DS n°2 : Calcul Littéral / Algorithmique / Géométrie plane

(1)

Nom : Classe : 2^nde

Devoir surveillé n°2

le 18/10/2015

Note :

… / 24

Avis de l’élève Avis du professeur

Je sais : Oui Non Oui Non

Exercice 1 Démontrer qu'une fonction peut s'écrire sous différentes formes.

Déterminer l'image d'un nombre.

Déterminer les antécédents éventuels d'un nombre.

Exercice 2 Compléter un algorithme / Ecrire un algorithme

Calculer une longueur / Simplifier un résultat.

Déterminer les coordonnées du milieu d'un segment.

Exercice 3 Placer des points dans un repère.

Démontrer la nature d'un triangle.

Calculer les coordonnées d'un point.

Démontrer la nature d'un quadrilatère.

Déterminer si un point appartient ou non à un cercle de centre et de rayon donnés Déterminer si un triangle est rectangle ou non.

Déterminer si des droites sont parallèles ou non.

Exercice 1 : est la fonction définie sur R par = . … / 7 Un logiciel de calcul formel a permis d'établir les résultats suivants.

1. Vérifier que les formes factorisée et canonique fournies par le logiciel sont bien celles de . 2. Calculer les images de 0, 1, et en utilisant à chaque fois l'expression de f (x) la plus adaptée.

3. Déterminer les antécédents éventuels de 0, - et - à partir de la forme la plus adaptée de .

Exercice 2 : … / 4

1. Soient A et B deux points dont on connait les coordonnées dans un repère orthonormé.

Compléter l'algorithme suivant pour qu'il permette de calculer et d'afficher la longueur AB.

Variables : , , , et des nombres réels Entrées : Saisir , , et

Traitement : prend la valeur ………

Sortie : Afficher …

2. Ecrire un algorithme, en français, qui permet d'afficher les coordonnées du milieu de [AB].

3. On donne A(-3 ; 2) et B(1 ; -6) dans le repère orthonormé (O;I,J).

a) Calculer AB et simplifier le résultat sous la forme où est l'entier le plus petit possible.

b) Déterminer les coordonnées du milieu I de [AB].

f(x) 3x²¡6x¡¹⁵₄ f

f(x) 5

2

15 4

31

4 f(x)

L xA yA xB yB

x_A y_A x_B y_B L

ap b b p2

(2)

Exercice 3 : … / 13

On se place dans le repère orthonormé (O;I,J) ci-dessous. On rappelle que dans ce cas, l'unité de longueur est celle d'un carreau. OI = OJ = 1. On considère les points A(-2 ; -1), B(2 ; -4) et C(5 ; 0).

1. Placer les points A, B et C. Compléter la figure au fur et à mesure de l'exercice.

2. Démontrer la nature complète du triangle ABC.

3. Calculer les coordonnées du milieu Ω de [AC].

4. D est le symétrique de B par rapport à Ω. Calculer les coordonnées de D.

5. Démontrer la nature complète du quadrilatère ABCD.

6. Ω est le centre du cercle c, circonscrit au quadrilatère ABCD. On admet que son rayon vaut . a) Le point E(2 ; 3) appartient-il à c ? Justifier.

b) Que peut-on en déduire pour le triangle AEC ? Justifier.

7. F est le point d'ordonnée négative tel que AF = 6 et CF = 4.

Le triangle ACF est-il rectangle ? Justifier.

8. M est le point de [AB) tel que AM = 8. N est le point de [AC) tel que AN = . Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier.

5p 2 2

8p 2

(3)

Correction du DS n°2 Exercice 1 : est la fonction définie sur R par = . Un logiciel de calcul formel a permis d'établir les résultats suivants.

1. Vérifier que les formes factorisée et canonique fournies par le logiciel sont bien celles de .

∀ ∈ R, A = 3 = =

A = = =

∀ ∈ R, B = 3 = 3 =

B = – = =

2. Calculer les images de 0, 1, et en utilisant à chaque fois l'expression de f (x) la plus adaptée.

◦ = = -

◦ = 3 = = -

◦ = = = – =

◦ ( ) = 3 – 5) × = 3 × (5 – 5) × = 3 × 0 × = 0

3. Déterminer les antécédents éventuels de 0, - et - à partir de la forme la plus adaptée de . = 0

3 = 0

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

3 ≠ 0 donc = 0 ou = 0 = 5 ou = 0 = ou = -1 ou = - 0 a deux antécédents par : et -

= -

3 = -

3 = - +

3 = -

3 = -1

= - < 0

Or, un carré est toujours positif ou nul Donc l'équation n'a pas de solution.

