Cours S2 - Trigonométrie

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Cours S1 : Trigonométrie Page 1 sur 4

Seconde – Lycée Desfontaines – Melle

Cours S2 - Trigonométrie

I. Préambule

1- Longueur d’un arc

Soit C un cercle de centre O et de rayon 1.

La longueur du cercle C est égale à 2π et son angle plein mesure 360°. La longueur du demi-cercle est égale à π et l’angle plat mesure 180°.

Soient I et M deux points du cercle alors la mesure en degrés de l’angle I O M est alors proportionnelle à Æ la longueur de l’arc ÈI M qu’il intercepte.

Sachant qu’un angle de 180° intercepte un arc de C de longueur π, on déduit le tableau de proportionnalité suivant :

Mesure en degré 180 α

Longueur de l’arc intercepté π

l

D’où le tableau suivant

Mesure en degré de l’angle au centre 360° 180° 90° 60° 45° 30°

Longueur de l’arc intercepté

2- Cercle trigonométrique

Pour parcourir un cercle, on dispose de deux sens possibles : le sens des aiguilles d’une montre et le sens inverse.

Par convention, on appelle sens direct ou sens positif, le sens inverse des aiguilles d’une montre.

On appelle cercle trigonométrique, un cercle de rayon 1 orienté dans le sens direct.

3- Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique

Soient (O;I;J) un repère orthonormé, C le cercle trigonométrique de centre O et D la droite des réels tangente à C _{en I.}

En enroulant la droite D autour du cercle trigonométrique C, on peut associer à chaque réel (repéré sur D) un unique point M de C, qu’on note M(x) et qu’on appelle point associé au réel x.

Remarques :

• si x☻[O;π] alors x désigne la longueur de l’arc ÈI M.

• Si x☻[-π;0] alors –x=

| |

Exemple :

Placer sur le cercle trigonométrique ci-contre, les points associés aux réels suivant :

O ; π ; -π 2 ; π

2 ; π 4 ; -3π

4 ; 2π ; -π ; 7π 2 .

II. Cosinus et sinus d’un nombre réel

1- Définition

Soit (O;I;J) un repère orthonormé, C le cercle trigonométrique de centre O, x un réel et M(x) le point de C associé au réel x.

On appelle cosinus de x et on note cos(x) l’abscisse du point M dans le repère (O;I;J).

On appelle sinus de x et on note sin(x) l’ordonnée du point M dans le repère (O;I;J).

M

O I

O I

J

M(x)

cos(x) sin(x)

O

I J

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2- lien entre la trigonométrie du triangle rectangle

Cette définition du cosinus et du sinus est cohérente avec celle connue du triangle rectangle.

En effet, soit x un réel de l’intervalle

 

 

0;π

2 et M son point associé sur C_.

x désigne donc la longueur de l’arc ÈI M. On note H le projeté orthogonal de M sur l’axe des abscisses, le triangle OHM est donc rectangle en H et on a :

On a donc OH=cos(x), HM=sin(x) et OM=1.

D’où cos

(

)

OM=cos(x)

1 =cos(x) Et sin

(

)

h yp otén u se = HM

OM=sin(x)

1 =sin(x) 3- Les valeurs remarquables à connaître

x 0 π

6

π 4

π 3

π

2 π

cos(x) sin(x)

4- Propriétés du cosinus et du sinus d’un réel x

• Quel que soit le réel x

• cos²(x)+sin²(x)=1

• -1Âcos(x)Â1

• -1Âsin(x)Â1

• cos(-x)=cos(x) et sin(-x)=sin(x)

• cos(x+2π)=cos(x) et sin(x+2π)=sin(x)

Démonstrations : La première propriété sera montrer en exercice

• A chaque réel x, on associe un point M(x) du cercle C de centre O et de rayon 1 donc l’abscisse et l’ordonnée du point M sont évidemment des réels de l’intervalle [-1;1].

• Puisque

| |

|

|

• La longueur de C _{est 2}π donc les points M(x) et M(x+2π) sont confondus, ils ont donc même abscisse et même ordonnée d’où cos(x+2π)=cos(x) et sin(x+2π)=sin(x).

III. Les fonctions (de référence) trigonométriques : x →cos( x ) et x →sin(x )

1- Fonction cosinus a. Définition :

On appelle fonction cosinus la fonction, notée cos, définie sur IR, qui à tout réel x associe le réel cos(x).

cos : IR ↔ IR x → cos(x) b. Parité :

La fonction cosinus est définie sur IR (ensemble centré en zéro).

