• Aucun résultat trouvé

I. Coordonnées d’un vecteur

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "I. Coordonnées d’un vecteur"

Copied!
3
0
0

Texte intégral

(1)

Seconde : Vecteurs (2) page 1

Vecteurs (2)

I. Coordonnées d’un vecteur

Activité no3 p 315

Définition 1

Soit ~ u un vecteur dans un repère (O , I , J ) du plan.

Par la translation de vecteur ~ u, le point O se transforme en M.

On appelle coordonnées du vecteur ~ u les coordonnées du point M dans le repère (O, I, J).

On note M (x; y) et ~ u µ x

y

Remarque pratique Le couple

µ x y

correspond également au déplacement effectué sur le quadrillage.

Par exemple, pourxetypositifs, « on avance vers la droite de x et on monte de y ». Sur le graphique ci-dessus, on obtientM(1; 2), donc~u µ 1

2

¶ . Pour se déplacer de O vers M, on avance bien vers la droite d’une unité et on monte de deux unités.

Propriété 1

Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si leurs coordonnées sont égales.

~ u

µ x y

= u ~

0

µ x

0

y

0

⇐⇒ x = x

0

et y = y

0

.

Propriété 2

Si A(x

A

; y

A

) et B (x

B

; y

B

) alors −→

AB

µ x

B

x

A

y

B

y

A

Moyen mnémotechnique

Retenir « extrémité moins origine »

Démonstration

Par la translation de vecteur−→AB, le pointOest transformé en le pointM. PosonsM(x;y). Par définition, on a aussi−→AB µ x

y

[AM] et [OB] ont le même milieu. DoncxA+x 2 =0+xB

2 et yA+y 2 =0+yB

2 . D’oùx=xB−xAety=yByA. On a bien−→AB

µ xBxA yByA

¶ .

Exercices no28 - 29 p 330 Exercices no31 - 32 - 35 - 36 p 331

1

(2)

Seconde : Vecteurs (2) page 2

II. Somme de deux vecteurs Propriété 3

Dans un repère du plan, si ~ u µ x

y

¶ et ~ v

µ x

0

y

0

alors ~ u + ~ v

µ x + x

0

y + y

0

Démonstration

Soit~u=−→ABet~v=−→BCavecA(xA;yA) ,B(xB;yB) etC(xC;yC).

On sait que~u+~v=−→ACpar la relation de Chasles et donc~u+~v

µ xCxA yCyA

Or

½x+x0=(xBxA)+(xc−xB)=xCxA y+y0=(yByA)+(ycyB)=yCyA On a donc bien~u+~v

µ x+x0 y+y0

Exercices no40 - 41 p 331 Exercices no45 - 46 - 47 p 331

III. Opposé d’un vecteur, différence de deux vecteurs Propriété 4

Si ~ u µ x

y

¶ et ~ v

µ x

0

y

0

alors −~ v µ −x

0

y

0

et ~ u − ~ v

µ xx

0

yy

0

Démonstration Soit−~v

µ X Y

¶ .

On sait que~v+(−~v)=~0 ce qui nous donnex0+X=0 ety0+Y=0 d’oùX= −x0etY= −y0. On obtient ensuite les coordonnées de~u−~v=~u+(−~v) en ajoutant celles de~uet de (−~v).

Exercices no51 - 52 p 332 -

IV. Produit d’un vecteur par un nombre réel Définition 2

Soient ~ u un vecteur et k un nombre réel.

Si ~ u µ x

y

dans un repère, le vecteur noté k ~ u est le vecteur de coordonnées µ kx

k y

dans le même repère.

RemarqueOn admet que le vecteurk~uainsi défini est indépendant du repère choisi.

Exemple

Soit −→

AB µ 2

1

et les points C et D tels que −→

AC = 3 −→

AB et −−→

AD = −2 −→

AB .

