Nom : Classe : 2nde
Devoir surveillé n°3
le 22/11/2016
Note :
… / 30
Avis de
l’élève Avis du professeur
Je sais : Oui Non Oui Non
Partie Numérique (Exercice 1) Démontrer qu'une fonction peut s'écrire sous différentes formes.
Déterminer l'image d'un nombre.
Déterminer graphiquement les antécédents d'un nombre / l'encadrement d'un nombre.
Démontrer par le calcul qu'un nombre admet ou non des antécédents.
Partie Statistiques (Exercices 2, 3, 4 et 5) Calculer une moyenne
Déterminer un effectif à partir de la fréquence associée et de l'effectif total.
Déterminer l'étendue / l'écart inter-quartiles d'une série statistique.
Déterminer la médiane et les quartiles d'une série statistique.
Construire le diagramme en boîte d'une série statistique.
Comparer deux séries statistiques / Interpréter les différents résultats.
Construire un histogramme / la courbe des fréquences cumulées croissantes.
Estimer la médiane et les quartiles à partir de la courbe des fréquences cumulées croissantes.
Exercice 1 : Soit la fonction définie sur [-1 ; 8] par = . … / 10 Le logiciel Geogebra a permis d'obtenir les résultats suivants :
1. Vérifie par le calcul les résultats fournis dans la partie Calcul formel.
2. Les résultats fournis dans la partie Tableur sont arrondis à 10 près.
a) Vérifie par le calcul les résultats fournis pour les images de 0 et de 3.
b) Calcule astucieusement l'image de puis complète la ligne 19 du tableur.
c) Calcule les valeurs exactes des images de 2 et . 3. Utilise la partie Graphique pour :
a) Déterminer les antécédents de -24.
b) Encadrer les solutions et de l'équation = -9 entre deux entiers consécutifs.
4. a) Démontre en utilisant la forme la plus adaptée de que -28 n'admet aucun antécédent par . b) 0 n'admet dans [-1 ; 8] qu'un seul antécédent par . Démontre qu'il en admet un autre dans R.
5. Ecris un algorithme qui permet d'afficher en sortie l'image d'un nombre saisit en entrée.
f f(x)
15 2
-2
p3 2
f(x) f
f(x)
® ¯
f
y x
4
3x2¡8x¡15
Exercice 2 : Au soleil ! … / 1,5 Un groupe de touristes passe un séjour aux îles Baléares. Il comprend 14 personnes qui ont bénéficié d'un tarif réduit moyen de 350 € par personne et 36 personnes qui ont chacun payé le plein tarif de 600 €.
Quel est, pour ce groupe de touriste, le prix moyen du séjour ?
Exercice 3 : Régime des lycéens … / 1,5
Le diagramme circulaire ci-contre donne la répartition des 275 élèves d'un lycée entrant en seconde, selon leur régime.
Dresser le tableau des effectifs de cette série.
Exercice 4 : Souris de laboratoire … / 10
Un biologiste réalise un résumé statistique des tailles de la population des souris adultes dans son laboratoire.
Longueur (en cm) 8 9 10 11 12 13
Effectifs 10 25 16 9 7 3
1. a) Détermine la taille moyenne des souris présentes dans le laboratoire. Arrondis au mm près.
b) Détermine l'étendue de cette série.
2. a) Détermine la médiane, les quartiles et l'écart inter-quartiles de cette série.
b) Construis le diagramme en boite associé à cette série.
3. a) Calcule la fréquence des souris qui mesurent au maximum 11 cm. Arrondis au centième.
b) Calcule la fréquence en pourcentage des souris qui mesurent entre 9 et 11 cm. Arrondis au dixième.
4. L'institut nationale qui centralise et regroupe les données transmises par l'ensemble des laboratoires français a fourni au biologiste le diagramme en boîte suivant :
Aide le biologiste à faire une étude comparée de ses relevés et de ceux obtenus sur le plan national.
Exercice 5 : Billets de train … / 7
Le tableau ci-dessous résume le prix du billet payé par les voyageurs lors d'un trajet Lyon-Paris en TGV.