Donc - n'a pas d'antécédent par .

= -

= 0

Donc = 0 ou = 0 = 0 ou = 2 Les antécédents de - par sont 0 et 2.

f f(x) 3x²¡6x¡¹⁵₄

f(x)

p2 ⁵₂

15 4

31

4 f(x)

x (2x¡5)^2x+1 4

(6x¡15)(2x+1) 4

12x²+6x¡30x¡15 4

12x²¡24x¡15

4 3x²¡6x¡¹⁵₄

3x²¡6x¡¹⁵₄

(x¡1)²¡²⁷₄ (x²¡2x+ 1)¡²⁷₄ 3x²¡6x+ 3¡²⁷₄ 3x²¡6x+¹²₄ ²⁷₄

f(x)

f(x) x

f(0) 3£0²¡6£0¡¹⁵₄ ¹⁵₄

15 4

f(1) (1¡1)²¡²⁷₄ 3£0²¡²⁷₄ ²⁷₄ f(p

2) 3£2¡6p ¹⁵₄

2¡ 3£(p

2)²¡6p

2¡ ²⁴₄ ¹⁵₄¡6p

2 ¡6p 9 2 4 5

f 2 (2£⁵₂ ²^£^2,5+1₄ ⁵⁺¹₄ ⁶₄

f(x)

f

f(x) f(x)

(2x¡5)^2x+1₄

2x¡5 ^2x+1₄

2x 2x+ 1

x ⁵₂ 2x x ¹₂

5 2

1 2

3x² ¡6x¡¹⁵₄ ¹⁵₄ 15

4 31

4

(x¡1)²¡²⁷₄ ³¹₄ 31

4 27 (x¡1)² 4

(x¡1)² ⁴₄ (x¡1)² (x¡1)² ¹₃

31

4 f

3x²¡6x 3x(x¡2) 3x£x¡3x£2

3x x¡2

x x

15

4 f

(4)

Exercice 2 :

1. Soient A et B deux points dont on connait les coordonnées dans un repère orthonormé.

Compléter l'algorithme suivant pour qu'il permette de calculer et d'afficher la longueur AB.

Variables : , , , et des nombres réels Entrées : Saisir , , et

Traitement : prend la valeur Sortie : Afficher

2. Ecrire un algorithme, en français, qui permet d'afficher les coordonnées du milieu de [AB].

Variables : , , , , et des nombres réels Entrées : Saisir , , et

Traitement : prend la valeur prend la valeur Sortie : Afficher et

3. On donne A(-3 ; 2) et B(1 ; -6) dans le repère orthonormé (O;I,J).

a) Calculer AB et simplifier le résultat sous la forme où est l'entier le plus petit possible.

AB = AB =

AB = = = = × = × × = 2 × 2 × = 4

b) Déterminer les coordonnées du milieu I de [AB].

= = = = -1 = = = = -2

Exercice 3 :

On se place dans le repère orthonormé (O;I,J) ci-dessous. On rappelle que dans ce cas, l'unité de longueur est celle d'un carreau. OI = OJ = 1. On considère les points A(-2 ; -1), B(2 ; -4) et C(5 ; 0).

1. Placer les points A, B et C. Compléter la figure au fur et à mesure de l'exercice.

L xA yA xB yB

xA yA xB yB

L

ap b b

p(xB¡xA)²+ (yB¡yA)² L

xA yA xB yB

x y

x ^x^A^+x₂ ^B

y ^y^A^+y₂ ^B x y

p(xB¡xA)²+ (yB¡yA)² p(1 + 3)²+ (-6¡2)² p4²+ (-8)² p

16 + 64 p

80 p

4 p

20 p

4 p

5 p

5

xI x_A+x_B 2

-3+1 2

-2

2 yI yA+yB

2

2¡6 2

-4 2

(5)

2. Démontrer la nature complète du triangle ABC.

AB=

√

⁽^x^B⁻^x^A⁾²⁺⁽^y^B⁻^y^A⁾²

_AB=

√

⁽²⁺²⁾²^{+(- 4+1)}²

AB=

√

⁴²⁺⁽^{- 3}⁾²

AB=√¹⁶⁺⁹⁼√²⁵⁼⁵

AC=

√

⁽^x^C⁻^x^A⁾²⁺⁽^y^C⁻^y^A⁾²

AC=

√

⁽⁵⁺²⁾²⁺⁽⁰⁺¹⁾²

AC=

√

⁷²⁺¹²

AC=√⁴⁹⁺¹⁼√⁵⁰⁼√²⁵√²⁼⁵√²

CB=

√

⁽^x^B⁻^x^C⁾²⁺⁽^y^B⁻^y^C⁾²

_CB=

√

⁽²⁻⁵⁾²^{+(- 4−0)}²

CB=

√

⁽^{- 3}⁾²⁺⁽^{- 4}⁾²

CB=√⁹⁺¹⁶⁼√²⁵⁼⁵ Puisque AB = BC, le triangle ABC est isocèle en B.

