    1,  dans un repère orthonormé (O,i, j ) .  et  ' sont des asymptotes de C

Exercice N°1 (3points) Feuille a remettre Exercice N°2 (6points)

Le graphique ci-dessous (Voir annexe 2) est la courbe C représentative d’une fonction f continue sur

 ^{   1,}  dans un repère orthonormé (O,i, j ) .  et  ' sont des asymptotes de C

1) a) A l’observation de cette courbe, Calculer

 ^

 

x 1

lim f(x)

,

  

xlim f(x) x

,

 

x 2

lim f(x)

x 2

et

 x 0

lim f(x) x

. b) Dresser le tableau de variation de f.

c) Montrer que l’équation f’(x) = 3/8 admet une solution unique c dans ]2,4[.

2) Soit g la restriction de f sur  ^{2, } 

a) Justifier graphiquement que g réalise une bijection de  ^{2,  }  sur un intervalle  à préciser.

b) Tracer dans le même repère la courbe C

représentative de g

la fonction réciproque de g.

c) Donner graphiquement et justifier :









1 x 0

g (x) 2

lim x ,



 

1 x

g (x)

lim x et



1 x 0

lim sin(x)g ( 1 ) sin(x) . Exercice N°3 (5points)

Soit f la fonction définie sur   ^{0,  par : f(x)    1 x sin x} _x ^:

1) a) Montrer que f est dérivable sur   ^{0, } et calculer f ’(x).

b) Dresser le tableau de variation de f ’. En déduire l’existence d’un unique réel x

de   ^{0,  tel}

que f ‘(x

)=0.

c) Donner alors le signe de f ‘(x) sur   ^{0,  .}

2) a) Calculer f( ^

2 ) et f ’( ^

2 ).En déduire la position du réel x

par rapport à ^

2 ainsi que le signe de f(x

).

b) Montrer alors que l’équation f(x) = 0 admet exactement deux p et q sur   ^{0,  .}

Lycée Pilote kairouan Année Scolaire 2009-10

Prof :Troudi kamel Devoir de Contrôle N°1

8-11-2010 Classe : 4

M

MATHEMATIQUES Durée : 2 h

Exercice N°4 (6points)

Dans le plan complexe P muni d’un repère orthonormé direct  ^{O, u , v}  , on donne les points A(i ) et B( i )  , et le cercle trigonométrique C . Soit F l’application qui à tout point M(z) de ^{P \ O on}  

associe le point M'(z ' ) de P tel que

z

1 z ' f(z)

z

   . On note M"  S

(M)

1) a) Déterminer F(A) et F(B) .

b) F admet-elle des points invariants ?

c) Montrer que la droite (AB) est globalement invariante par F ( si M (AB) alors M'   (AB) ) 2) a) Exprimer ^{z '} en fonction de cos  si z  e

où 

b) Résoudre dans l’équation (E ) : f(z)  2cos  où   ; mettre chacune des solutions sous la forme exponentielle

c) En déduire que si M décrit le cercle C ^{alors M '} décrit un segment qu’on précisera 3) a) Vérifier que pour tout ^z , on a z ' z ¹

z



 

b) En déduire que MM' ¹

 OM et que MM' et OM" sont deux vecteurs colinéaires de même sens c) En déduire que si M  C ^{alors OMM'M"} est un losange

4) a) Montrer que pour tout point M distinct de A et B on a :

    ^{ }

OM' AM

BM OM

BM , OM' OM , AM 2

 

 

  



b) Construire en justifiant le point M ' dans le cas où M   avec  est la médiatrice de   ^OA

Nom & prénom: ………..

Pour chacune des questions, une seule des trois propositions est exacte. L’élève doit écrire sur sa copie la lettre correspondante à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; u, v) . 1) L’ensemble des solutions dans de l’équation

1

z z

z

 



est :

a) 

 b) L’ensemble vide c) 

 2) Le nombre complexe u 2 e



 est une racine sixième de : a) 8e



b) 12 e



c) 8e



3) Soient A et B les points d’affixes respectives 4 et 3i.

L’affixe du point C tel que le triangle ABC soit isocèle avec 



^{ }

^{ }

^{est :}

a)

b)

c)

4) On pose ; M’ = t o r (M), avec r =r

(O, )

 2

et par t la translation de vecteur d’affixe –i Alors : a) M’  ( , ) O v b) M’  ( , ) O u c) z’ = i e (

z  1)

(Figure 2)