4

3 −→

AB

µ 3 × 2 3 × 1

donc −→

AC µ 6

3

4

−2 −→

AB

µ −2× 2

− 2 × 1

donc −−→

AD µ −4

− 2

2

(3)

Seconde : Vecteurs (2) page 3

Propriété 5

Soient ~ u et ~ v deux vecteurs et k et k

0

deux nombres réels.

(k + k

0

)~ u = k~ u + k

0

~ u k(k

0

~ u) = (kk

0

)~ u k(~ u + ~ v ) = k~ u + k~ v

Exercices no59 - 60 - 61 - 62 p 333 -

V. Vecteurs colinéaires et applications en géométrie (A) Vecteurs colinéaires

Définition 3

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si l’un est produit de l’autre par un réel.

Exemple

4

~ u µ 2

− 4

¶ et ~ u

µ −3 6

sont colinéaires car ~ v = − 3 2 ~ u .

4

Les vecteur ~ 0 est colinéaire à n’importe quel vecteur ~ u car ~ 0 = 0 × ~ u.

Propriété 5

Dans un repère, les vecteurs ~ u µ x

y

¶ et ~ v

µ x

0

y

0

sont colinéaires :

4

si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.

4

si et seulement si x y

0

= x

0

y.

Démonstration

~

uet~vsont colinéaires si et seulement si il existe un réelktel que~u=k~vou~v=k~u C’est-à-dire s’il existektel quex=kx0ety=k y0ou tel quex0=kxety0=k y.

Ceci signifie que les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles.

Ceci revient encore à dire que « les produits en croix » sont égaux.

Exercices no63 - 64 - 65 p 334 -

(B) Application en géométrie Propriété 6 (admise)

Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs −→

AB et −−→

C D sont colinéaires.

Propriété 7

Trois points P , Q et R du plan sont alignés si et seulement si les vecteurs −−→

PQ et −→

P R sont colinéaires.

Démonstration

SupposonsP,QetRdistincts. Les droites (PQ) et (P R) ont le pointPen commun.

P,QetRsont alignés si et seulement si les droites (PQ) et (P R) sont parallèles, c’est-à-dire si et seulement si−−→PQet−→P Rsont colinéaires par la propriété précédente. On en déduit immédiatement la conséquence suivante :

Propriété 8

Un point M appartient à ( AB ) si et seulement si −−→

AM et −→

AB sont colinéaires.

Exemple

Soient A(2; −1 et B (−3; 1) dans un repère. Un point M (x; y) appartient à ( AB ) si et seulement si

−−→ AM

µ x − 2 y + 1

¶ et −→

AB µ −5

2

sont colinéaires.

Donc M (x; y ) appartient à (AB) si et seulement si (x − 2) × 2 = (y + 1) × ( − 5) qui devient 2x − 4 =

− 5y − 5 ou y = − 2 5 x − 1

5 . On retrouve ainsi une équation de la droite (AB ).

Vocabulaire

Le vecteur−→ABou tout autre vecteur non nul qui lui est colinéaire est appelévecteur directeur de la droite (AB).

Exercices no69 - 70 - 71 - 72 p 334

3

Références

Documents relatifs

La formulation du lycée est une forme condensée qui ne doit pas faire oublier qu’il s’agit en fait de deux énoncés (énoncé direct et énoncé réciproque). Cela est fondamental

R´ epondre par VRAI ou FAUX (sans commentaire) ` a chacune des questions suivantes (notation : +1 par r´ eponse correcte et -1 par r´ eponse incorrecte ; la note de l’exercice sera

On se doute que, comme les accroissements du mouvement brownien sont des gaussiennes, on peut v´ erifier l’hypoth` ese de ce th´ eor` eme sans grande difficult´ e.. Th´ eor` eme

On consid` ere un plan affine euclidien muni d’un rep`

[r]

Les droites (AE) et (CD) sont elles parallèles?. Les droites (AD) et (CE) sont

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si −→. AB

Ils sont donc dans la boule unit´ e ouverte, et comme f est clairement de classe C 1 les d´ eriv´ ees partielles doivent s’annuler en ces points... On munit R 3 du produit scalaire