DS n°8 : Calcul intégral

Nom :

Prénom : DS n°8

le 14/05/2018 Classe :

T S … Les exercices seront traités dans l'ordre de votre choix. La présentation et le soin apportés à la présentation de votre copie rentreront pour une part importante dans sa notation.

Exercice 1 : Etudier une suite définie par une intégrale. … / 12

Partie A

Dans un repère orthonormé, c est la courbe représentative de la fonction définie sur R par : =

1. Justifier que c passe par le point A( ; ).

2. Dresser le tableau des variations de la fonction . On précisera les limites en -∞ et en +∞.

Partie B

L'objet de cette partie est d'étudier la suite ( ), définie sur N par : = .

1. Dans un repère orthonormé (O ; , ), pour tout nombre entier naturel , c est la courbe représentative de la fonction définie sur R par :

=

Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe c pour plusieurs valeurs de l'entier et la droite d d'équation = .

a) Interpréter géométriquement l'intégrale .

b) Conjecturer, en expliquant le raisonnement, le sens de variations de et sa limite éventuelle.

2. a) Montrer que, pour tout entier naturel , est positive.

b) Démontrer que pour tout entier naturel ≥ 1 on a : =

En déduire le sens de variation et la convergence de la suite ( ).

3. Calculer en fonction de puis déterminer la limite de la suite ( ).

f1 1

f1(x) x+e^-x

1 0 1

f₁

In In R1

0 x+e^-nx dx

~i ~j n n

fn

fn(x) x+e^-nx

n n

x 1

In

In

n In+1 ¡In R1

0 e^-(n+1)x(1¡e^x)dx n In

In

In In

d c₁

c₂

c₃ c₄ c₆

c₁₃ c₆₀

n

Exercice 2 : Etudier une aire paramétrée. … / 8 Partie A

Dans un repère orthonormé (O ; , ), c est la courbe représentative de la fonction définie sur ] ; +∞[ par = + + où , et sont trois réels fixés.

On a tracé ci-dessous la courbe c et la droite d d'équation = .

On précise que la courbe c passe par les points A( ; ) et B( ; ) et que l'axe des ordonnées et la droite d sont asymptotes à la courbe c .

1. Donner les valeurs de et .

2. Donner . En déduire la valeur de .

3. En déduire que, pour tout réel de ]0;+∞[ : = . Partie B

est la fonction définie sur ] ; +∞[ par = – . 1. Démontrer que est une primitive de sur ] ; +∞[.

2. Déterminer l'aire a, exprimée en unités d'aire, du domaine coloré sur le graphique de la partie A.

3. Pour tout nombre réel supérieur ou égal à , on note a l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine formé par les points M de coordonnées ( ; ) telles que :

≤ ≤ et : ≤ ≤ Existe-t-il une valeur de pour laquelle a = a ?

~i ~j u u 0

u(x) a _x^b _x^c2 a b c

u y 1

u u

u(1) u(4)

x!lim+1u(x) a

x u(x) ^x

2¡5x+4 x²

1 0 4 0

0

f f(x) x¡5ln x _x⁴

0 u f

¸ 4 _¸

x y

4 x ¸ 0 y u(x)

¸ ¸

Correction du DS n°8

Exercice 1 : Etudier une suite définie par une intégrale.

Partie A

Dans un repère orthonormé, c est la courbe représentative de la fonction définie sur R par : =

1. Justifier que c passe par le point A( ; ).

= =

Donc c passe par le point A( ; ).

2. Dresser le tableau des variations de la fonction . On précisera les limites en -∞ et en +∞.

∀ ∈ R, = et : =

Etude du signe de la dérivée :

> ⇔ > ⇔ > ⇔ - < ⇔ >

De plus : = ⇔ = Détermination de la limite en

- ∞ :

∀ ∈ R, = = –

- = +∞ et : = +∞ On en déduit, par composée de limites : = +∞

De plus : = +∞ Donc, par inverse : = . On en déduit, par composée : = . Finalement, par somme puis produit : – = et = +∞

Détermination de la limite en +

∞ :

∀ ∈ R, =

Par composée de limites : = = donc, par somme : = = +∞

On en déduit le tableau de variations de :

-∞ +∞

– +

+∞ +∞

Partie B

L'objet de cette partie est d'étudier la suite ( ), définie sur N par : =

1. Dans un repère orthonormé (O ; , ), pour tout nombre entier naturel , c est la courbe représentative de la fonction définie sur R par :

=

Sur le graphique ci-contre on a tracé la courbe c pour plusieurs valeurs de l'entier et la droite d d'équation = .

a) Interpréter géométriquement l'intégrale .

Graphiquement, quel que soit l'entier , la fonction semble

positive sur [ ; ] donc est l'aire du domaine situé entre la courbe c , l'axe des abscisses et les droites d'équations = et = .