De plus :

▪ D'une part : AB + BC = 25 + 25 = 50

▪ D'autre part : AC = = = 50

▪ Donc : AC = AB + BC

Ainsi, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est aussi rectangle en B.

3. Calculer les coordonnées du milieu Ω de [AC].

On a : x_Ω=x_A+x_C

2 =- 2+5 2 =3

2 et : y_Ω=y_A+y_C

2 =- 1+0 2 =-1

2 Finalement, le milieu Ω de [AC] a pour coordonnées ( ; - ).

4. D est le symétrique de B par rapport à Ω. Calculer les coordonnées de D.

Si D est le symétrique de B par rapport à Ω alors Ω est le milieu de [BD].

On en déduit : x_Ω=x_B+x_D

2 et : y_Ω=y_B+y_D 2 3

2=2+x_D

2 et : _-¹

2=- 4+y_D 3=2+x_D et : -1=- 4+2y_D x_D=3−2=1 et : y_D=-1+4=3 Finalement, le point D a pour coordonnées (1 ; 3) 5. Démontrer la nature complète du quadrilatère ABCD.

On sait que les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD se coupent en leur milieu Ω.

Or, un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme.

Donc ABCD est un parallélogramme.

De plus, le triangle ABC est un triangle rectangle et isocèle en B.

Autrement dit : AB = BC et ̂ABC=90°.

Or, un parallélogramme qui a un angle droit et deux côtés consécutifs de même longueur est un carré.

Donc ABCD est un carré.

6. Ω est le centre du cercle c, circonscrit au quadrilatère ABCD. On admet que son rayon vaut . a) Le point E(2 ; 3) appartient-il à c ? Justifier.

_Ω_E₌

√

⁽^x^E⁻^x^Ω⁾²⁺⁽^y^E⁻^y^Ω⁾²

_Ω_E₌

√

⁽²⁻³²⁾²⁺⁽³⁺¹²⁾²

_Ω_E₌

√

⁽⁴²⁻³²⁾²⁺⁽⁶²⁺¹²⁾²

_Ω_E₌

√

⁽¹²⁾²⁺⁽⁷²⁾²

_ΩE=

√

¹⁴⁺⁴⁹⁴ ⁼

√

⁵⁰⁴ ⁼

^√ ^√

⁵⁰⁴ ⁼

^√

²⁵²

^√

²⁼⁵

^√

²²

Donc E appartient au cercle c de centre Ω et de rayon ⁵

√

²

2 . b) Que peut-on en déduire pour le triangle AEC ? Justifier.

Puisque Ω est le milieu de [AC] et le centre du cercle c alors on peut dire que E appartient au cercle de diamètre [AC]. On en déduit que le triangle AEC est rectangle en E.

5p 2 2 (5p

2)² 5²£(p 2)²

2

2 2

2

2 2

3 2

1 2

(6)

7. F est le point d'ordonnée négative tel que AF = 6 et CF = 4.

Le triangle ACF est-il rectangle ? Justifier.

Le plus grand côté du triangle ACF est [AC] car AC = ≈ 7 > 6 > 4 D'une part : AC = 50 (calcul déjà détaillé)

D'autre part : AF + CF = 6 + 4 = 36 + 16 = 52 Donc : AC ≠ AF + CF

Ainsi, d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ACF n'est pas rectangle.

8. M est le point de [AB) tel que AM = 8. N est le point de [AC) tel que AN = . Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier.

Les points A, B et M sont alignés dans le même ordre que les points A, C et N.

D'une part : =

D'autre part : = = Donc : =

Ainsi, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

8p 2

2 2

5p 2

2 2

AB AM

5 8 AC AN

5p 2 8p

2 5 8 AB

AM AC AN

DS n°2 : Calcul Littéral / Algorithmique / Géométrie plane

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√ √

√

√

√

√

^√ ^√

^√

^√

^√