; 1) dans un repère. Un point M (x; y) appartient à ( AB ) si et seulement si
−−→ AM
µ x − 2 y + 1
¶ et −→
AB µ −5
2
¶
sont colinéaires.
Donc M (x; y ) appartient à (AB) si et seulement si (x − 2) × 2 = (y + 1) × ( − 5) qui devient 2x − 4 =
− 5y − 5 ou y = − 2 5 x − 1
5 . On retrouve ainsi une équation de la droite (AB ).
Vocabulaire
Le vecteur−→ABou tout autre vecteur non nul qui lui est colinéaire est appelévecteur directeur de la droite (AB).
Exercices no69 - 70 - 71 - 72 p 334