De plus, nous avons vu que : ┐ x☻IR, cos(-x)=cos(x).

On en déduit donc que la fonction cosinus est paire.

Sa courbe représentative est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

c. Périodicité :

Nous avons vu que : ┐x☻IR, cos(x+2π) = cos(x).

La courbe représentative de la fonction cosinus va donc se reproduire périodiquement sur une période de 2π.

On dit que la fonction cosinus est périodique de période 2π.

d. Ensemble d’étude de la fonction cosinus :

O

I J

M(x)

O I

J

H

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La fonction cosinus est périodique de période 2π, on peut donc se contenter de l’étudier sur un intervalle de longueur 2π, par exemple [-π;π].

De plus la fonction cosinus est paire, on peut donc se contenter de l’étudier sur [0;π].

e. Sens de variation sur [0;π] : On utilise le cercle trigonométrique :

f. Courbe représentative :

• On trace la courbe sur [0;π] en utilisant quelques valeurs.

• La fonction est paire, la courbe est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. On obtient donc le tracé de la courbe sur [-π;π] càd sur une période.

• On utilise la périodicité : on reproduit la courbe de façon périodique.

2- Fonction sinus a. Définition :

On appelle fonction sinus la fonction, notée sin, définie sur IR, qui à tout réel x associe le réel sin(x).

sin : IR ↔ IR x → sin(x) b. Parité :

La fonction sinus est définie sur IR (ensemble centré en zéro).

De plus, nous avons vu que : ┐ x☻IR, sin(-x)=-sin(x).

On en déduit donc que la fonction sinus est impaire.

Sa courbe représentative est donc symétrique par rapport à l’origine du repère.

c. Périodicité :

Nous avons vu que : ┐x☻IR, sin(x+2π) = sin(x).

La courbe représentative de la fonction sinus va donc se reproduire périodiquement sur une période de 2π.

On dit que la fonction sinus est périodique de période 2π.

d. Ensemble d’étude de la fonction cosinus :

La fonction sinus est périodique de période 2π, on peut donc se contenter de l’étudier sur un intervalle de longueur 2π, par exemple [-π;π].

De plus la fonction sinus est impaire, on peut donc se contenter de l’étudier sur [0;π].

e. Sens de variation sur [0;π] : On utilise le cercle trigonométrique :

x 0 π

3 π 2 π cos(x)

J

I O

J

I O

1

0 π

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f. Courbe représentative :

a. On trace la courbe sur [0;π] en utilisant quelques valeurs.

b. La fonction est impaire, la courbe est donc symétrique par rapport à l’origine. On obtient donc le tracé de la courbe sur [-π;π] càd sur une période.

c. On utilise la périodicité : on reproduit la courbe de façon périodique.

IV. Exercices

Exercice 1

On considère un repère orthonormé (O;I;J) d’unité graphique 4cm.

1- Tracer dans ce repère, le cercle trigonométrique de centre O.

2- Placer le point M associé au réel π

4. Déterminer un réel positif et un réel négatif tels que leurs points associés soient confondus avec M.

3- Déterminer la valeur exacte de sin

 

 

25π

4 et cos

 

 

25π 4 . 4- Même question avec sin

 

 

15π

4 et cos

 

 

15π 4 . Exercice 2

L’objectif de cet exercice est de montrer que pour tout réel x, cos²(x)+sin²(x)=1

On considère dans un repère (O;I;J) orthonormé le cercle trigonométrique de centre O et on considère un réel x. soit M le point de C associé à x.

1- 1^er cas : l’abscisse de M est un réel positif.

a. Placer un point M1 correspondant à cette situation.

b. On appelle H et K les projetés orthogonaux de M1 sur les axes.

En considérant le triangle OM1H, montrer que cos²(x)+sin²(x)=1.

2- 2^ème cas : l’abscisse de M est un réel négatif.

a. Placer un point M2 correspondant à cette situation.

b. On appelle P et q les projetés orthogonaux de Mé sur les axes.

En considérant le triangle OPM2 , montrer que cos²(x)+sin²(x)=1.

Exercice 3

On considère les fonctions f et g sur Ë par f(x)=cos

(

)

 

 

-3x²+^3π 2 .

1- Donner le procédé de calcul permettant de passer de x à f(x) puis celui permettant de passer de x à g(x).

2- Déterminer les variations de f et de g sur

 

 

0; ^π

3 .

x 0 π

6 π 2 π sin(x)

1

0 π