Prix (en €) [20 ; 30[ [30 ; 50[ [50 ; 70[ [70 ; 100]
Effectifs 136 113 86 65
Fréquences
1. Calcule le prix moyen du billet de ce trajet, arrondi au centime d'euros.
2. Complète le tableau en calculant les fréquences, à 10 près, associées à chaque tranche tarifaire.
3. a) Construire un histogramme pour représenter la série statistique.
b) Construire la courbe des fréquences cumulées croissantes.
c) Détermine graphiquement des estimations de la médiane et des quartiles de cette série statistique.
-2
Correction du DS n°3
Exercice 1 : Soit la fonction définie sur [-1 ; 8] par = . Le logiciel Geogebra a permis d'obtenir les résultats suivants :
1. = = = = =
= = = =
2. a) = = -15 = = = -27
b) ( ) = = (15 – 15)( ) = = 0
c) = = = – 31 = – = -
( ) = × ( ) – 8 × – 15 = × – – 15 = = - 3. a) Déterminer les antécédents de -24.
= - 24 ⇔ = 1,5 ou = 4,5 (Remarque : on fait apparaître les résultats sur le graphique) b) Encadrer les solutions et de l'équation = -9 entre deux entiers consécutifs.
En plaçant et sur le graphique on lit : - 1 < < 0 et : 6 < < 7
4. a) = - 28 ⇔ = - 28 ⇔ = - 1 ⇔ = -
Or, un carré est toujours positif ou nul. Donc l'équation n'a pas de solution et - 28 n'a pas d'antécédent.
b) = 0 ⇔ = 0
Or, un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
Donc : = 0 ou : = 0 On en déduit : = ou : = -
5. Ecris un algorithme qui permet d'afficher en sortie l'image d'un nombre saisit en entrée.
Variables : et sont deux réels.
Entrée : Saisir
Traitement : prend la valeur Sortie : Afficher
f f(x) 43x2¡8x¡15
® ¯ f(x)
y x
1,5 4,5
α β
(2x¡15)(2x+3
3 ) (2x¡15)(2x+3) 3
4x2+6x¡30x¡45 3
4x2¡24x¡45 3
4
3x2¡8x¡15 f(x) 4
3(x¡3)2¡27 43(x2 ¡6x+ 9)¡27 43x2¡243 x+363 ¡27 43x2¡8x+ 12¡27 f(x) f(0) 43£02¡8£0¡15 f(3) 43(3¡3)2¡27 43£02¡27
15
f 2 (2£152 ¡15)(2£ )
15 2 +3 3
15+3
3 0£6 4
f(2) 3£22¡8£2¡15 43£4¡16¡15 163 163 933 773 f
p3 2
4 3
p3 2
2
p3 2
4 3
3 4
8p 3
2 1¡4p
3¡15 4p 3¡14
f(x) x x
® ¯ ® ¯
f(x) 43(x¡3)2¡27 43(x¡3)2 (x¡3)2 34
f(x) (2x¡15)(2x+33 )
2x¡15 2x+ 3
x 152 x 32
x y x
y 43x2¡8x¡15 y
Exercice 2 : N = 14 + 36 = 50
En tout, le groupe contient 50 touristes. Parmi eux, 14 ont chacun payé 350 € et 36 ont chacun payé 600 €.
= = = 530
Le prix moyen du séjour pour ce groupe de touriste est donc de 530 €.
Exercice 3 : Régime des lycéens
Le lycée comprend 275 élèves en seconde.
× 275 ≈ 54 × 275 ≈ 24
× 275 ≈ 197
On en déduit le tableau des effectifs suivant : Régime Externes Internes Demi - P.
Effectifs 54 24 197
Exercice 4 : Souris de laboratoire
Un biologiste réalise un résumé statistique des tailles de la population des souris adultes dans son laboratoire.
Longueur (en cm) 8 9 10 11 12 13
Effectifs 10 25 16 9 7 3
1. a) = = ≈ 9,8
La taille moyenne des souris est d'environ 9,8 cm.
b) e = 13 – 8 = 5 L'étendue de la série est de 5 cm.
2. a) = 70 = 35.
Donc la médiane est la moyenne entre la 35ème et la 36ème valeur. = = = 9,5.
= 17,5.
Donc le 1er quartile est la 18ème valeur. = = 9.
= 52,5.
Donc le 3ème quartile est la 53ème valeur. = = 11.
L'écart inter-quartiles est : = = 11 – 9 = 2 cm b) Construis le diagramme en boite associé à cette série.
