On se place dans un plan P rapporté à un repère orthonormé d'origine O . Dans tout le problème, α ∈]0, π[−{

MPSI B DS 3 (commun) 29 juin 2019

Problème 1

On se place dans un plan P rapporté à un repère orthonormé d'origine O . Dans tout le problème, α ∈]0, π[−{

} .

On dénit des applications a , h , f de C dans C par les formules suivantes valables pour tout z ∈ C :

a(z) = z cos

α

2 + z sin

α 2 h(z) = 2

sin α z f (z) = h ◦ a(z)

On note A , H , F les transformations du plan qui à un point d'axe z associent respecti- vement les points d'axes a(z) , h(z) , f (z) .

On note I , J , K les points respectivement d'axes 1 , j , j

et U , V , W les points respectivement d'axes u = f (1) , v = f (j) , w = f (j

) .

On note enn C le cercle de centre O et de rayon

Partie I

1. Soit M un point du plan de coordonnées (x, y) , calculer les coordonnées des points A(M ) , H (M ) , F(M ) . Préciser la nature des transformations A et H .

2. Montrer que l'image de C par F est une conique (notée E ). Préciser le genre et les foyers de E .

Partie II

1. Former les équations des droites (IJ ) , (IK ) , (J K ) . Exprimer la distance d'un point M de coordonnées (x, y) à ces droites.

2. Montrer que C est le cercle inscrit dans le triangle (IJ K ) .

3. Montrer que chacun des segments [U V ] , [U W ] , [V W ] est tangent en son milieu à la conique E .

Partie III

1. Montrer que pour tout z complexe : f (z) = z

tan

+ z tan α 2

2. Calculer u + v + w et uv + uw + vw .

3. En déduire les racines de P

(x) (dérivée formelle) du polynôme P (x) = (x − u)(x − v)(x − w)

Ceci démontre dans un cas particulier le théorème de van der Berg

:

Lorsque les sommets d'un triangle forment les trois racines d'un polynôme, l'ellipse tangente au milieu de chaque côté admet pour foyers les racines du polynôme dérivé.

Partie IV

1. Soit (z

, z

, z

) trois nombres complexes. On dit que (z

, z

, z

) vérie (∗) lorsque : z

+ z

+ z

= 0

z

z

+ z

z

+ z

z

= −3

Montrer que (z

, z

, z

) vérie (∗) si et seulement si z

et z

sont les racines d'une certaine équation du second degré à préciser.

2. Former un triplet (z

, z

, z

) vériant (∗) avec z

= 4 . Trouver un α tel que z

= f (1) z

= f (j) z

= f (j

)

Exercice

Soient a, b, c, d quatre vecteurs de R

tels que a et b ne soient pas colinéaires, c est orthogonal à a et d est orthogonal à b .

On cherche une condition nécessaire et susante pour qu'il existe une solution au système, d'inconnue v :

(∗)

( a ∧ v =c b ∧ v =d

1. Calculer de deux manières le déterminant de la famille (a, b, v) . En déduire que pour qu'il existe une solution, il est nécessaire que

a.d + b.c = 0 où x.y désigne le produit scalaire des vecteurs x et y .

1d'après Polynomials, Prasolov, Springer

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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P₁

P2

M

Fig. 1: Courbe Γ

2. a. Montrer que l'équation a ∧ v = c possède au moins une solution. Exprimer toutes les solutions de cette équation en fonction d'une solution w et des données de l'exercice.

b. Montrer que la condition a.d + b.c = 0 est une condition susante pour qu'il existe une solution au système (∗) .

Problème 2

Dans ce problème

on travaille dans R

muni d'un repère orthonormé direct R = (O, − → i , − →

j ) . On choisit O comme pôle et (O, − →

i ) comme axe polaire. On note Γ la courbe d'équation polaire ρ = 1 + cos θ . On considère l'application

ϕ :

( ] − π, π[ → R

θ 7→ t = tan

.

2d'après E3A 2006

1. Montrer que :

x = 2 1 − t

(1 + t

)

y = 4t

(1 + t

)

sont des équations paramétriques de Γ privée de l'origine.

Dans la suite du problème, on utilisera cette paramétrisation de Γ . 2. Déterminer la direction de la tangente à Γ au point de paramètre t = √

3 . 3. Montrer que la tangente à Γ en le point M de paramètre τ a pour équation :

(τ

− 3τ)y + (3τ

− 1)x + 2 = 0

4. Montrer que cette tangente recoupe Γ en deux points P

de paramètre t

et P

de paramètre t

(avec t

6= t

) si et seulement si τ

> 3 . Montrer que dans ce cas :

t

t

= 3 t

+ t

= −2τ On pourra utiliser que :

À l'aide d'un logiciel de calcul formel, en substituant τ + T à t dans l'expression

(τ

− 3τ)4t + 2(3τ

− 1)(1 − t

) + 2(1 + t

) on obtient

T

+ 4τ T

+ (3τ

+ 3)T

5. a. Exprimer

t

− 3t

3t

− 1 t

− 3t

3t

− 1 en fonction de t

− t

et τ .

b. Calculer, en fonction de τ , les coordonnées du point d'intersection N des tangentes aux points P

et P

.

6. En déduire que l'ensemble des points d'intersection N lorsque τ décrit ] − ∞, − √

3 [ ∪ ] + √ 3, +∞[

est inclus dans la courbe dont l'équation est :

5x

− 27y

− 11x + 2 = 0

7. Reconnaître et déterminer les éléments remarquables de cette courbe. La représenter dans le repère R .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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