1 f₁

f1(x) x+e^-x

1 0 1

f1

f₁(0) 0 +e⁰ 1

1 0 1

f1(x) x+e^-x

x f₁⁰(x) 1¡e^-x

f₁⁰(x) 0 1¡e^-x 0 1 e^-x x ln(1) x 0 f₁⁰(x) 0 x 0

f₁ x f1(x) x+e^-x e^-x(1 )

x!¡1lim x lim

X!+1e^X

X!lim+1

e^X

X lim

X!+1

X e^X 0 -x

e^-x

x!¡1lim -x e^-x 0

x!¡1lim e^-x

x!¡1lim f1(x)

x!¡1lim (1 _e^-x-x) 1

x f1(x) x+e^-x

x!lim+1e^-x lim

X!¡1e^X 0 lim

x!+1f1(x) lim

x!+1x

f₁(x) f₁⁰(x)

x 0

O 1

~i ~j

n _n fn

fn(x) x+e^-nx

n

n x 1

In

In R1

0 x+e^-nxdx

I_n

d c₁

c₂ c₃ c₄ c₆ c₁₃ c₆₀

In

n fn

0 1

n x 0 x 1

b) Conjecturer, en expliquant le raisonnement, le sens de variations de et sa limite éventuelle.

Plus augmente, plus le domaine situé entre la courbe c , l'axe des abscisses et les droites d'équations = et = a une surface qui diminue et semble se rapprocher du triangle hachuré sur la figure précédente.

Ce triangle a une aire égale à u.a. Donc semble être décroissante et convergente vers . 2. a) Montrer que, pour tout entier naturel , est positive.

∀ ∈ N, ∀ ∈ R, =

∀ ∈ N, ∀ ∈ R, on a : >

De plus, ∀ ∈ [ ; ], on a : ≥ . On en déduit que est positive sur [ ; ].

Or : ∀ ∈ N, = . Donc : ∀ ∈ N, est positive.

b) Démontrer que pour tout entier naturel ≥ 1 on a : =

En déduire le sens de variation et la convergence de la suite ( ).

∀ ∈ N, = –

= –

= – = – = – = – =

∀ ∈ [ ; ], on a : ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ On en déduit : ≤ ≤ De plus, ∀ ∈ [ ; ], >

Donc : ∀ ∈ [ ; ], ≤

On en déduit : ∀ ∈ N, ≤ ⇔ ≤ Ainsi, la suite ( ) est décroissante sur N.

On a montré à la question a) que la suite ( ) est positive sur N, on en déduit qu'elle est minorée par . Enfin, une suite décroissante et minorée converge donc ( ) converge vers un réel l ≥ .

3. Calculer en fonction de puis déterminer la limite de la suite ( ).

∀ ∈ N, = =

On définit une primitive de sur [ ; ] par : = –

Ainsi : = – = – = – – + = – +

= +∞ Donc, par inverse de limite : =

De plus : = . Donc, par somme de limites : – + = Ainsi, la suite ( ) converge vers .

In

n In

n I_n+1 ¡I_n R1

0 e^-(n+1)x(1¡e^x) dx In

In n In

n n x 0

x 1

1

2 I_n ¹

2

x

n f_n(x) x+e^-nx

x 0 1 0

R1

0 dx

x

n e^-nx 0

x fn 0 1

In fn(x) In

n n

n In+1 ¡In R1

0 dx R1

0 x+e^-nxdx x+e^-(n+1)x

In+1¡In R1

0 x+e^-(n+1)x x¡e^-nxdx I_n+1¡I_n R1

0 e^-(n+1)x e^-nxdx In+1¡In R1

0 e^{-(n+1)x e} dx

-nx

e^-(n+1)x

(1 )

In+1¡In R1

0 e^-(n+1)x(1 ^e ) dx

-nx

e^-nx¡x I_n+1¡I_n R1

0 e^-(n+1)x(1 e^-nx+nx+x) dx In+1¡In

R1

0 e^-(n+1)x(1¡e^x)dx

x 0 1 e⁰ e^x e¹ 1 e^x e 1¡e 1¡e^x 0 x 0 1 e^-(n+1)x

x 0 1

0

e^-(n+1)x(1¡e^x) dx 0

n In+1 ¡In 0 In+1 I_n I_n

In 0

In 0

n I_n R1

0 x+e^-nxdx R1

0 f_n(x)dx F_n(x)

f_n 0 1 ^x2

2 1 ne^-nx In x²

2 1 ne^-nx

[ ]¹₀ Fn(1) Fn(0) ¹_{2 n}¹e^{-n 0}_{2 n}¹e^{0 1}_{2 n e}¹n _n¹

n!lim+1n eⁿ lim

n!+1

1 n eⁿ 0

n!lim+1_n¹ 0 lim

n!+1

1 2

1 n eⁿ

1 n

1 2

In 1

2

Exercice 2 : Etudier une aire paramétrée.

Partie A

Dans un repère orthonormé (O ; , ), c est la courbe représentative de la fonction définie sur ] ; +∞[ par = + + où , et sont trois réels fixés.

On a tracé ci-dessous la courbe c et la droite d d'équation = .

On précise que la courbe c passe par les points A( ; ) et B( ; ) et que l'axe des ordonnées et la droite d sont asymptotes à la courbe c .