3. a) = = = ≈ 0,86
La fréquence des souris qui mesurent au maximum 11 cm est d'environ 0,86.
b) = × 100 = × 100 = ≈ 71,4 % Environ 71,4 % des souris mesurent entre 9 et 11 cm.
¯
x 14£350+3650 £600 2650050
19,64 100 8,72
100 71,64
100
¯
x 10£8+25£9+1610+25+16+9+7+3£10+9£11+7£12+3£13
687 70
N 2
N
x35+x36 2
9+10 2 N
4
Q1
Me
x18
3N 4
Q3 x53
I Q3¡Q1
10+25+16+9 70
60 70
6 f1 7
f2 25+16+9 70
50 70
500 7
4. On compare le diagramme rouge fourni par l'institut nationale et celui en bleu obtenu par le biologiste.
Dans son laboratoire, le biologiste a des souris dont la taille varie entre 8 et 13 cm tandis que dans l'ensemble des laboratoires français, la taille des souris varie entre 7 et 15 cm.
La moitié des souris du laboratoire ont une taille inférieure à 9,5 cm tandis que, sur le plan national, la moitié des souris ont une taille inférieure à 10,5 cm.
Les deux séries ont en commun d'indiquer le même 1er quartile mais au moins 25 % des souris présentes dans le laboratoire du biologiste ont une taille comprise entre 8 et 9 cm tandis que sur le plan national, au moins 25 % des souris ont une taille comprise entre 7 et 9 cm.
Au moins 75 % des souris présentes dans le laboratoire du biologiste ont une taille comprise entre 8 et 11 cm tandis que sur le plan national, au moins 75 % des souris ont une taille comprise entre 7 et 12 cm.
En ne tenant pas compte des souris les plus petites ni des plus grandes, on constate qu'environ 50 % des souris du laboratoire ont une taille comprise entre 9 et 11 cm tandis que sur le plan national elles ont une taille comprise entre 9 et 12 cm.
Ainsi, les résultats obtenus sur le plan national sont plus dispersés que ceux obtenus dans le laboratoire du biologiste. Cela peut s'expliquer par le fait que le biologiste a étudié la taille d'un échantillon de souris restreint tandis que l'étude nationale porte sur l'ensemble des souris présentes dans tous les laboratoires français. Les résultats obtenus sur le plan national semblent plus homogènes car la répartition des souris par tranches de 25
%, selon leur tailles, semble plus équilibrée.
Exercice 5 : Billets de train
Le tableau ci-dessous résume le prix du billet payé par les voyageurs lors d'un trajet Lyon-Paris en TGV.
Prix (en €) [20 ; 30[ [30 ; 50[ [50 ; 70[ [70 ; 100]
Effectifs 136 113 86 65
Fréquences = 0,34 ≈ 0,28 ≈ 0,22 ≈ 0,16
FCC 0,34 0,62 0,84 1
1. = 136 + 113 + 86 + 65 = 400
L'étude est faite sur un total de 400 voyageurs. Pour calculer la moyenne, on utilise les centres de classe.
Prix (en €) [20 ; 30[ [30 ; 50[ [50 ; 70[ [70 ; 100]
Centres 25 40 60 85
Effectifs 136 113 86 65
= = ≈ 46,51
Le prix moyen du billet du trajet Lyon-Paris est de 46,51€.
2. Complète le tableau en calculant les fréquences, à 10 près, associées à chaque tranche tarifaire.-2
¯
x 136£25+113£40+86400 £60+65£85 N
18605 400 136
400
113 400
86 400
65 400
3. a) Construire un histogramme pour représenter la série statistique.
b) Construire la courbe des fréquences cumulées croissantes.
c) Détermine graphiquement des estimations de la médiane et des quartiles de cette série statistique.
Graphiquement, on lit : ≈ 27 ≈ 41 ≈ 62
Prix du billet (en €)
Effectifs
10 -
0 - 10 20 30 50 70 100
65 - 86 - 113 - 136 -
Prix du billet (en €)
Fréquences cumulées croissantes
0,1 -
0 - 10 20 30 50 70 100
1 -
0,34 - 0,62 - 0,84 -
Me 0,5
0,25 0,75
Q1 Q3
Q1 Me Q3
