Nom :
Classe : 2nde 4
Devoir surveillé n°1
le 02/10/2017
Note :
… / 20 La notation du devoir prendra en compte les efforts de soin, de présentation et de rédaction.
Une fois que vous aurez fini ce devoir vous complèterez la grille d’autoévaluation suivante.
Avis de l’élève Avis du professeur (ne pas remplir.)
Oui Non Oui Non
Connaitre suffisamment bien le cours
Savoir refaire des exercices corrigés en classe (EC n°1 et EC n°2) :
• Développer
• Factoriser
• Résoudre des équations
• Comprendre, appliquer, coder un algorithme
Exercice n°3 : La courbe représentative d'une fonction étant donnée
• Lire un ensemble de définition
• Compléter un tableau de valeurs
• Déterminer des antécédents
• Justifier qu'une équation n'a pas de solution Exercice n°4 :
• Justifier qu'une fonction peut s'écrire de différentes façons.
• Calculer des images en utilisant la forme la plus adaptée.
• Utiliser la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs.
• Tracer une courbe pouvant représenter une fonction.
• Justifier qu'un point appartient ou non à une représentation graphique.
Cours : … / 3
1. Identités remarquables :
Compléter le tableau en indiquant, pour chaque ligne, l'expression développée (ou factorisée) manquante ainsi que l'identité remarquable associée à la transformation d'écriture :
Expression factorisée : Expression développée : Identité remarquable associée :
A = A = ……… ………… = ………
B = B = ……… ………… = ………
C = ……… C = ………… = ………
2. Vocabulaire : On considère la fonction définie par : ∀ ∈ R, = a) « ∀ ∈ R » signifie : ………
b) On dit que :
▪ R est ………
▪ est ……… de .
▪ est ……… de .
3. Courbe représentative d'une fonction : Soit d l'ensemble de définition d'une fonction .
La courbe représentative c de est l'ensemble des points de coordonnées (… ; … ) où … ∈ d .
Exercice controlé n° 1 : … / 4
1. Développer (en appliquant une identité remarquable) :
A = = ………
2. Factoriser :
B = = ………
C = = ………
3. Résoudre les équations :
a) = b) = 0 c) = 0
(4x+ 6)2
9x2¡25
2x¡5 f(x)
x x
f(x) x
x f(x)
f f
f f
(3x¡7)(3x+ 7)
25x2¡20x+ 4 4x2+ 28x+ 49 (2¡8x)2
5¡2(3x+ 4) 4x+ 6 (4x+ 7)(3¡7x) x2¡16
Exercice controlé n° 2 : Comprendre / Coder / Programmer un algorithme. … / 3 Voici un algorithme :
Variables : et deux nombres réels.
Entrée : Saisir
Traitement : prend la valeur prend la valeur Sortie : Afficher
1. Cet algorithme permet de calculer l'image d'un réel quelconque par une fonction f.
a) Que vaut (-7) ?
b) Donner l'expression de en fonction de .
2. a) Ecrire un algorithme qui permet de calculer l'image d'un nombre par la fonction définie par :
= .
b) Coder cet algorithme dans le langage de ta calculatrice et en Python.
Exercice n°3 : … / 4
est la fonction définie par la courbe c dans le repère orthonormé (O;I,J) ci-dessous.
1. Quel est l'ensemble de définition de ?
2. Compléter le tableau suivant avec les coordonnées des 5 points placés sur c :
3. a) De quel nombre, -3 est-il un antécédent par ? b) Ce même nombre possède 3 autres antécédents, que l'on pourrait noter , et (avec < < ).
Placer , et sur le graphique ci-contre et donner un encadrement de chacun de ces réels entre deux entiers consécutifs.
4. Justifier que l'équation = -4 n'admet aucune solution.
Exercice n° 4 : est la fonction définie sur R par : = + – … / 6
1. a) Démontrer que : ∀ ∈ R, = .
b) Démontrer que : ∀ ∈ R, = ( + –
2. Calculer, en utilisant la forme la plus adaptée de , les images de -3, 0, -0,5 et .
3. Utilise ta calculatrice pour compléter le tableau des valeurs de sur [-4 ; 4] avec un pas de 1.
4. On note c la représentation graphique de .
a) Place dans le repère ci-contre les points dont les coordonnées apparaissent dans le tableau des valeurs de puis trace une courbe pouvant représenter c .
b) Le point M (2,5 ; 1) appartient-il à c ? Justifie.
f
f
x f(x) f
cf f
® ¯ ° ® ¯ °
x y x
y x2
y y+ 3
y
f
f(x) x
g(x) x2¡4x+ 5
y x
f
® ¯ °
f(x)
x f(x) x f(x)
f(x)
f f(x) 25x2 25x 125
2
5(x¡2)(x+ 3) 2
5 x 12)2 52
p5 f(x)
x f(x)
f f
f(x) f
f
Correction du DS n°1 Cours :
1. Identités remarquables :
Compléter le tableau en indiquant, pour chaque ligne, l'expression développée (ou factorisée) manquante ainsi que l'identité remarquable associée à la transformation d'écriture :
Expression factorisée : Expression développée : Identité remarquable associée :
A = A = =
B = B = =
C = C = =
2. Vocabulaire : On considère la fonction définie par : ∀ ∈ R, = a) « ∀ ∈ R » signifie : « Quel que soit le réel »
b) On dit que :
▪ R est l'ensemble de définition.
▪ est l'image de .
▪ est un antécédent de .