1. Donner les valeurs de et .

La courbe c passe par les points A( ; ) et B( ; ) donc = = . 2. Donner . En déduire la valeur de .

La droite d d'équation = est asymptote à la courbe c en +∞ donc = .

Or : ∀ ∈ R, = + + et = = Donc, par somme : = On en déduit, par identification : = .

3. En déduire que, pour tout réel de ]0;+∞[ : = .

∀ ∈ R, = + + = donc : =

= donc : + + = ⇔ = ⇔ = Ainsi, les réels et sont solutions du système :

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

Finalement : ∀ ∈ R, = – + = Partie B

est la fonction définie sur ] ; +∞[ par = – . 1. Démontrer que est une primitive de sur ] ; +∞[.

∀ ∈ ] ; +∞[, = – . = × – 4 × = – + = Donc est une primitive de sur ] ; +∞[.

~i ~j u u 0

u(x) a _x^b _x^c2 a b c

u y 1

u 1 0 4 0

u

u(1) u(4)

x!lim+1u(x) a

x u(x) ^x

2¡5x+4 x²

f 0 f(x) x¡5ln x _x⁴

f u 0

u 1 0 4 0 u(1) u(4) 0

y 1 u lim

x!+1u(x) 1 x u(x) a _x^b _x^c₂ lim

x!+1

b

x lim

x!+1

c

x² 0 lim

x!+1u(x) a a 1

x u(x) 1 _x^b _x^c2

u(1) 0 1 +b+c 0

u(4) 0 1 ^b_{4 16}^c 0 16 + 4b+c 0

b c

½ 1 +b+c= 0 16 + 4b+c= 0

½ b+c= -1 4b+c= -16

½ b+c= -1 3b= -15

½ b+c= -1 b= -5

½ c= -1 + 5 b= -5

½ b= -5 c= 4 x u(x) 1 _x⁵ _x⁴₂ ^x

2¡5x+4 x² 16+4b+c 0

16

x f(x) x¡5ln x ⁴_x

f⁰(x) 1¡5 _x¹ _x^-1₂ 1 ⁵_{x x}⁴₂ u(x)

f u 0

0

2. Déterminer l'aire a, exprimée en unités d'aire, du domaine coloré sur le graphique de la partie A.

Justifions que est négative sur [ ; ].

∀ ∈ ] ; +∞[, = On considère le trinôme

∆ = = =

On en déduit deux racines distinctes : = = = et : = = Le trinôme est négatif (du signe contraire de ) entre ses racines.

∀ ∈ ] ; +∞[, > 0 et ∀ ∈ [ ; ], ≤ 0.

On en déduit : ∀ ∈ [ ; ], ≤ 0 donc :

a = - = - = - = + + – =

3. Pour tout nombre réel supérieur ou égal à , on note a l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine formé par les points M de coordonnées ( ; ) telles que :

≤ ≤ et : ≤ ≤ Existe-t-il une valeur de pour laquelle a = a ?

∀ ∈ ] ; +∞[, = donc a = =

On cherche s'il existe une valeur de pour laquelle a = a, c'est-à-dire : = - C'est-à-dire : = -

Or, on sait que = et que est strictement positive sur ] ; +∞[.

On en déduit que est continue (car dérivable) et strictement croissante sur ] ; +∞[.

= ≈ -

= – = –

= = . Donc, par somme de limites : – =

On en déduit, par produit de limites : = +∞ Finalement, puisque :

• est continue et strictement croissante sur ] ; +∞[.

• prend ses valeurs dans ] ; +∞[ avec ≈ -

• - ∈ ] ; +∞[

Alors, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation = - admet une unique solution sur l'intervalle ] ; +∞[. Ainsi, il existe une valeur de pour laquelle a = a.

¸ 4 _¸

x y

4 x ¸ 0 y u(x)

¸ _¸

1 4 u

x 0 ^x

2¡5x+4 x² u(x)

x²¡5x+ 4 b²¡4ac 25¡16 9

-b¡p

¢

x1 2a 5¡p 9

2 1 x1 5+p 9

2 4

a

x 0 x² x 1 4 x²¡5x+ 4 x 1 4 u(x)

dx [ R4

1 u(x) f(x)]⁴₁ f(4) +f(1)

x u(x) ^x

2¡5x+4 x² 4

¸ R¸u(x) dx

4 f(¸)¡f(4)

-4 + 5ln4 ⁴₄ 1¡5ln1 ⁴₁ -6 + 5ln4

¸ _¸ f(¸)¡f(4) f(4) +f(1)

f(¸)

4

f⁰ u u

4 f

f(4) 3¡5ln(4) 3,93

f(x) x¡5ln x _x⁴ x(1¡5^{ln x}_{x x}⁴2)

x!lim+1

ln x

x lim

x!+1

4

x² 0 lim

x!+1

ln x x

4 x²)

(1¡5 1

x!lim+1f(x)

f 4

f(x) 3¡5ln(4) 3¡5ln(4) 3,93

3

3 3¡5ln(4)

f(¸) 3

4 ¸ _¸