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Axe de symétrie – Centre de symétrie
Point d’inflexion ⊚ Axe de symétrie
La droite d’équation ya est un axe de symétrie de la courbe d’une fonction f si et seulement si :
∎ x Df alors (2ax)Df ∎ x Df (2f a x) f x( ) ⊚ Centre de symétrie
Le point I(a ;b) est un centre de symétrie de la courbe d’une fonction f si et seulement si :
∎ x Df alors (2a x)Df ∎ x Df (2f ax) f x( )2 b ⊚ Convexité et concavité – point d’inflexion
Une courbe de fonction est convexe sur un intervalle I si elle est au-dessus de toutes ses tangentes sur cet intervalle
Si on a : f( )x 0 ( x I)
Alors la courbe de f est convexe sur I Une courbe de fonction est concave sur un intervalle I si elle est au-dessous de toutes ses tangentes sur cet intervalle
Si on a : f( )x 0 ( x I)
Alors la courbe de f est concave sur I Un point I x( ; (0 f x0)) est un point
d’inflexion si la courbe change de concavité en ce point
Si fs’annule au point x0 en changeant de signe alors la courbe de f admet un point d’inflexion d’abscissex0.
Si fs’annule au point x0 sans changer de signe alors la courbe de f admet un point d’inflexion d’abscissex0.
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L a
BRANCHES INFINIES ET INTERPRETATIONS GEOMETRIQUES
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fonction réciproque
∎ Propriété
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I
Alors f admet une fonction réciproque définie sur l’intervalle ( )
J f I
Cette fonction est notée : f1:x f 1( )x
∎ Résultats
°
( ) 1( )
( )
f x y f y x
x I y J f I
° x I
f 1 f
( )x x° y f I( )
f f1
( )y y∎ Déterminer l’expression de la fonction inverse
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I
Soit x un élément de ( )f I et y un élément de I
En utilisant l’équivalence : f 1( )y x f x( ) y ; en cherchons y en fonction de x ;on déduit l’expression de f 1 pour tout x de f(I)
∎ Continuité de la fonction réciproque
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I
Alors la fonction réciproque f 1est continue sur l’intervalle ( )f I ∎ Dérivabilité de la fonction réciproque
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I
et x0 un élément de I tel que : y0 f x( 0)
si f est dérivable au point x0 et f x( 0)0 alors f 1est dérivable au point y0 de l’intervalle ( )f I et on a :
1
00
1 y ( )
f f x
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I
Si f est dérivable sur l’intervalle I et sa fonction dérivée f ne s’annule pas sur l’intervalle I alors la fonction réciproque f1est
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dérivable sur l’intervalle ( )f I et on a :
( )
1
11x f I f x ( )
f f x
∎ Dérivabilité de la fonction réciproque
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I Alors la fonction réciproque f1a le même sens de variation sur ( )f I que f
∎ Représentation graphique de la fonction réciproque Soit f une fonction continue et
strictement
monotone sur un intervalle I ; les courbes
de la fonction f et de sa réciproque f1dans
un repère orthonormé sont symétriques par
rapport à la 1ére bissectrice.
∎ Remarques importantes
Fonction racine niéme n
∈
IN∎ Propriétés et définition
La fonction :
x x
n définie sur IRadmet une fonction réciproque qu’on appelle fonction racine niéme ; on la note : n xn :
n
IR IR
x
x x
Courbe de f
Cf
A(a;b) Cf Admet une asymptote verticale d’équation x=a
Admet une asymptote horizontale d’équation y=b Admet une asymptote oblique
d’équation y axb Admet une tangent ou demi
tangente verticale Admet une tangent ou demi
tangente horizontale
Courbe de f
Cf1
A(a;b) Cf Admet une asymptote horizontale d’équation y=a Admet une asymptote verticale
d’équation x=b
Admet une asymptote oblique d’équation 1 1
y x
a b
Admet une tangent ou demi
tangente horizontale Admet une tangent ou demi
tangente verticale
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( ; )x y IR2 n x y x yn
∎ Cas particuliers ° x2x
° le nombre 3 x s’appelle la racine cubique de x.
∎Propriétés
∎Egalités importantes 3 3
2 2
3 3 3 3
x y x y
x y x y
x y
x x y y
∎ Domaine de définition
f définie comme suit Domaine de définition de f ( ) n
f x x Df
0;
( ) n ( )
f x u x Df
xIR x/ D et u xu ( )0
∎ Les limites
Ces limites restent valables en
x
0 à droite ou à gauche et en ±∞∎ Continuité
La fonction xn x est continue sur
IR
Soit u une fonction définie sur l’intervalle I
Si u est positive et continue sur l’intervalle I Alors la fonction ( )
x nu x
Est continue sur l’intervalle I.
0
lim n ( )
x x u x
n l +∞
0
lim ( )
x x u x
0 l
+∞
( ; ) 2
n n
n n
n n
n n
x y IR n IN
x x
x x
x y x y
x y x y
2 2
( ; ) ( ; )
( 0)
n n n
m n m
n n
n n
n m n m
x y IR n m IN
x y x y
x x
x x
y y y
x x
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∎ Dérivabilité
La fonction xn x est dérivable sur l’intervalle
0;
et on a :
0;
n n1n 1x x
n x
Soit u une fonction définie sur l’intervalle I
Si u est positive et dérivable sur l’intervalle I Alors la fonction x nu x( ) est dérivable sur l’intervalle I.
et on a :
10; ( ) ( )
( )
n
n n
x u x u x
n u x
∎ Résolution de l’équation xn a (xIR) et (aIR)
n est impair n est pair
∎ Puissance rationnelles d’un réel positif Soit r p
q un nombre rationnel non nul tel que :p Z et qIN
0;
p
r q q p
x x x x
∎ Remarques importantes
1
x 0; n x xn
Le domaine de définition de la fonction :x
u x( )
r (r Q) est :
/ u ( ) 0
D xIR xD et u x
1 1n u x( ) n ( ( ))u x u x( ) n
Pour tous x et y de IR et
r
; rde Q( ) ( )
1
r r r r r r r r r r r
r r r
r r r
r r r
x x x x x x y x y
x x x
x x
y y x x
0
a S
n a S
n a;n a
0
a S
0 S
0a < 0 S
n a
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