3. Courbe représentative d'une fonction : Soit d l'ensemble de définition d'une fonction .
La courbe représentative c de est l'ensemble des points de coordonnées ( ; ) où ∈ d . Exercice controlé n° 1 :
1. Développer (en appliquant une identité remarquable) :
A = = =
2. Factoriser :
B = = =
C = = =
3. Résoudre les équations :
a) =
=
=
= =
b) = 0
Un produit est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.
Donc : = 0 ou = 0 = ou = = ou =
c) = 0
=
= ou = - = ou = -
Exercice controlé n° 2 : Comprendre / Coder / Programmer un algorithme.
Voici un algorithme :
Variables : et deux nombres réels.
Entrée : Saisir
Traitement : prend la valeur prend la valeur Sortie : Afficher
1. Cet algorithme permet de calculer l'image d'un réel quelconque par une fonction f.
a) (-7) = = =
b) ∀ ∈ R, = (2¡8x)2
(4x+ 6)2
9x2¡25
x f(x) 2x¡5 x
f(x) x
x f(x)
f f
f f
(3x¡7)(3x+ 7)
25x2¡20x+ 4 4x2+ 28x+ 49
x y x
y x2
y y+ 3
y
y x
f
4¡32x+ 64x2 16x2+ 48x+ 36 (3x¡5)(3x+ 5)
(a¡b)2 a2¡2ab+b2 (a+b)2 a2+ 2ab+b2 (a¡b)(a+b) a2¡b2
x
x f(x) x
9x2¡49 (3x)2¡72
(5x¡2)2 (2x)2 + 2£2x£7 + 72 (2x+ 7)2 (5x)2¡2£5x£2 + 22
5¡2(3x+ 4) 4x+ 6 (4x+ 7)(3¡7x) x2 ¡16 5¡6x¡8 4x+ 6
5¡8¡6 4x+ 6x 10x
-9 x 10-9
4x+ 7 3¡7x -7
4x 3 7x
x -74 x 37
x2 16 x p
16 x p
16
x 4 x 4
(-7)2+ 3 49 + 3 52 x f(x) x2+ 3
2. a) L'algorithme suivant permet de calculer l'image d'un nombre par la fonction définie par :
= .
Variables : et deux nombres réels.
Entrée : Saisir
Traitement : prend la valeur Sortie : Afficher
b) Coder cet algorithme dans le langage de ta calculatrice et en Python.
Codage CASIO : '' X = '' ? → X
→ Y
'' Y = '' : Y
Codage Python : X = float(input(''X=''))
Y =
print('' Y = '',Y) Exercice n°3 :
est la fonction définie par la courbe c dans le repère orthonormé (O;I,J) ci-dessous.
1. est définie sur [-3 ; 4[.
2. Compléter le tableau suivant avec les coordonnées des 5 points placés sur c :
-3 -2 -1 1 2
2 1 3 3 -1
3. a) -3 est un antécédent de 2 par ?
b) 2 possède 3 autres antécédents par , notés , et (avec < < ). Voir ci-contre.
Graphiquement, on lit :
-2 < < -1 1 < < 2 3 < < 4 4. L'équation = -4 n'admet aucune solution car
aucun point de la courbe c n'a pour ordonnée -4.
Exercice n° 4 : est la fonction définie sur R par : = + –
1. a) Démontrer que : ∀ ∈ R, = .
∀ ∈ R, A = A = A =
A = + – =
b) Démontrer que : ∀ ∈ R, = ( + –
∀ ∈ R, B = ( + –
B = [ + + ( ) ] – B = ( + + ) –
B = + + – B = + + –
B = + – = + – = g(x) x2¡4x+ 5
f f
f
f x
f(x)
f
® ¯
° ® ¯ °
®
f(x)
f f(x) 25x2 25x 125
x f(x) 25(x¡2)(x+ 3)
x f(x) 25 x 12)2 52 cf
x y x y
y
x2¡4x+ 5
X2¡4X + 5 X¤ ¤2¡4¤X + 5
α β γ f
¯ °
f
-3 4
x 25(x¡2)(x+ 3) 2
5 (x2+ 3x¡2x¡6) 2
5 (x2+x¡6) 2
5 x2 25 x 125 f(x)
x 25 x 12)2 52 2
5
5 x2 2£x£12 12 2 2 2
5 x2 x 14 52 x2 x
2 5
2 5
2 20
5 2 2
5 x2 25x 101 2510 2
5x2 25x 2410 25x2 25x 125 f(x)
2. Calculer, en utilisant la forme la plus adaptée de , les images de -3, 0, -0,5 et .
= = = 0
= + – = -
= - ) = (- + – = – = -
= + – = + – = + – = –
3. Utilise ta calculatrice pour compléter le tableau des valeurs de sur [-4 ; 4] avec un pas de 1.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2,4 0 -1,6 -2,4 -2,4 -1,6 0 2,4 5,6
4. On note c la représentation graphique de .
a) Place dans le repère ci-contre les points dont les coordonnées apparaissent dans le tableau des valeurs de puis trace une courbe pouvant représenter c .
b) Le point M (2,5 ; 1) appartient-il à c ? Justifie.
= )
= ( + – = ( – = – = – = – = – = ≠ 1 Donc M (2,5 ; 1) ∉ c
f(x) p
5
f(x) x
f(x)
f f
f(x) f
f f(-3) 25(-3¡2)(-3 + 3) 25£(-5)£0
2
f(0) 5£02 25£0 125 125
f(-0,5) 25 12 12)2 52 25£02 52 52 f(p
5) 25£p 25 125 52 £p
5 25£5 2 125 p5
5
2p 5 5
10 5
12 5
2p 5 5
2 5
cf
2 5
1 2)2 52 f(2,5) f(52
5 2
2
5 62)2 52 25£32 52 25£9 52 185 52 3610 2510 1110 f(2,5)
f f( 12
